<<
>>

Оценка опционов до момента окончания их срока

Обратимся к рассмотренному опциону на покупку с ценой реа­лизации Е = 100 руб. Если инвестор будет ждать окончания срока опциона или решит немедленно реализовать опцион (то есть потре­бовать от продавца опциона продать основную акцию), то стоимость опциона будет определяться соотношением рыночной цены акции Ре в момент реализации опциона и ценой реализации опциона Е: если Рэ > Е, то стоимость опциона определяется разницей (Рэ - Е); если Рэ < Е, то стоимость опциона равна нулю.

Стоимость опциона в момент его реализации является низшей из возможных цен опциона. Действительно, пусть Рэ = 120 руб., и опци­он на покупку стоит дешевле разницы (Рэ - Е) = 120 -100 = 20 руб., например, 15 руб. Тогда владелец опциона, потратив на покупку опциона 15 руб., немедленно реализует его, то есть обяжет продавца опциона продать ему акцию по 100 руб., сразу же ликвидирует ее по рыночной цене 120 руб. и в итоге будет иметь прибыль, равную: 120 -100 -15 = 5 руб. (расчеты сделаны для одной акции). Такая си­туация называется «денежной машиной» и теоретически подобна вечному двигателю: инвестор «из воздуха» получил 5 руб.

Если бы она была возможной, то все инвесторы сразу ей воспользовались, что немедленно вызвало бы рост стоимости опциона.

Если на рисунке 6.3 отразить стоимость опциона в случае его немедленной реализации, то линия OAB будет нижней границей возможной стоимости опциона на покупку.

Стоимость опциона на покупку до окончания его срока опреде­ляется кривой OCD (пунктирная линия). Она находится между

нижней (определяемой стоимостью опциона при его немедленной реализации) и верхней (определяемой стоимостью основной акции) границами.

С другой стороны, ни один опцион на покупку не может стоить больше цены основной акции, хотя бы потому, что выплаты владельцу опциона равны цене акции за вычетом цены реализации опциона.

Значит, стоимость опциона должна описываться линией, лежащей ме­жду верхними и нижними границами возможной стоимости опциона. Теоретически стоимость опциона до момента истечения его срока обо­значается пунктирной кривой ОСИ. Она начинается там, где пересе­каются нижние и верхние границы стоимости опциона - в начале ко­ординат, затем, по мере роста цены основной акции, повышается и в конечном итоге стремится к восходящему участку кривой нижней гра­ницы. Отсюда следует первый вывод о стоимости опциона: стоимость опциона повышается по мере роста цены основной акции (если, конечно, цена реализации опциона остается прежней).
Стоимость опциона Верхняя граница стоимости

опциона, определяемая ценой акции

Рис. 6.3. Стоимость опциона на покупку до окончания его срока

Исследуем более внимательно очертания кривой ОСИ и ее ме­стоположение. Для этого остановимся отдельно на точках О, С и И.

Точка О. Если стоимость акции ничтожна, то и опцион ничего не стоит. Стоимость опциона связана с будущей стоимостью акции. Если же акция ничего не стоит, то у нее нет и будущей стоимости. Зачем же покупать опцион на такую акцию?

Точка D. Когда цена основной акции становится выше, цена опциона приближается к цене основной акции за вычетом приве­денной стоимости цены реализации опциона. Обратим внимание, что с ростом цены основной акции пунктирная линия становится практически параллельной восходящему участку нижней границы стоимости опциона. Это происходит потому, что с ростом цены ак­ции возрастает вероятность того, что опцион обязательно будет реа­лизован. Если стоимость акции достаточно высока, реализация оп­циона практически определена, поскольку вероятность падения це­ны основной акции ниже цены реализации становится слишком ма­лой. Когда инвестор владеет опционом на покупку, который он од­нозначно намерен реализовать, то есть получить на него основную акцию (поскольку цена основной акции высокая), то можно считать, что он владеет этой акцией.

Единственное различие состоит в том, что он не должен платить за нее полную цену вплоть до срока реа­лизации опциона. В таком случае приобретение опциона на покуп­ку акции эквивалентно покупке акции, часть которой оплачена как бы за счет занятых инвестором денег. Сумма якобы занятых денег равна приведенной стоимости цены реализации опциона.

Следовательно, стоимость опциона на покупку при высокой цене основной акции равняется цене акции за вычетом текущей стоимости цены реализации:

Voc = Ps - PV(E).

Отсюда следует и другой вывод: если инвестор приобретает ак­цию путем предварительной покупки опциона, то он фактически получает кредит в рассрочку (инвестор платит цену опциона сего­дня, но цена реализации выплачивается им в момент реализации опциона). Отсрочка платежа становится ощутимой, если безриско­вая ставка процента достаточно высока и ожидаемый срок до реали­зации опциона велик. Таким образом, стоимость опциона возрастает с увеличением безрисковой ставки процента и срока до реализации опциона; в этом случае пунктирная кривая пойдет выше.

Точка С: в ней цена акции точно равна цене реализации оп­циона. Если бы опцион реализовывался немедленно, то его стои­мость равнялась бы нулю. Однако, представим, что в этот момент до окончания срока опциона остается еще достаточно времени и у ин­вестора есть надежда, что цена акции за оставшийся период превы­сит цену реализации. Строго говоря, существует 0,5 вероятности то­го, что акция станет дороже и инвестор, в случае реализации опцио­на, получит выручку, равную разности между ценой акции и ценой реализации. Одновременно имеется 0,5 вероятности неудачного для инвестора исхода, когда цена акции понизится и он ничего не полу­чит, так как не будет иметь смысл реализовывать опцион. Но если худший для инвестора вариант приносит нулевой результат, а рав­новероятный положительный результат дает определенную отдачу, то такой опцион обязательно должен иметь какую-то стоимость. Значит в точке С пунктирная кривая, соответствующая стоимости опциона до срока его окончания, обязательно должна проходить выше нижней границы, которая в точке С совпадает с осью абсцисс.

В общем случае цена опциона всегда выше нижней границы стоимости опциона, если еще есть время до окончания опциона. Чем выше разброс будущих значений цены основной акции относи­тельно цены реализации, то есть чем выше стандартное отклонение случайных величин цены акции от цены реализации, тем больше ожидания инвесторов возможно более значительных величин цены акции, следовательно, тем выше располагается пунктирная кривая OCD на графике.

Приведенную стоимость любо средства (а значит и ее цену) мож­но найти, задав ожидаемые в будущем потоки денег от данной инве­стиции и продисконтировав их за весь планируемый горизонт инве­стиции. Почему же нельзя применить этот способ для оценки стоимо­сти опциона? В принципе, первый этап - прогнозирование будущих потоков денег от опциона - вполне выполним. Невозможен второй шаг: риск, связанный с опционом, меняется каждый раз по мере из­менения цены основной акции (чем выше цена, тем меньше риск). Кроме того, риск опциона меняется во времени, даже если цена акции не колеблется. Следовательно, невозможно задать однозначную став­ку дисконта и продисконтировать будущие потоки денег.

Биномиальная модель. Решение проблемы оценки опционов пришло в 1973 году, когда американские экономисты Ф. Блэк и М. Шоулес открыли, что оценить стоимость опциона можно, если пред­ставить его опционным эквивалентом - так называемым репликант- ным портфелем, созданным путем покупки какого-то количества основных акций и займа определенной суммы по безрисковой став­ке процента. Метод Блэка-Шоулеса применим только для европей­

ских опционов (срок реализации которых наступает в момент окон­чания опциона). Кроме того, имеется и еще одно ограничение: предполагается, что за время действия опциона по основной акции не выплачиваются дивиденды.

Простая биномиальная модель исходит из предположения, что в момент окончания опциона основная акция имеет одну из двух возможных цен. Предположим, что в настоящий момент (Ь = 0) цена акции компании «Орион» составляет 100 руб. и через год ее цена может либо возрасти до 125 руб., либо упасть до 80 руб. Допустим, что реальная безрисковая ставка процента г = 7% начисляется непре­рывно в течение периода Т, тогда за это время 1 руб. инвестиций воз­растет до величины 1 х втТ руб. Кроме того, срок опциона равен одно­му году и цена реализации опциона составляет 100 руб. Имеется так­же безрисковая облигация номиналом 100 руб. Необходимо создать репликантный портфель из акции и облигации, выплаты по которо­му в точности совпадут с будущими выплатами опциона. Тогда и стоимость такого портфеля будет равняться стоимости опциона.

Исходные данные для составления репликантного портфеля

Подойдем к решению задачи следующим образом: имеются три вида инвестиций: акция, облигация и опцион на покупку. Цена ак­ции Рэ = 100 руб. и ее возможные выплаты Рэи = 125 руб. и Рэд = 80 руб. известны. Также можно вычислить, что 100 руб., инвестируемые в безрисковую облигацию с непрерывно начисляемыми реальными 7% годовых, дадут через год 107,25 руб. Наконец, известны и выпла­ты при реализации опциона: 25 руб., если цена акции через год со­ставит 125 руб., и 0 руб., когда цена акции снизится до 80 руб. Неиз­вестна цена опциона. Сведем для наглядности исходные данные в таблицу 6.1.

bgcolor=white>107,25
Вид

ценной

бумаги

Выплаты при варианте роста цены акции Выплаты при варианте падения цены акции Действующая

цена

Акция 125 80 100
Облигация 107,25 100
Опцион 25 0 ?
Таблица 6.1

Сформируем на основании этих данных репликантный порт­фель, выплаты по которому в точности соответствуют выплатам по

опциону на покупку в момент его реализации через год. Предполо­жим, что этот портфель состоит из N8 акций и ЫЪ облигаций. Если через год цена акции возрастет до 125 руб., то данный портфель обеспечит инвестору выплаты в размере: (N8 х 125 + N х 107,25). По условию, именно такие выплаты должен обеспечить при реализа­ции через год опцион на покупку. Иными словами:

N8 х 125 + ЫЪ х 107,25 = 25руб.

Если через год цена акции упадет до 80 руб., то выплаты по репликантному портфелю составят: N8 х 80 + ЫЪ х 107,25, и эта величина должна равняться отдаче опциона при его реализации через год:

N8 х 80 + № х 107,25 = 0 руб.

Решая эти уравнения с двумя неизвестными, получим:

N8 = 25/45 = 0,5556 и № = -0,4144.

Что означают эти цифры с финансовой точки зрения? Реп- ликантный портфель создан следующим образом: инвестор при­обретает 0,5556 акции компании «Орион» за свои деньги и корот­ко продает 0,4144 безрисковой облигации (инвестирование доли -0,4144 в облигацию стоимостью 100 руб. означает, что инвестор коротко продал безрисковую облигацию на сумму 41,44 руб. или, занял 41,44 руб. по безрисковой ставке 7%). Подсчитаем отдачу нашего репликантного портфеля. Для случая роста цены акции до 125 руб. имеем:

125 х 0,5556 - 0,4144 х 107,25 = 69,45 - 44,45 = 25 руб.

Для случая снижения цены акции до 80 руб.:

80 х 0,5556 - 0,4144 х 107,25 = 44,45 - 44,45 = 0 руб.

Таким образом, путем комбинирования основной ценной бума­ги и безрисковой облигации мы получили портфель, дающий инве­стору точно такую же отдачу, как и опцион на покупку. Но тогда и стоимость такого портфеля должна равняться стоимости опциона. Стоимость портфеля равна: 55,5 6руб. (столько нужно денег, чтобы купить 0,5556 акции компании «Орион») минус 41,44 руб. (столько инвестор получил за счет короткой продажи безрисковой облига­ции, что он использовал на покупку акции). Итого стоимость оп- 118

циона на покупку равна: 55,56 - 41,44 = 14,12 руб. В общем случае, стоимость Уо опциона на покупку составляет:

Уо = №хРб + КЪхРЪ, (6.1)

где РЪ и Р5 - цены безрисковой облигации и основной акции,

N5 и КЪ - количество акций и облигаций соответственно, кото­рые необходимо объединить в репликантный портфель, чтобы он давал точно такие же выплаты, как и опцион на покупку в мо­мент его реализации при истечении срока опциона.

Чтобы сформировать репликантный портфель, инвестор дол­жен занять определенную сумму денег и с ее помощью приобрести необходимое количество основных акций. Количество акций, необ­ходимых, чтобы заменить один опцион на покупку, называется ко­эффициентом хеджирования, или опционной дельтой. В нашем случае коэффициент хеджирования Ь = 1/1,8 = 0,5556, то есть равня­ется величине N8 в формуле 6.1. Поскольку стоимость каждого оп­циона определяется Ь долями стоимости акции, то можно сказать, что каждый раз, когда стоимость основной акции изменяется на 1 рубль, стоимость опциона изменяется на Ь руб. Если обозначить Рои и Род стоимости опциона при повышении цены акции (до Рэи = 125 руб.) и при понижении цены акции (до Рэд = 80 руб.) соответственно, то:

Рои - Род (25 - 0)

Ь =---------------- =-------------- = 0,5556.

Р5и - Р5д (125 - 80)

То есть опционная дельта показывает реакцию цены опциона на возможные изменения цены акции в момент окончания опциона.

Проведенный анализ показывает, что при заданных:

а) цене реализации Е = 100 руб.;

б) разбросе возможных верхних Рэи = 125 руб. и нижних Рэд = 80 руб.

цен основной акции через год;

в) безрисковой ставке процента ц = 7%;

г) срока действия опциона Т = 1 год;

д) исходной цене акции 100 руб.

цена опциона на покупку равняется 14,12 руб. Следовательно, задав эти пять характеристик, можно создать репликантный портфель на

основе композиции из основной акции и занятых сумм, имеющий такую же стоимость, что и опцион на покупку.

Чтобы создать эквивалент одному опциону на покупку необхо­димо приобрести h основных акций, где h - коэффициент хеджиро­вания, и занять определенную сумму В денег по безрисковой ставке. Эту сумму можно найти по формуле:

В = PV(h х Psd -Pod), (6.3)

то есть как приведенную стоимость выражения, заключенного в скобки. В рассматриваемом случае:

В = PV(0,5556 х 80 - 0) = (0,5556 х 80)Д,0725 = 41,44 руб.

Значит, в общем случае биномиальной модели стоимость Voc одного опциона на покупку может быть представлена в виде:

Voc = hxPs - В. (6.4)

Использование модели для опционов на продажу. Чтобы приме­нить выводы биномиальной модели для оценки опционов на про­дажу, обратимся к основному равенству для европейских опционов и представим его в виде:

(стоимость опциона на продажу) = (стоимость опциона на покупку) - - (стоимость основной акции) + (приведенная стоимость цены реализации),

или Vop = Voc - Ps + PV(E). Стоимость опциона на покупку: Voс = h х х Ps - В; приведенная стоимость цены реализации равна: E/erT, где T - срок действия опциона. Следовательно:

E - h х Psd + Pod

Vop = Psх(h - 1) -B + E/erT = psх(h - 1) +--------------------------------- .

eT

Поскольку (h - 1) < 0, то репликантный портфель для оценки опциона на продажу строится путем короткой продажи (1 - h) акции и инвестирования в безрисковую облигацию суммы: (E - h х Psd + + Pod)/erT. В нашем случае:

100 - 0,5556х80 + 0 Vop = -0,4444хPs + = - 44,44 + 51,8 = 7,36 руб.

1,0725

Мультипериодный случай. Формула Блэка-Шоулеса. Мы вы­брали период действия опциона в 1 год и исходили из того, что ос­новная акция, стоившая 100 руб. в момент Ь = 0, через год может сто­ить либо 125 руб., либо 80 руб. Однако биномиальный метод можно применять, если предположить, что в течение годичного периода цена акции меняется не один раз (на практике именно это и проис­ходит). В таком случае первоначальный период можно разбить на ряд интервалов и каждый последующий результат представить как следствие многочисленных биномиальных решений в предыдущие интервалы. Теоретически, если будут заданы все пять начальных характеристик, проведя расчеты от конца холдингового периода к началу, можно найти стоимость опциона в начальный момент Ь = 0. Специально запрограммированные калькуляторы позволяют прово­дить подобные вычисления.

Блэк и Шоулес вывели формулу оценки опциона для случая, когда длина интервала стремится к нулю. Если при этом предполо­жить, что непрерывно начисляемая доходность акции распределена по нормальному закону, то цена опциона на покупку может быть вычислена по формуле:

Уое = Ф(й) хРэ - Бх(е-гт) хФ(Й2), (6.5)

ІЦРб/Б) + (її + ст2/2) хТ

Йі =------------------------------------- , (6.6)

п4г

^2 = СІ1 - О л/Г

где: Уос - цена опциона на покупку;

Р8 - действующая (текущая) цена акции;

Е - цена реализации опциона;

ц - безрисковая ставка процента[2];

ст - стандартное отклонение норм отдачи акции;*

Т - время действия опциона на покупку;*

Ф^) и Ф^) - функции нормального распределения (опреде­ляются по таблицам).

Несмотря на «устрашающий» вид, формула 6.5 по сути является «расширенным» вариантом формулы 6.4 и отражает уже известный факт:

стоимость опциона = [дельтахцена акции] - [банковский заем], Ф(^) х Ps - Ф^) х PV(E).

Если цена акции станет значительной, то величины di и d2 воз­растут, и функции Ф^) и Ф^2) обе устремятся к единице. В этом случае цена опциона будет равняться цене акции за вычетом теку­щей стоимости цены реализации опциона:

Voс = Ps - E/erT.

Этот вывод, мы уже получили, исследуя рисунок 8.3. Напомним, что формула 6.5 применима только для европейских опционов с учетом предположения, что за время действия опциона по основной акции не выплачиваются дивиденды.

Как следует из формулы 6.6, для нахождения цены опциона на покупку необходимо задать пять начальных параметров:

1) цену акции Ps

2) цену реализации опциона E

3) срок окончания опциона T

4) безрисковую ставку процента rf

5) стандартное отклонение ст норм отдачи основной акции

Первые четыре параметра известны в исходный момент, а вели­чину ст надо находить. Причем формула 6.6 показывает, что стои­мость опциона очень зависит от величины ст. На практике исполь­зуют два метода для оценки ст: можно взять значения норм отдачи акции за прошедший период (от 30 до 90 дней - профессионалы предпочитают оперировать дневными значениями rf и ст, считая, что в этом случае формула Блэка-Шоулеса дает более точные результа­ты) и по ним вычислить ст ex post, то есть стандартное отклонение уже реализованных норм отдачи которое и нужно использовать в формуле 6.6. По второму методу, для нахождения ст берется цена опциона в предыдущий день, подставляется в формулу 6.6, и урав­нение решается относительно неизвестной ст. К сожалению, прямое решение этого уравнения невозможно, поэтому необходимо исполь­зовать специальные методы вычисления.

Формула Блэка-Шоулеса стала широко используемой и профес­сионалами, и индивидуальными инвесторами. Она дает корректные оценки стоимости опционов. С определенными условиями ее можно применять и для оценки американских опционов, а также для евро­пейских опционов, в случае выплаты по основной акции дивидендов за время действия опциона.

<< | >>
Источник: В.М. Аскинадзи. Рынок ценных бумаг Учебно-методический комплекс Учебно-методический комплекс. – М., Изд. центр ЕАОИ,– 211 с.. 2008

Еще по теме Оценка опционов до момента окончания их срока:

  1. Оценка опционов в момент их реализации
  2. Дата истечения срока опциона
  3. 10.3. Оценка стоимости опционов
  4. § 32.2. ОЦЕНКА put-ОПЦИОНА
  5. 15.11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СФЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
  6. 15.5. ДВУХСТУПЕНЧАТАЯ (БИНОМИАЛЬНАЯ) МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
  7. 13.Модель оценки опционов.
  8. S 2. Оценка бизнеса при разбиении его остаточного срока на прогнозный и постпрогнозный периоды (концепция «продолжающейся стоимости»бизнеса)
  9. 25. Значение процессуальных сроков. Виды сро- ков. Исчисление сроков. Продление срока. Вос- становление пропущенного срока
  10. 19.2. Анализ и оценка реальных опционов, связанных с инвестициями в развитие бизнеса
  11. Оценка опционов, связанных с созданием новых товаров
  12. 17.3.2. Применение формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реальных опционов
  13. Виды опционных контрактов. Покупатель и продавец опционов.
  14. § 32.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ НА РАСШИРЕНИЕ БИЗНЕСА
  15. Глава 19. Реальные опционы и новая методология оценки инвестиционных проектов
  16. 1.3.6. Окончание срочного трудового договора
  17. 4.5.ОКОНЧАНИЕ ВОЙНЫ
  18. 5.6. ОКОНЧАНИЕ ВОЙНЫ
  19. 9.2. Изменение срока уплаты налога (сбора, пени) 9.2.1. Общие условия изменения срока уплаты налога (сбора, пени)