Глава 41.ПОРТФЕЛЬ ИЗ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ

Пусть портфель состоит из активов я и />, м>д — доля вложенных в актив а средств, у/ь — доля вложенных в актив Ъ средств, м>а + м>ь — 1.

Предположим, что возможны п состояний экономической ситуа­ции, вероятности которых равны ри р2, ..., р„.

Возможные доходности актива а в этих состояниях экономики обозначим аь а2,..., а„ соответственно.

Возможные доходности актива Ъ в этих состояниях экономики равны Ьи Ь2, ..., Ь„ соответственно.

Тогда ожидаемые доходности активов а и Ъ определяются по фор-

п п

мулам Е(а) = Ир, а, и Е(Ь) = Е р, Ь, соответственно. Отсюда ожидав-

1=1 /=1

мая доходность портфеля равна Е = у/аЕ(а) + м/ьЕ(Ь).

Дисперсии ожидаемых доходностей активов а и Ь определяются

я п

по формулам ст2 = Е р. а} - (Е(а))2 и ст42 = Е />А2 - (£(А))2соответст-

1=1 1=1

венно.

Ковариация активов а и Ь определяется по формуле: СОУ(а, Ь) =

= 1р,(а- Е(а))(Ъ- Е(Ь)).

Тогда дисперсия ожидаемой доходности портфеля определяется по формуле ст2 = + м^2ст42 + 2и'аи'АСО\(а, Ь). Отсюда стандартное от­клонение ожидаемой доходности портфеля равно ст = Уст2.

Пример 124. По данным таблицы определим ожидаемую доход­ность и стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля, состоящего из активов а и Ь. Доли средств, вложенных в активы а и й, равны соответственно у?а = 0,6 и», = 0,4.

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых четырех строк взяты из условия. 5-я (6-я) строка — это произведение 2-й и 3-й (4-й) строк. 7-я (8-я) строка — это произведение 3-й и 5-й (4-й и 6-й) строк.

п

Ожидаемая доходность актива а равна Е(а) = 2 р,а, = 1%. Ожида-

1=1

п

емая доходность актива Ь равна Е{Ь) = Ир,Ь, = 2,9%.

1=1

Из каждого числа 3-й (4-й) строки вычитаем Е(а) = 7 (Е(Ь) = 2,9) и результат пишем в 9-й (10-й) строке. 11-я (12-я) строка равна произ­ведению 9-й и 10-й (2-й и 11-й) строк.

Ожидаемая доходность портфеля составляет Е = шаЕ(а) + *л!ьЕ(Ь) = = 0,6X7 + 0,4X2,9 = 5,36%.

П

Дисперсия ожидаемой доходности актива а равна а2 = X р,а} —

1=1

— (Да))2 = 190 — 72 = 141%2. Дисперсия ожидаемой доходности акти-

п

ва Ь составляет ст„2 = Xр,Ь} - (Е(Ь))2 = 120,7 - 2,92 = 112,29%2.

Ковариация активов а и Ь равна СО¥(а, Ь) = Лр,(а, — Е(а))х

1=1

х(Ь, - ЕЩ) = 125,7%2.

Дисперсия ожидаемой доходности портфеля составляет о2 = ^02ста2 + + \vfei + 2\9аУ!ьСОЧ(а, Ь) = 0,62Х141 + 0,42х 112,29 + 2X0,6X0,4X125,7 ~ « 129,1%2.

Тогда стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля равно а = V 129,1 ® 11,4%.

Задача 124. По данным таблицы определить ожидаемую доход­ность и стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля, состоящего из активов а и Ь. Доли средств, вложенных в активы а и Ь, равны соответственно н>„ = 0,7 и щ = 0,3.