6.2. Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на используемые ею ресурсы в долговременном и краткосрочном промежутках. Функции условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы и функция условного выпуска фирмы
Если фирма имеет лимит на ресурсы, равный К, т.е.
рххх+р2х2=к (6.2.1)
то задача (6.1.1) максимизации прибыли фирмы в долговременном промежутке приобретает вид РЯ = р0/(хх, х2) - У—> шах, что эквивалентно задаче
/(хр х2) шах (6.2.2)
при наличии ограничения (6.2.1) на условный экстремум. 168
Хорошо известно, что задачу (6.2.2), (6.2.1) следует решать методом Лагранжа: составить функцию Лагранжа
Цх19 х2, X) =/(х[9х2) + к(У-рххх -р2х2) (6.2.3)
и решить систему трех уравнений с тремя неизвестными х{9 х2, X:
ЭЦх]9х29 X) = д/(х19х2) =()
Э^ Э^ 1
ЭДхр х2, X) _ д/(х{9х2) = ^ (6 2 4)
Эх2 Эх2 2
Ы(хХ9х29Х)
---- ^------ = У-рххх-р2х2=0,
которые представляют собой условия первого порядка.
В связи с тем что ПФДх{9 х2) обладает рядом специфических свойств, одним из которых является строгая выпуклость изоквант к точке О, короткая точка (хх, х2) есть точка глобального максимума целевой функции (6.2.2) при наличии ограничения (6.2.1). Напомним, что длинная точка (хр х2, X) является единственным решением системы (6.2.4).
В связи с тем что формальная задача (6.2.2), (6.2.1) максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы не отличается от задачи максимизации функции полезности потребителя при бюджетном ограничении (см. параграф 1.1), мы воспользуемся формальными результатами параграфа 1.1.
Функции хх = ф1 (рх, р2, V), х2 = ф2 (рх 9р29 V) называются функциями условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы на рынках ресурсов (капитала и труда). Функция ^ = /(х1,х2)=/(ф1(р1,/?2, У),Р/>2, V) и в(рх,р2, V) однородны нулевой степени относительно всех трех переменных РрР2, V.
С изменением лимита Кот нуля до +оо и при фиксированных ценах^и^на ресурсы точка (х1,х2) = (ф1(р1,р2, К),ф2(рх,р2, V)) заметает (от слова «метла») на плоскости Оххх2 линию Ь9 которая называется линией развития фирмы в долговременном промежутке. Линия Ь развития фирмы аналогична линии доход-потребление в теории поведения потребителя на рынке (рис. 6.1, на котором лимит принимает два значения У{ и У2 и на котором также показано локальное рыночное равновесие (х°, х2) фирмы, т.е. решение задачи 6.1.1).
Рис. 6.1 |
6.2.2. Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы в краткосрочном промежутке есть задача (6.2.2), (6.2.1) при дополнительном ограничении
ХХ=ХХ9 (6.2.6)
Приведем геометрическое решение этой задачи (на рис. 6.2 — конфигурация ресурсов (*,, х2)). На рис. 6.2 для сравнения показано решение задачи (6.2.2), (6.2.1) в долговременном промежутке (см.
конфигурацию ресурсов (*,, х2) на рис. 6.2). Рисунок 6.2 иллюстрирует важное положение: при одном и том же лимите Кна ресурсы в случае долговременного промежутка объем выпуска у фирмы больше (не меньше) объема выпуска у (у >у) в случае краткосрочного промежутка. Рис. 6.2 |
При вариации лимита К на ресурсы конфигурация (хх, х2) ресурсов будет перемещаться по линии Я, которая, следовательно, есть линия развития фирмы в краткосрочном промежутке.
6.2.3. Приведем решение задачи максимизации выпуска фирмы при наличии лимита С на ресурсы в случае, когда производственная функция /(*,, х2) фирмы есть функция Кобба — Дугласа У = а0хЧхр:
/(*,, х2) = а0х^хЪ шах, рххх+р2х2 = С.
Здесь рх и р2 — рыночные цены на ресурсы. Искомыми переменными являются объемы х, и х2 первого и второго ресурсов. Составим функцию Лагранжа
Ь = а0х?х? + Х(С-/>,х, -р2х2)
и выпишем для нее условия первого порядка
^ -а0ахх^х? -А,, =0, ^ = а0а2х*х?->-Ьр2 = 0,
откуда получаем равенство дробей
ДрСС^-'х^ _ рх
а0а2Х\1 Х22~1 Р2
После элементарных преобразований имеем
х2 а2рх а 2рх
— = или х2 = —-—-X,.
X
Подставив выражение для х2 в ограничение С=/>,х, + р2х2, получим
С-/?,х,-^^^-х, =0, или Са, =(а, н-а2)/?,х,, а,/>2
откуда
а, С
1 1 2 (а,+а 2)рх
(функция условного спроса (по Маршаллу) на первый ресурс со стороны фирмы на рынке). Для х2 имеем
£ = а2Р\ X = а2р\ *\С = а2С 2 ахр2 1 ахр2 (а,+а2)рх {ах+а2)р2
*2 =7---- = Ф2(Л^2'С)
(сс,+а 2)р2
(функция условного спроса (по Маршаллу) на второй ресурс со стороны фирмы на рынке).
яв ЫаТа2Г с"|+а2
(функция условного предложения выпуска фирмы на рынке).
Еще по теме 6.2. Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на используемые ею ресурсы в долговременном и краткосрочном промежутках. Функции условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы и функция условного выпуска фирмы:
- § 3. Поведение фирмы в краткосрочном и долговременном периодах
- 8.1.Понятие и целевая функция фирмы. Экономическая природа фирмы
- 41. ПРЕДЛОЖЕНИЕ ФИРМЫ. РАВНОВЕСИЕ ФИРМЫ В КРАТКОСРОЧНОМ ПЕРИОДЕ
- Стоимость привлечения инвестиционных ресурсов фирмы
- РАЗДЕЛ II. РЕСУРСЫ ПРЕДПРИЯТИЯ (ФИРМЫ)
- ИНВЕСТИЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ ПРЕДПРИЯТИЯ, КОМПАНИИ, ФИРМЫ
- 5.1. Альтернативные подходы к объяснению фирмы и ее границ 5.1.1. Неоклассическая теория фирмы
- § 3. Производственная функция и спрос на ресурсы
- 14.3. Производственно-сбытовые функции предпринимательской фирмы
- Раздел 7. Формирование стартовых условий развития фирмы (расчет суммы необходимых кредитов) фирмы «Спорт».
- 9.3.Доходы фирмы и максимизация прибыли
- 14.2. Функции предпринимательской фирмы, предшествующие созданию продукта
- Условия максимизации прибыли фирмы
- 14.1. Профессиональная и деловая платформы функциональной среды предпринимательской фирмы. Понятие конкурентоспособности предпринимательской фирмы
- Равновесие фирмы-монополиста в краткосрочном периоде
- Поведение фирмы в краткосрочном периоде и ее равновесие
- 40. СПРОС НА ПРОДУКЦИЮ ФИРМЫ
- ЗАДАЧА ФИРМЫ
- 2.6. Максимизация прибыли фирмы на всех типах рынков (включая ресурсные)
- ЗАДАЧИ ПОТРЕБИТЕЛЯ И ФИРМЫ