<<
>>

4.3.2. Элементы теории процентов

В процессе наращения и дисконтирования денег рассматриваются следующие четыре взаимосвязанных фактора:

1) современное значение денег (PV)y

2) будущее значение Ъенег {FlО,

3) время, выраженное в днях / или количестве периодов п,

4) норма доходности (процентная ставка) г.

Характер взаимоотношения между ними определяется способом начисления доход­ности, или чаще говорят— процентов. Различают две схемы начисления процентов: про­стые проценты и сложные проценты.

Простые проценты. В схеме простых процентов начисление дохода на трестиро­ванную сумму денег осуществляется всегда исходя из начальной суммы инвестиций.

Пусть инвестор разместил на депозитном счете $ 1,000 при процентной ставке 40 про­стых годовых процентов. В случае, если он не будет снимать деньги со своего счета через год, он будет иметь

FV- 1,000 + 400 = 51,400,

а через два года

FV = 1,000 + 400 + 400 = 51,800.

Таким образом, общая формула начисления простых процентов имеет следующий вид:

FVn = PV{ 1 + лт).

(4.3)

В формуле (4.3) п может иметь дробное значение, когда речь идет о части периода (года), например, если банк выдал ссуду на / дней, а в году 365 дней, то

FVn = PV-{\ -M/365-r). (4.3')

Кредитная сделка может производиться при изменяющейся процентной ставке. В этом случае существует некоторая временная решетка процентной ставки

и наращение производится по формуле

FVm =PV

( х

1 + 2>/г/ (4.3")

где N- общее количество значений в решетке;

щ — общее количество периодов, в течение которых действует процентная ставка г,.

Дисконтирование при простых процентах осуществляется с помощью формулы, ко­торая получается путем обращения (4.3):

FV ,

PV =------ 2- = FVJ 1 + л ■ г)"1.

(4.4)

1 + л-г

Проиллюстрируем феномен дисконтирования с помощью следующего примера. Вы собираетесь накопить 550,000 в течение года посредством банковского депозита, который предлагает ежемесячное начисление простых процентов по месячной процентной ставке 5%. Какую сумму необходимо положить на депозит?

Из формулы (4.4) следует

50,000 5Q

1+12-Q05

Наращение и дисконтирование с помощью учетной ставки, В некоторых случаях в качестве базы для оценки доходности финансового инструмента используется не совре­менное, а будущее значение. В этом случае норма доходности называется учетной став- кой (а не процентной ставкой). Наиболее распространенной областью применения учет­ной ставки является учет векселей. Суть учетной ставки состоит в том, что доход инвестора начисляется на сумму, подлежащую к оплате в конце срої^ кредитования, а не на начальную сумму.

Формулу д ія учетной ставки получим по аналогии с формулой для процентной ставки.

Для процентной ставки из формулы (4.3) получим:

FVn -PV

г =—----------- .

n-PV

По аналогии определим учетную ставку d, как следующее отношение:

d = PVn -PV

n-FVn

Отсюда легко следует формула для дисконтирования в случае использования учетной ставки для схемы простых процентов:

PV = FVn(\-n*d)- (4.5)

Формула для наращения с использованием учетной ставки получается путем обраще­ния формулы для дисконтирования:

PV

FVn- -f—. (4-6)

Пример. Переводной вексель, тратта, выдан на сумму S100 тыс. с уплатой по векселю 25 апреля. Держатель векселя учел его в банке 11 февраля. На этот момент учетная ставка по векселям в банке составляла 12%. Определить величину дисконта, которую банк произ­вел в момент учета векселя, и сумму, которую получил держатель векселя.

Сопоставляя даты учета и погашения векселя, определим, что до погашения осталось 73 дня. Таким образом, дисконт по векселю составит

D = 100,000 • 73 / 365 • 0.12 = $2,400,

а владелец векселя (теперь уже бывший) получит

PV= 100,000 - 2,400 = 597,600.

Сравним результаты дисконтирования с использованием учетной и процентной ста­вок.

Для этого воспользуемся формулой для дисконтирования

РУ = РУ„-Щп),

в которой множитель дисконтирования будем вычислять следующим образом:

• для процентной ставки

I+ Л-Г

• для учетной ставки

1У(п)= \~n-d.

Результаты сравнения представлены в таблице.

N 1/12 /// | 1/2 / 2 5 10
1 + П'Г 0.99174 0.9756

і

0.9524 0.9091 0.833 0.667 0.5
Щп)=і-п сі 0.99167 0.975 ! 0.95 0.9 0.8 0.5 0

При дисконтировании с помощью учетной ставки возникает методический парадокс: дисконтированное значение может стать нулевым или даже отрицательным. На практике та­кого не бывает, так как вексель исключительно краткосрочный инструмент заимствования.

Сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая обра­зуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

При норме доходности г имеем:

• в первый год: РУ\ = &У( 1 ■+■ г),

• во второй год: РУг = 7^,(1 + г) = РУ{\ + г)2 и т. д.

Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следую­щий вид:

РУ„ = РУ(\ +г)\ (4.7)

Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

РУ

РУ =----- 2-. (4.8)

(1 +г)я

Если процентная ставка изменяется в различные периоды времени, т.

е.

л 1 2 ... п

Г Г| г2 ... г„

то в этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

РУп = РУ• (I + г 0 *(1 + гг)... (I + гя) или

(4.7') (4.8')

РУ„=РУ\\{\+гк),

РУ.

РУ =

По*'*)

Рассмотрим соотношение между показателями наращения для простых и сложных процентов. С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

• если п < I года, то I + п • г > (I + г)п. Инвестировать при простых процентах более вы­годно;

• если п > 1 года, то 1 + п • г < (1 + г)". Предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов;

• если п = 1 год то 1 + п • г = (1 + /*)". В этом случае выбор варианта значения не имеет.

Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на пе­риод будет равна г!тч а количество периодов будет равным пт. В соответствии с исходной формулой (4.7) наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

/ \n-rn

1 + - • , (4.9)

1 т) ' '/-ц

(4.10)

Формула для вычисления настоящей стоимости также принимает следующий обоб­щенный вид:

Г Л

РУ = РУЛ 1 + - V пі)

Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года: процентная ставка 40% го­довых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

Рассчитаем показатель наращения с помощью формулы (4.9):

И1(О=(1 + ^0)2'2 =2.074. 2-12

( С» Ч X

= 2.113.

^(0 = , . ч * /

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начисле­ний процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схеме начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

РУ„ = РУ

По определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же веліпшну буду­щего значения денег, полученных • при начислении процентов т раз в году при номинальной процентной ставке г.

ґ члт

и

т

• при начислении процентов один раз в году при процентной ставке гэ:

РУп = РУ( 1 + гэ)".

*\ ІМН

т)

Следовательно:

(і= откуда легко следует:

Влияние числа начислений процентов на эффективность инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке 30% иллюстрируется ниже.

м 1 2 Г 4 12 365
Г1 30.0% 32.3% 33.6% 34.5% 35.0%

Наращение и дисконтирование с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что:

РУ = ГУ„(1-4)а. (4.12)

Если начисление процентов производится т раз в году, то формула (4.12) будет иметь

вид:

РУ = ГУ„
(4.12')

г ,]\пт І-- т,

Формулы для наращения при использовании учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

РУ

(4.13)

ГУ =

1 ' п

РУ

/ л\пт

I-

Ч т.

(4. ІЗ1)
РУ =

' ' п

Пример. Вексель на $500 тыс. учитывается банком по учетной ставке 15% при начис­лении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходи­мо определить величину дисконта.

Воспользовавшись формулой (4.12'), получим:

£

= $452,134.
1~

12

' 0.І54'2 ~

РУ = 500,000-

12 )

Следовательно, дисконт составляет 500,000 - 452,134 = $47,866.

<< | >>
Источник: Савчук В. П.. Управление финансами предприятия / В. П. Савчук, 2-е изд., стерео­тип. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, — 480 с.. 2005

Еще по теме 4.3.2. Элементы теории процентов:

  1. Четыре основных элемента из неоклассической экономической теории
  2. 72. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДЖ. КЕЙНСА В «ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЗАНЯТОСТИ, ПРОЦЕНТА И ДЕНЕГ»
  3. Основные элементы научной политической теории.
  4. ЗАБЛУЖДЕНИЕ Ко 2:ПРОЦЕНТЫ МЫ ПЛАТИМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА БЕРЕМ ДЕНЬГИ ПОД ПРОЦЕНТЫ
  5. 6.4.2. Проценты по облигациям и векселям, проценты по товарному кредиту
  6. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента.
  7. 15.1. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента
  8. Современные попытки «соединения» теории стоимости и теории денег
  9. Статья 328. Порядок ведения налогового учета доходов (расходов) в виде процентов по договорам займа, кредита, банковского счета, банковского вклада, а также процентов по ценным бумагам и другим долговым обязательствам
  10. 11.2.2. Применяется ли ставка НДС 10 процентов в отношении агентского вознаграждения, если агент реализует товары, облагаемые НДС по ставке 10 процентов
  11. 11.2.1. Применяется ли ставка НДС 10 процентов при лизинге товаров, облагаемых НДС по ставке 10 процентов
  12. ПРОЦЕНТЫ ПО КРЕДИТАМ И ЗАЙМАМ, ОПЛАТА УСЛУГ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ Проценты по кредитам и займам
  13. § 2. Теории отклоняющегося поведенияБиологические теории
  14. Основы формирования ссудного процента
  15. Сложные проценты
  16. 54. ССУДНЫЙ ПРОЦЕНТ