<<
>>

3.8. Математические методы планирования

При исследовании систем управления должны исследоваться возможность применения и соответствие применяемых методов условиям задачи управления. Применение в предшествующих плановых исследованиях математических методов возможно при наличии формальных статистических данных, необходимых вычислительных средств, высокой квалификации исследователей.
При математическом планировании необходимо учитывать некоторое множество переменных величин, характеризующих постоянно изменяющиеся производственные условия. Число сочетаний этих величин в течение определенного времени - планового периода - может быть достаточно большим. По признаку используемого при планировании математического аппарата можно выделить методы классической и прикладной математики /1,4,6/.

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. В свою очередь, методы математического анализа включают дифференциальное и вариационное исчисление. Эти методы целесообразно использовать: при расчетах календарно-плановых нормативов; определении размеров партий деталей; длительности производственного цикла; величины заделов; при решении задач оперативного управления ходом производства и т.д /12, 13/.

Прикладная математика включает большую группу методов: оптимального и линейного программирования, математической статистики, комбинаторные, теорий расписаний и игр, массового обслуживания и управления запасами, матричные модели, симплексный метод, метод экспертных оценок и др. /1З/. Оптимальное программирование - это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является оптимальным - наилучшим в определенном критерием смысле с учетом существующих ограничений. Это множество методов включает линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое, выпуклое, квадратичное, параметрическое, блочное, целочисленное (дискретное) программирование и др.

Метод динамического программирования позволяет найти оптимальное решение. При этом процесс рассматривается в направлении, противоположном движению времени - «из будущего в настоящее». Теоретической основой этого метода является принцип оптимальности Беллмана-Понтрягина, который гласит: «Всякая оставшаяся часть оптимального процесса оптимальна». Поэтому процесс моделирования протекает от искомого (конечного) состояния к текущему, а вся траектория движения разбивается на ряд отрезков.

Сначала ищут оптимальное решение для последнего (ближайшего к конечному состоянию) участка. Затем ищут решение, оптимальное на сумме последнего и предпоследнего участков, и т. д. Методом динамического программирования могут решаться задачи выбора момента времени замены оборудования для целевой функции - прибыли от эксплуатации, распределения различных видов ресурсов по производствам и т. д./13/.

Линейное программирование /13/. Линейное программирование используется в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями. Решение задачи состоит в отыскании значений переменных (аргументов), обеспечивающих минимум или максимум целевой функции. Применение этого метода возможно, если экономический объект или процесс могут быть адекватно описаны линейными зависимостями. В противном случае этот метод неприменим /13/.

В общем виде заДача линейного программирования формулируется следующим образом:

Найти максимальное (минимальное) значение целевой функции

при ограничениях в виде равенств:

и неравенств:

и условии неотрицательности

Здесь х1, ... , хn являются переменными, а коэффициенты с1,... , сn; a11, ...

, amn; b1, ... , bm - числами, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Симплексный метод решения задач линейного программирования включает следующие процедуры /13/:

1) формирование целевой функции и определение ограничительных условий - функциональных ограничений, которые могут иметь вид равенств или неравенств;

2) преобразование ограничений из неравенств в систему равенств путем ввода вспомогательных, свободных переменных. Эти переменные имеют экономическое содержание и характеризуют резерв (неиспользованный остаток) тех ресурсов, по которым вводится ограничение;

3) построение исходной симплексной таблицы-матрицы, в которой в формируемый план входят только свободные переменные;

4) построение опорного плана;

5) ввод в исходный вариант плана реальных переменных и вычисление значений целевой функции;

6) определение аргумента, доставляющего экстремум целевой функции, и запись его в качестве элемента плана.

При этом каждый из показателей, характеризующий ограничительное условие, делится на соответствующий коэффициент при вводимом переменном - удельный расход данного ресурса. Тогда наименьшее частное определит максимально возможное в условиях принятых ограничений использование ресурсов при заданном критерии оптимальности. Полученный результат вводится в соответствующую строку формируемого плана симплексной таблицы. По этой строке матрицы весь ресурс исчерпан, она является узким местом и подлежит выводу. На ее место вводится другая строка, предварительно пересчитанная. Формируется новый вариант симплексной таблицы, соответствующий К-той итерации. Пересчет строки ведется по разрешающему элементу, находящемуся на пересечении строки с номером вводимой переменной и столбца с номером выводимой переменной. Каждый элемент вводимой строки необходимо разделить на разрешающий элемент. Все остальные элементы матрицы пересчитываются по столбцам по следующим правилам:

1. Значения столбцов, в которых в строке разрешающего элемента стоит ноль, переносятся в новую матрицу без изменения.

2. При пересчете остальных столбцов необходимо из первоначального значения соответствующих элементов вычесть произведение элемента вводимой строки этого столбца на соответствующий коэффициент в столбце разрешающего элемента.

План является оптимальным, если первая строка не содержит отрицательных чисел, т. е. располагаемые ресурсы полностью использованы. Если план неоптимальный, производится

его дальнейшее улучшение: в формируемый план вводятся новые переменные, выбираемые из набора, сформированного по ограничительным условиям и критериальной функции, и содержащиеся в последнем варианте симплексной таблицы, т. е. производится следующий шаг по улучшению плана. Порядок выполнения расчетов описан выше.

Особенностями задач линейного программирования является то, что множество допустимых решений (допустимая область) представляет собой выпуклый многогранник, а наибольшее значение целевая функция принимает в одной из его вершин (угловых точек).

В геометрической интерпретации симплекс-метод представляет собой метод целенаправленного перебора вершин допустимого многогранника. Поэтому его иногда называют методом градиентного или наискорейшего спуска, спуска вдоль ребер выпуклого многогранника допустимых решений. Для поиска экстремума (максимума или минимума) необходимо:

1) выбрать направление спуска;

2) определить величину шага.

В симплекс-методе выбирается направление спуска вдоль того ребра, на которое проекция градиента целевой функции максимальна. Так обеспечивается выбор направления скорейшего увеличения целевой функции.

<< | >>
Источник: Глущенко В.В., Глущенко И.И.. Исследование систем управления: социологические, экономические, прогнозные, плановые, экспериментальные исследования: Учеб. Пособие для вузов. - г. Железнодорожный, Моск. обл.: ООО НПЦ «Крылья», - 416 с.. 2004

Еще по теме 3.8. Математические методы планирования:

  1. Вопрос 4 Экономико-математические методы финансового планирования
  2. Метод экономико-математического моделирования
  3. Методы экономико - математического моделирования.
  4. 4.5.3.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  5. Вопрос 2 Методы финансового планирования. Нормативный метод
  6. 3. Планирование карьеры3.1. Методы планирования карьеры
  7. 3. Методы планирования
  8. 3. Методы планирования
  9. 5.1.2. Методы расчета финансовых показателей и планирования финансов
  10. 2.7. Методы налогового планирования
  11. 4.2. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ