4.1. Сложные проценты и конечная стоимость
Сложные проценты (compound interest) — проценты, полученные на реинвестированные проценты.
Будущая стоимость (future value) — стоимость в будущем инвестированного сейчас 1 дол. Может называться конечной стоимостью.
Вопрос сложных процентов является ключевым в финансовой математике. Сам по себе термин означает, что процент, выплачиваемый по ссуде или вложенному капиталу, присоединяется к основной сумме, в результате чего проценты выплачиваются и на основную сумму, и на полученные проценты. Такое определение может быть проиллюстрировано следующими случаями.
В качестве примера возьмем человека, у которого на сберегательном счете лежат 100 дол. Какая сумма будет лежать на счете через 12 месяцев при 8% годовых?
Решая задачу, мы определяем конечную (будущую) стоимость на счете в конце года (terminal value — TV):
TVi = 100 дол.
(1 + 0,08) - 108 дол.Если депозит двухгодичный, первоначальные 100 дол. в конце первого года превратятся в 108 дол. при ставке ссудного процента 8 годовых. По окончании второго года 108 дол. становятся 116,64 дол., т. е. добавляются еше 8 дол. как проценты по основной сумме и 0,64 дол. как проценты на проценты за первый год. Другими словами, набегают проценты по уже полученным процентам, отсюда название "сложные проценты". Следовательно, конечная стоимость на конец второго года равна 100 дол. умножить на 1,08 в квадрате (или 1,1664).
Таким образом,
ТУ2 = 100 дол. (1,08)2 - 116,64 дол.
По прошествии 3 лет:
TV3 = 100 дол. (1,08)3 - 125,97 дол.
Иначе говоря, 100 дол. увеличиваются до 108 дол. в конце первого года (при ставке процента 8 годовых); при умножении последней суммы на 1,08 мы получаем 116,64 дол. в конце второго года. Умножая 116,64 дол. на 1,08, получаем 125,97 дол. — депозит в конце третьего года.
В общем виде данную зависимость можно выразить формулой
туа = ад + Ъ», (4.1)
где Ло — сумма в начале срока;
г — ссудный процент;
л — число лет.
Используя формулу, на калькуляторе можно легко вычислить любую требуемую сумму. Например, в табл. 4.1 приведены TV на срок от 1 года до 10 лет для иллюстрации принципа начисления процента на проценты.
Уравнение (4.1) есть базовая формула для вычисления TV. Совершенно ясно, что чем выше ставка ссудного процента, г, чем больше срок начисления процентов, тем больше TV. На рис. 4.1 приведены графики роста TV: 100 дол. при 5, 10 и годовых. Как вы видите, чем больше процент, выплачиваемый по депозиту, тем круче кривая роста TV; аналогично влияет на величину TV увеличение срока депозита.
Гам» 4. Славше, врооееты к текрвлж етавюеп
Ріс. 4.1. Конечные стоимости: начальная сумма 100 дол., ставка ссудного процента 5, 10, 15 годовых
65 |
Несмотря на то что мы рассматривали только ставку ссудного процента, этот подход применим при сложном росте любого рода.
Предположим, депозит фирмы равен 100 ООО дол., мы ожидаем прирост этой суммы в течение пяти лет по ставке 10% годовых :гптт | КОЭФФИЦИЕНТ | ОЖИДАЕМАЯ |
1 ид | РОСТА | СУММА, дол. |
1 | 1,10 | 110 000 |
2 | (1,Ю)2 | 121000 |
5-4216 |
Продолжение
|
Аналогично мы можем определять ожидаемую сумму по прошествии любого числа лет в случаях, когда действует принцип сложных процентов. Эта модель особенно важна при изучении методов оценки обыкновенных акций, чем мы и займемся в следующей главе.
Таблица конечной стоимости
Используя формулу (4.1), мы можем получить таблицу ТУ. Примером такой таблицы со ставками от 1 до 15% годовых является табл. 4.2. Вы можете заметать, что 7У для столбца 8% для
Таблица 4.1 Пример начисления сложных процентов Исходная сумма 100 дол., процентная ставка — 8% годовых (дол.)
|
Тлш 4.
Сложные прооевш в текушы стовиостъинвестиций в X дол. соответствует нашим расчетам для 100 дол. в табл. 4.1. Заметьте также, что увеличение ТУ при сроке 2 года и ; больше тем выше, чем выше процентная ставка. Это особенно ридно, если заглянуть на сотню лет вперед: вложенный сегодня ' доллар превратится в 270 дол. при ставке 1% в год, а при 15% 1 годовых он увеличится до 1174,313 дол. Вот доказательство пре- ! лести сложных процентов. В 1790 г. Джон Джей Астор за 58 дол. і купил примерно акр земли в восточной части острова Манхэтген. Астор, который считался дальновидным человеком, сделал множество подобных покупок. Сколько денег получили бы его наследники в 1990 г., если бы Астор не купил землю, а положил деньги в банк под 6% годовых? Из табл. 4.2 мы видим, что 1 дол. при сложных процентах и ставке 6% через 100 лет превращается в 339,30 дол., следовательно, через 200 лет: 1 дол. • 339,30 • 339,30 = - 115124,49 дол. Поскольку земля была куплена за 58 дол., то в 1990 г. при 6% эта сумма составит 58 • 115124,49 = 6677220,42 дол., что соответствует стоимости 1 фуга2 около 153 дол.
Сложная стоимость при регулярных платежах или денежных поступлениях
Теперь рассмотрим ситуацию, когда на счет в банке положена исходная сумма, но в конце года к ней добавляется еще некоторая сумма. Предположим, 100 дол. — та самая исходная сумма, на которую начисляются 8% годовых; по прошествии каждого года к ней добавляют еще 50 дол. Итак, к концу первого года на счете в банке будет сумма
TVi = 100 дол. (1,08) + 50 дол. = 158 дол.
К концу второго года:
7У2 - 158 дол. (1,08) + 50 дол. = 220,64 дол.
Хотя TV можно подсчитывать постепенно, год за годом, существует более общая формула, облегчающая расчеты:
TV„ - (Хо + х/г) - (1 + г)п - х/г, (4.2)
где * — ежегодное приращение.
Для рассмотренного выше примера TVi равна:
TV2 = (100 дол. + 50 дол. /0,08) (1, 08)2 - 50 дол. /0,08 =
- (100 дол. + 625 дол. )( 1,1664) - 625 дол. -
- 220,64 дол.
67 |
Как видите, результат равен полученному ранее.
69 |
Часть 111 Основы полученка орабщш
Таблица 4.2 Конечная стоимость 1 дол. по прошествии и лет
|
ГОД | 7% | 8% | 9% | 10% | 12% | 15% |
15 20 25 50 100 | 2,7590 3,8697 5,4274 29,4570 867,7149 | 3,1772 4,6610 6,8485 46,9016 2199,75« | 3,6425 5,6044 8,6231 74,3575 5529,0304 | 4,1772 6,7275 10,8347 117,3907 13 780,5890 | 5,4736 9,6463 17,0001 289,0022 83 522,2657 | 8,1371 16,3665 32,9190 1083,6574 1 174 313,4510 |
Глава 4. Сложные артикли и теиупая стопи ость |
69 |
Продолжение |
Для пятилетнего периода TV определяется следующим образом: TV5 = (100 дол. + 625 дол. )(1,08)5 - 625 дол. = 440,26 дол.
Формула (4.2) довольно сложна, но удобна в расчетах. При использовании калькулятора и внимании к нюансам особенных трудностей в ее применении не возникает. Помня о том, что эта формула существует, не стоит ее заучивать.
Договор аннуитета
Аинунтет (ашшМу) — несколько равновеликих выплат в течение определенного числа лет.
Аннуитет можно охарактеризовать как несколько равновеликих выплат из первоначальной суммы, производящихся в течение ряда лет. На рис. 4.2 показаны потоки денежной наличности для аннуитета. В течение определенного срока, в данном случае 5 лет, из исходной суммы делаются фиксированные выплаты. Суммарные отчисления превышают сумму депозита из-за использования сложных процентов.
Предположим, вам достались по наследству 10 ООО дол., и вы хотите иметь стабильный в течение ближайших 10 лет доход. Некая страховая компания предлагает такие аннуитеты из расчета 5% годовых. Какова же сумма ежегодного дохода? По формуле (4.2) ТУ через 10 лет будет равна 0, поскольку вся сумма должна быть выплачена. Мы также знаем, что = 10 000 дол., г = = 0,05; п = 10. Отсюда нам нужно найти х, которое, как мы знаем, будет отрицательным, ибо это выплаты. Значит,
0 = (10 000 дол. - */0,05)(1,05)10 + л/0,05 = - (10 000 дол. - 20*) (1,628894) + 20 *;
32,57788*- 20 *= 16 288, 94;
12,57788* = 16 288,94; * - 1295,05 дол.
70 |
о 1 г 3 4 5 годы
Рис. 4.2. Потоки денежной наличности при аннуитете
Таким образом, приобретя аннуитет, вы в течение 10 лет можете получать ежегодно по 1295,05 дол.
Возвращаясь к нашим примерам, мы также можем определить размер суммы, которую нужно положить на счет в банке, чтобы обеспечить вкладчику определенные поступления в течение ряда лет. Если банк выплачивает 8% годовых, какова должна быть величина первоначальной суммы? В данном случае, где х (по формуле (4.2)) равно 5000 дол., через 10 лет TV будет равна 0,(TVn = 0). При г = 0,08, уравнение имеет вид:
0 - (Ab - 5000 дол. /0,08) (1,08)10 + 5000 дол./0,08.
Находим
0 - (А
Еще по теме 4.1. Сложные проценты и конечная стоимость:
- 4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- Сложные проценты
- Модели простых и сложных процентов
- СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- 2.3. Сложные ставки ссудных процентов
- § 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- 4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- § 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
- Глава 3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- § 22.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
- Тема 1. Теория временной стоимости денег. Начисление процентов
- 4. Списание до 10 процентов стоимости основного средства при вводе в эксплуатацию
- § 22.3. СВЯЗЬ ДЮРАЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
- S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ