СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под / процентов годовых (проценты сложные).

Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма 5 = Р (сумма на начало этого интервала начисления) + гР (проценты) = /)(1 + /).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда нара­щенная сумма после двух лет Б = Р{ 1 + /) (наращенная сумма после одного года) + 1Р{\ + /) (проценты) = Р(1 + /)(1 + /") = + /)2.

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда нара­щенная сумма после трех лет £ = Р(1 + г')2 (наращенная сумма после двух лет) + г7\1 + г")2 (проценты) = Р({ + г)2(1 + г") = Р( 1 + г)3- И т. д.

Если п — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через п лет 5= />(1 + /)".

Пример 7. Первоначальная сумма Р— 5000 руб. помещена в банк на п = 2 года под / = 15% годовых (проценты сложные).

Тогда наращенная сумма после двух лет 5 = Р(\ + г)" = = 5000(1 + 0,15)2 = 6612,5 руб.

Задача 7. Первоначальная сумма Р= 7000 руб. помещена в банк на п = 3 года под г = 10% годовых (проценты сложные). Найти нара­щенную сумму.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму Б, сложную годовую процентную ставку /, можно определить период начисления п (в годах):

S = P(l + i)" => (1 + /)" = S/P => ln(l + /)" = ln^/T5) =» «ln(l + i) = 1п(5/Я) => n = 1п(5/.Р)/1п(1 + /).

Пример 8. Первоначальная сумма Р — 3000 руб., наращенная сумма S= 4500 руб., /' = 20% годовых (проценты сложные).

х , /с/м/г /, ^ л 1п(4500/3000)

Тогда период начисления п - m{S/Р)/т{\ + /) = , —~

1п(1 + 0,2)

~ 2,2 года.

Задача 8. Первоначальная сумма Р= 6000 руб., наращенная сум­ма 5 = 7200 руб., / = 10% годовых (проценты сложные). Найти период начисления.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период на­числения п (в годах), можно определить сложную годовую процент­ную ставку i:

s= р( 1 + /г => (1 + iy = s/p=> i + /= Чур =>' = 4S/P - 1.

Пример 9. Первоначальная сумма Р = 2000 руб., наращенная сумма S= 3500 руб., период начисления п = 3 года.

Тогда сложная процентная ставка /' = \S/P — 1 =

= "V3500/2000 - 1 = 0,205 (= 20,5% годовых).

Задача 9. Первоначальная сумма Р= 3000 руб., наращенная сум­ма S= 4000 руб., период начисления п — 2 года. Найти сложную про­центную ставку.