<<
>>

8.3. Будущая стоимость аннуитета

Чтобы лучше разбираться в дальнейшем в принципах финансово- экономической оценки инвестиционных проектов, теперь следует проанализировать еще один тип финансовых операций, предполагаю­щий ежегодный взнос денежных средств ради накопления определен­ной суммы в будущем.

Классическим примером такого рода операций, называемых обыч­но аннуитетом (англ. annuity — ежегодный платеж), является накоп­ление амортизационного фонда, т.е. денежного фонда, позволяющего приобрести новое оборудование взамен постепенно изнашивающего­ся старого.

Стоимость производственного оборудования обычно столь велика, что произвести замену в момент его полного износа за счет только прибыли данного года обычно оказывается невозможным. Защитой от такого рода ситуаций и является накопление амортизационных фон­дов. Этот механизм настолько закономерен, что признается налого­вым законодательством практически всех стран, вследствие чего вели­чина амортизационных отчислений исключается из налогооблагаемой прибыли.

Но для того чтобы амортизационные отчисления сыграли предна­значенную им роль, менеджеры должны точно знать, какой суммой они будут располагать в конечном счете (в будущем) при определен­ных суммах отчислений в настоящее время.

Такие расчеты возможно в принципе провести с помощью форму­лы (8.1), однако это не самый лучший способ. Обычно для таких вы­числений пользуются электронными таблицами или специальными справочниками (такого рода справочная таблица приведена в Прило­жении 1).

Пример 8.2. Чтобы лучше понять смысл подобного рода расчетов, предполо­жим, что вы будете вносить ежегодно (в конце года) на специальный амортизационный счет в банке по 1 млн руб. в течение трех лет при ставке по депозиту 10%. Спрашивает­ся, какой суммой вы будете располагать спустя три года?

Очевидно, что первый миллион пролежит в банке (зарабатывая проценты) два года, второй — один год, а третий — нисколько (во всяком случае, с точки зрения зарабаты­вания процентов).

С помощью формулы расчета будущей стоимости можно найти ту величину, до которой успеет возрасти каждый из взносов до момента изъятия общей суммы со счета. А затем, сложив эти суммы, найти окончательную величину вклада, которой мы будем располагать через три года. В табличной форме это можно записать следующим образом:
Номер ежегодного платежа Время, в течение которого зарабатывается процентный доход, лет Будущая стоимость годового вклада, млн руб.
1 2 1,00(1 +0Д0)2 = 1,21
2 1 1,00 (1 + 0,10)' = 1,10
3 0 1,00 (1 + 0,10)° = 1,00
Итого будущая стоимость 3,31

На рис. 8.1 сделана попытка изобразить тот же процесс графически.

0 12 3

1 І І I Годы

1'° 1'° + 1,0

--------------------- ► 1,10

+

---------------------------------------------------- ► 1,21

= 3,31

Рис. 8.1. Схема нарастания будущей суммы при аннуитете

Таким образом, финальная сумма аннуитета была нами найдена следующим об­разом:

FV} = 1,00 (1 + ОДО)2 + 1,00 (1 + 0Д0)1 + 1,00 (1 + ОДО)0 = 3,31.

Если изобразить эту схему расчета в виде универсальной модели, то получим уравнение

I!

FVA,, = £ РМТ,(1 + к)~\ (8.3)

і=і

где FVAn — будущая стоимость аннуитета (англ. future value of annuity); PMT, — платеж, осуществленный в конце периода t (англ. pay­ment);

к — уровень дохода;

п — число периодов, в течение которых получается доход.

Если суммы платежей одинаковы в каждом из периодов, то это уравнение можно без труда переписать в виде:

л ^ ^

= £ РМТ,{\ +к)~ . (8.3, а)

м

Поскольку все платежи одинаковы по величине, то это уравнение будет вполне справедливым, хотя оно как бы «вынуждает» платежи первого и последнего года поменяться местами.

Нетрудно заметить, что в нем получается, как будто платеж первого года с номером / = 1 не приносит дохода вообще, так как нулевая степень при выражении (1 +к) обращает его в единицу. И напротив, платеж последнего года, для которого I = п и который на деле не приносит никакого процент­ного дохода, по этой формуле вроде бы работает на прирост дохода дольше всего. Но если все платежи по абсолютной величине одинако­вы, то эта «математическая несправедливость» результата не искажает, позволяя зато двинуться к дальнейшему упрощению формул расчета аннуитета.

Результатом такого упрощения станет уравнение вида

= РМТ ■ 1ТЛ \п.к, (8.4)

где: ГУЛ \пЛ = [(1 + к)" /к — формула расчета будущей стоимости аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении п периодов и при ставке процентного дохода на уров­не к.

Такой аннуитет обычно называют уровневым, или унифицирован­ным (стандартным) аннуитетом, так как платежи одинаковы по всем периодам. И если в дальнейшем мы будем употреблять тер­мин «аннуитет» без дополнительных определений, то это будет оз­начать, что речь идет именно об унифицированном (стандартном) аннуитете.

Нарастание сумм при аннуитете можно рассчитать с помощью калькулятора, электронных таблиц или определить с помощью специ­альных таблиц типа той, что приведена в Приложении к настоящей книге. В последнем случае для определения будущей величины аннуи­тета необходимо будет по таблице найти будущую стоимость 1 руб. в году п и при ставке процента к, а затем умножить полученный коэф­фициент на годовую сумму денежного потока (РМТ).

Пример 8.3. Предположим, что вы решили сформировать личный пенсионный фонд путем откладывания в конце каждого из оставшихся 30 лет вашей трудовой дея­тельности по 10 ООО руб. на банковский счет со ставкой 10%. Спрашивается, сколько средств будет на вашем счете через 30 лет?

РУАт = 10 000 • РУА1пк = 10 000 • 174,49 = 1 744 900 руб.

Но в инвестиционных расчетах может встретиться задача обратного типа. Предста­вим себе, например, что алюминиевому заводу предстоит через пять лет заменить уста­новку стоимостью 100 млн руб. Есть договоренность с банком об открытии накопитель­ного счета под амортизационный фонд со ставкой 10% годовых. Спрашивается, сколь­ко надо предприятию ежегодно перечислять на этот счет, чтобы к началу 6-го года собрать сумму, достаточную для покупки аналогичной установки (не беря в расчет ин­фляцию)?

РУА5 = РМТ-РУАКлаЛМ

Найдя по таблице значение коэффициента для пяти лет накопления и ставки 10% (он равен 6,105) и зная, что ТУА5 равняется 100 млн руб., мы можем определить, что потребная величина ежегодных платежей (РМТ) будет равна:

100 000 000 = РМТ*-6,105 или РМТ 100 000 000 : 6,105 = 16 380 000 руб.

Аналогично можно рассчитать, что, скажем, потребная сумма амортизационных отчислений при стоимости оборудования 300 млн руб., сроке амортизации девять лет и депозитной ставке по амортизационному счету на уровне 12% составит 20 303 194 руб.

<< | >>
Источник: Липсиц И.В., Коссов В.В.. Экономический анализ реальных инвестиций. 2006

Еще по теме 8.3. Будущая стоимость аннуитета:

  1. 4.6.1. Будущая стоимость аннуитета
  2. Будущая стоимость аннуитета
  3. 8.4. Текущая стоимость аннуитета
  4. 4.6.2. Приведенная стоимость аннуитета
  5. 4.10.1. Инфляция и будущая стоимость
  6. 4.1.1. Расчет будущей стоимости
  7. 4.5.2. Будущая стоимость нескольких денежных потоков
  8. 4.2. Текущая и будущая стоимость ценных бумаг
  9. § 22.3. СВЯЗЬ ДЮРАЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
  10. § 22.2. КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ НАСТОЯЩЕЙ СТОИМОСТИ БУДУЩИХ ДОХОДОВ ПО СТАВКЕ ПРОЦЕНТА
  11. Понятие аннуитета
  12. 4.6. АННУИТЕТЫ
  13. 2.7. Аннуитеты