<<
>>

ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

В условиях инфляции и снижения объемов производства деньги получили новую характеристику - временную ценность. Это вызвано обесцениванием денежной наличности с течением времени и связано с обращением капитала.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РУ с условием, что через время t будет возвращена большая сумма ГУ. Результативность сделки можно охарактеризовать двояко:

- с помощью абсолютного показателя

(ГУ - РУ);

- с помощью относительного показателя - ставки, которая рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать РУ или ГУ.

Ставки рассчитываются:

- темпом прироста

т = (ГУ - РУ) / РУ;

- темпом снижения

Dt = (ГУ- РУ) / ГУ.

В финансовых вычислениях первый показатель называется "процентная ставка", "процент", "рост", "ставка процента", "норма прибыли", "доходность", а второй показатель называют "учетная ставка", "дисконт".

Обе ставки взаимосвязаны:

т = Dt / (1 - Dt) или Dt = т / (1 +

Показатели выражаются в долях единицы или в процентах.

Данные показатели незначительно отличаются друг от друга, поэтому в прогнозах, например, при оценке инвестиционных проектов используют оба показателя, но чаще процентную ставку.

Процесс, в котором задана исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях, называют процессом наращивания.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.

Логика финансовых операций заключается в следующем.

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Величина ГУ показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины РУ при заданном уровне доходности.

В связи с вариабельностью условий финансирования в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения , процессы установления процентных ставок многообразны.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает доход в виде процентов, полученных по определенному алгоритму. Обычно период начисления принимается в один год, т.е. однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды.

Известны две основные схемы дисконтного начисления:

- схема простых процентов

- схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Размер инвестированного капитала Яп через п лет будет равен

Яп = Р + Р г + ... + Р г = Р (1 + пг),

где г - требуемая доходность в долях единицы.

Инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется с общей суммы, включающей ранее исчисленные и невостребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база с которой начисляются проценты постоянно растет. Тогда размер инвестируемого капитала будет равен:

- к концу первого года = Р + Рг;

- к концу второго года Е2 = Е; + Е; г = Е;(1 + г);

- к концу п-го года Еп = Е^1 + г)п.

Соотношение Яп и Еп с помощью математической индукции можно установить:

Яп > Еп при 0 < п < 1,

Еп > Яп при п > 1.

Формула сложных процентов является одной из базовых в финансовых вычислениях, поэтому используют мультиплицирующий множитель, который табулирован для удобства использования для различных г и п.

Формула алгоритма начисления переписывается так

Еп = РЕЫ\(г, п)

Взаимосвязь Яп и Еп можно изобразить графически

Экономический смысл мультиплицирующего множителя состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (рубль и др.) через п периодов при заданной процентной ставке г.

Для контроля начисления используют "правило 72-х". Это правило заключается в том, что если процентная ставка г, выраженная в процентах, то К = 72 / г представляет собой число периодов К, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений г (до 20 %).

Схема простых процентов используется в банковской практике при начислении процентов в краткосрочном периоде со сроком погашения до одного года. В этом случае длины различных временных интервалов в расчетах могут округляться (месяц - 30 дней, квартал - 90, год - 360).

В этом случае используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой процентной ставке, пропорциональной доле временного интервала в году

Е = Р (1 + /г) или Е = Р (1 + (/ / Т) г),

где / - относительная длина периода до погашения ссуды; г - годовая процентная ставка в долях единицы; / - продолжительность финансовой операции, дн.; Т - количество дней в году.

При определении продолжительности финансовой операции день выдачи и день погашения ссуды считают за один

день.

Расчет может вестись двумя вариантами:

- принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням), тогда в году считают 365 или 366 дней;

- принимается приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней) и в году берут 360 дней.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей. В этом случае пользуются аналогичной формулой, являющейся следствием формулы простых процентов

РУ = ЕУ (1 -/й) или РУ = ЕУ [1 - (/ / Т) й?], где й - темп снижения; / - относительная длина периода

Операция имеет смысл, если число в скобках не отрицательно.

Внутригодовые процентные начисления ведут по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки

Еп = Р (1 + г ш)кт,

где г - объявленная годовая ставка; ш - количество начислений в году; к - количество лет.

Начисление процентов за дробное количество лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

- по схеме сложных процентов

Еп = Р (1 + г) к+/,

- по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года)

Еп = Р (1 + г)к (1 + /г),

Возможны финансовые контракты в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действий контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

- схема сложных процентов

¥п = р (1+г / т)тк ^+т ;

- смешанная схема

^ = Р (1 + г / т) + /т ] ,

где к - количество лет; т - количество начислений в году; г - годовая ставка;/- дробная часть подпериода.

Непрерывное начисление процентов - в этом случае максимально возможное наращивание осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

При непрерывном начислении процентов в течение одного года используется базовая формула

^ = Р ег,

где е = 2,718281 ... - основание натурального логарифма.

Годовая процентная ставка не отражает реальной эффективности сделки и не может использоваться для сопоставления. Для сравнительного анализа эффективности контрактов используют эффективную годовую процентную ставку ге, которая

Рис. 7 Различные варианты начисления процентов

В этом случае задается исходная сумма Р, номинальная годовая ставка - г, число начислений сложных процентов - т. Этому условию соответствует определенное значение наращенной величины ^. Необходимо найти такую годовую ставку ге, которая обеспечила бы точно такое же наращение как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е. т = 1.

^ = Р + Рге = Р (1 + ге).

Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом т она увеличивается.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной бизнес, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложение в государственные ценные бумаги.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений ¥п с позиции текущего момента. При этом анализируется:

а) обесценивание денег (инфляция);

б) темп изменения цен на сырье, материалы, основные средства;

в) желательно периодическое начисление дохода не ниже определенного минимума.

Базовая расчетная формула для такого анализа

Р = п

(1 + г)п '

где Еп - доход планируемый к получению в п-ном году; Р - текущая стоимость (приведенная), т.е. оценка величины ¥п с позиции текущего момента; г - коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через п лет ¥п будет меньше и равна Р.

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока сь с2, ... , сп.

Элементы потока с1 могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом.

Временные периоды чаще всего определяются равными. Предполагается, что элементы денежного потока однонаправлены, т.е. нет чередования оттоков и притоков. Условно считают, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. Денежный поток в начале временного периода называется пренумерандо или авансовым, в конце - постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

а) прямой или приводится оценка с позиции будущего;

б) обратной или приводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в основе лежит будущая стоимость.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. В этом случае:

с1 = с2 = ••• = сп •

Также разделяют аннуитет пренумерандо и постнумерандо (рентные платежи, денежные вклады для накопления крупной суммы, плата за аренду имущества).

Прямая задача оценки срочного аннуитета решается по формуле

РУр* = АЕ(1 + г)к.

Обратная задача оценки срочного аннуитета решается с помощью формулы

= АД1/1 + г) к.

На практике возможна ситуация, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения (заключение договоров аренды в условиях инфляции). В этом случае аннуитет называется бессрочным. Расчет в этом случае ведется с помощью финансовых таблиц.

<< | >>
Источник: Жариков В. В., Жариков В. Д.. Управление финансами: Учеб. пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, - 80 с.. 2002

Еще по теме ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ:

  1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
  2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф.. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, - 624 с., 2002
  3. Малыхин В.И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА,. - 247 с, 1997
  4. Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с., 2007
  5. Четыркин Е. М.. Финансовая математика: Учебник. — 4-е изд. — М.: Дело, - 400 с., 2004
  6. Финансовая математика на рынке ценных бумаг.
  7. Севастьянов П. В.. Финансовая математика и модели инвестиций: Курс лекций / П.В.Севастьянов. — Гродно: ГрГУ, — 183 с., 2001
  8. Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с., 2003
  9. Колесников С. А.. Финансовая математика : учебное пособие / С. А. Колесников, И. С. Дмитренко. - Краматорск : ДГМА, - 48 с., 2008
  10. Шиловская H. A.. Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций / H.A. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, -104 с., 2011