<<
>>

9.8. Статические игры с неполной информацией

9.8.1. В статической игре с полной информацией (см. параграф 9.2) каждый игрок знает множество возможных ходов всех других иг­роков и их функции выигрышей. Если игрок не знаком с особен­ностями других игроков (с их функциями выигрышей и множест­вом возможных ходов), то говорят, что этот игрок обладает непол­ной информацией.
Если в статической игре существует хотя бы один игрок, обладающий неполной информацией о других игро­ках, то такая игра называется статической игрой с неполной инфор­мацией

Далее рассматриваются статические игры, в которых предпоч­тения каждого игрока определяются реализацией некоторой слу­чайной переменной. Эту реализацию некоторой случайной пере­менной выбирает нулевой игрок Р0 (Природа). «Выбор» игроком Р0 определенной реализации означает, что осуществляется выбор определенного типа предпочтений каждого игрока, т.е. каждый игрок может реализоваться в нескольких вариантах, т.е. в не­скольких своих типах. Каждый игрок может наблюдать реализа­ции только своей случайной переменной, т.е.

наблюдать только свои типы. Вводя для каждого игрока Рк различные типы его предпочтений, мы «расширяем» первоначальную игру. Такие ста­тические игры с неполной информацией называются статически­ми байесовскими играми.

Инструмент байесовских игр активно востребован в экономи­ческих исследованиях, когда приходится учитывать случайные факторы. Дадим формальное описание статической байесовской игры.

433

В этой игре конечное число игроков Р{, ..., Рт (т > 2 — нату­ральное число) и нулевой игрок Р0 — Природа. Обозначим симво­лом множество типов игрока Рк (множество может быть не только конечным или счетным, хотя дальше мы ограничимся только конечным вариантом).

Конкретный элемент 0^ е 0^ соот­ветствует определенному типу игрока Рк, к = 1, ..., т. Появление конкретного элемента 0^ — случайное событие. Поэтому должно быть задано распределение вероятностей />(0) на 0 = 0, х ... х 0т, известное всем игрокам Р{,..., Рт. Здесь 0 = (0р ..., 0т) е ©. Веро­ятности должны быть неотрицательными, а их сумма по всем

28 - 7620

0 е 0 должна равняться единице. После выбора типа 0^ игрока Рк, т.е. при выборе конкретного (типа) 0^ е 0^, игрок Рк выбирает свою стратегию (свой ход) ^(0^) е Бк9 где — множество ходов игрока Рк. Поэтому (чистая) стратегия ^(0^) игрока Рк есть функ­ция (отображение), аргумент которой пробегает множество 0^ типов игрока Рк, а ее частные значения пробегают множество ходов игрока Рк. Множество всех таких функций обозначим символом ^(0*). Тогда ^(0) = (лг11),..., ^т(0т)) есть профиль стра­тегий игроков Рр ..., Рт на множестве

5(0) = 5/0,) х... х £„(©„), т.е. 46) = (^(0,),.... 8тфт)) е 5,(0,) х -*Зтт) Для любого© е 0.

Выигрыш игрока Рк зависит не только от выбора ходов в,,..., ьт всех игроков Р{9..., Рт, в том числе и от хода ^ самого игрока Рк, но и от их типов, т.е. выигрыш игрока Рк равен значению и^О), 0) его функции выигрыша на профиле 5(0) = (^,(0,), ..., ^(0^)) стратегий 5,(0,),игроков Р{9..., Р . Более подробно зна­чение и^О), 0) следует представить так иккк), я_к(в_к), &к, в_к), где 0_^ = (0_р Вк, 0*+1,9Ж), *_к=(з_19..., зт).

Ожидаемый выигрыш игрока Рк, имеющего тип 0* и выбравше­го ход в предположении, что остальные игроки Р{9 ..., Ркштр Рк+ р ..., Рт выбрали стратегии (ходы) 5^(6^) = (^,(0^, ^(О^), *к+{к+1),...,*тт)), равен

где 0р ..., 0£_р вЛ+р ..., 0т — типы остальных игроков Р{9 ..., Рк_{9 Рк+р ..., Рт; и сумма имеет место быть, если множества 0р ..., &т не пусты, конечны или счетны.

В противном случае вместо суммы появится интеграл.

В связи с тем что игрок Рк знает свой тип 0*, математическое ожидание является условным по этому типу. Поскольку условные вероятности в общем случае рассчитываются по формуле Байеса, постольку атрибутом игры и далее равновесия является термин «байесовский».

Кратко статическую байесовскую игру можно записать так:

икШ> в), е„/*в)>.

Таким образом, для описания статической байесовской игры необходимо иметь: 1) множество всех игроков Р{9 ..., Рт'9 2) для каждого игрока Рк — множество 0^ всех его типов; 3) распределе­ние вероятностей /;(8) на множествах 0р ©т типов, известное всем игрокам; 4) для каждого игрока Рк множество Бк его возмож­ных ходов и множество функций преобразующих множество ©^ во множество аЗк ходов игрока Рк; 5) для каждого игрока Рк функцию ^($(8), 8) выигрыша на профиле $(8) = (лг11),

•-'тЮ)-

Определение 9.8.1. Равновесие Нэша — Байеса статической байесовской игры (с конечным числом типов игроков) есть рав­новесие Нэша в «расширенной игре», в которой множество (чис­тых) стратегий каждого игрока Рк есть множество Як(@к) функций (отображений) из ©^ в к - 1,.... т, а в качестве выигрыша игро­ка Рк фигурирует его ожидаемый выигрыш.

Формально профиль $(8) = (^(8^, ..., $Л(8т)) (чистых) страте­гий 5т(0т) называется равновесием Нэша — Байеса, если для каждого номера к,к=1,.... т, справедливы неравенства

для любых Бк е Бк.

Аналогично определяется равновесие Нэша — Байеса в сме­шанных стратегиях.

Замечание 9.8.1. В статической байесовской игре вместо одно­го игрока Рк, к = 1, .... т, вводится множество его типов 0^, что фактически резко увеличивает число игроков. Однако множество ходов (стратегий) каждого игрока остается неизменным.

В свя­зи с тем что каждый игрок Рк знает свой тип, а все другие игроки его тип не знают, другие игроки должны знать его ходы во всех случаях. Поэтому в качестве выигрыша игрока Рк предлагается использовать его ожидаемый выигрыш.

Замечание 9.8.2. Понятие равновесие Нэша — Байеса было предложено Дж. Харшаньи в серии работ, опубликованных в 1967-1968 гг. (см. НакануИС. (1967-1968)).

Более точно равновесие Нэша — Байеса следовало бы назвать байесовским равновесием Нэша, а еще более точно (и справедли­во) — байесовским равновесием Харшаньи.

9.8.2. Пример 9.8.1. Модель дуополии Курно как статическая игра с неполной информацией.

Обозначим символом б. выпуск фирмы /].,/= 1, 2, в некотором фиксированном периоде времени. Функция, обратная к функции спроса, имеет вид р = а- Ь(зх + $2), где а и Ъ — положительные па­раметры. Прибыль РЯ{ фирмы имеет вид

РК^ргс?гЛ1% (9.8.1)

где с. = А/С. — предельные издержки, а = /Г. — постоянные из­держки фирмы

Фирма Рх имеет один тип предпочтения, а фирма — два типа предпочтения. Типы в^ характеризуются величиной с^ пре­дельных издержек, т.е. 02 = = 1, 2. Следовательно, предель­ные издержки с1 фирмы неизменны. То есть предельные из­держки с1 фирмы принимают с1 с вероятностью единица, а предельные издержки с2 фирмы принимают значение с2(1) с вероятностью рхх > 0) (это тип один фирмы Р2) и значение с2 с вероятностью 1 — рх (это тип два фирмы Р2). Содержательно это интерпретируется следующим образом.

Фирма Р2 имеет полную информацию о фирме Р{, поэтому предельные издержки с1 неизменны. Фирма ^ полагает, что фир­ма Е2 имеет предельные издержки С2(1) с вероятностью р{9 а пре­дельные издержки с2(2) — с вероятностью дх = \-рх.

Прибыль РЯ. фирмы есть выигрыш и. фирмы которая рассматривается в качестве игрока Р., /=1,2. Игроки Р{ и Р2 ходы делают одновременно, т.е. фирмы Р{ и Р2 выпускают свою продук­цию, не зная о выпусках друг друга.

Покажем, что мы имеем дело со статической байесовской иг­рой.

1. Число игроков равно двум. Игроком Рх является фирма игроком Р2 — фирма Р2.

2. Для игрока Р{ множество ©1 = С{ его типов состоит из одного элемента — предельных издержек 01 = с1 фирмы Рх, которые явля­ются неизменными. Для игрока Р2 множество ©2 = С2 его типов состоит из двух элементов: предельных издержек с2(1) и предель­ных издержек с2(2) фирмы Р2.

3. Распределение вероятностей на множестве С= С1 х С2 типов (Ср с2) игроков Р{ и Р2 имеет вид

с (с„с2(1>) (С„С2)
р Р\ 1-1».
т.е. случайная величина С принимает значение (ср с2(1)) с вероят­ностью />р а значение (ср с2(2)) — с вероятностью дх = 1 -рх.

4. Для игрока Рх множество 5,(0,) = ^(С,) функций 5,(0,) = = $,(с,) состоит из функции равной объему выпуска фирмы Рх при предельных издержках су Для ифока Р2 множество 52(0,) = = 52(С») функций состоит из $22), таких, что $2(1) = ^(с^) и ^ = = т.е. 52(1) есть выпуск фирмы Р2 при предельных издержках

а — выпуск фирмы Р2 при предельных издержках

Следовательно, набор 5 стратегий и ифоков Р, и Р2 имеет

ВИД5=(51,52(1),5^2)).

5. Для ифока рх функция ожидаемого выигрыша имеет вид прибыли ря{ фирмы ру

= 1а - + - =

= />,!_* - 6(5, + 52(1))5, - с,5, - ,, аналогично выпуск 52(2) с вероятностью поэтому фирме Рх естественно ориентиро­ваться на ожидаемый выпуск + ^22) фирмы Р2, который и был включен в формулу прибыли фирмы Р{

РЛХ = (а - Ь(8Х + />Л(1) + ))5, - с, вместо объема

Последнее (четвертое) звено цепочки (9.8.2) следует обосно­вать так.

Прибыль фирмы Рх есть ее ожидаемая прибыль, которая равна произведению прибыли фирмы Рх

(при условии, что выпуск фирмы Р2 равен 52(1)) и вероятности рх того, что фирма Р2 будет иметь выпуск $2(1', плюс аналогичное произведение прибыли фирмы Рх

(при условии, что выпуск фирмы Е2 равен $2(2)) и вероятности того, что фирма Р2 будет иметь выпуск $2(2).

Для игрока Pv который знает свой тип, функция U2(s) имеет

вид

U2(s) = PR2(sv s2)= (а - b(s{ + s2))s2 - c^2 -dr Если предельные издержки фирмы F2 равны то мы имеем первый тип фирмы Р2. В этом случае

U2(s) = PR2(sv 0) = (а - b(sx + 52(1)» *2(1) - с}" s. «> - dr

Если предельные издержки фирмы F2 равны с2(2), то мы имеем второй тип фирмы Fr В этом случае

U2(s) = PR2(sv 0, s™) = (а- b(Sl + *2(2)» *2(2) - с2 (986)

Подставив (9.8.4) и (9.8.5) в выражение (9.8.6), получим соот­ветственно

о0> = 2Д-(3+Д)С^1)-^2) + 2С1 (9 8 ?)

6Ь '

о(2> = 2д - (3+дх - /^с^ + 2сх (9 8 8)

Набор (9.8.6), (9.8.7) и (9.8.8.) представляет собой равновесие Нэша — Байеса (в чистых стратегиях) дуополии Курно как стати­ческой байесовской игры.

Прирх = 1 (^ = 0) и с1 = с2(1) формулы (9.8.6) и (9.8.7) дают клас­сическое равновесие Нэша дуополии Курно

о а—сх о а—

= ' , 32 =

ЗА ЗА

Аналогично при р{ = 0 (^ = 1) и с1 = с2(2) формулы (9.8.6) и (9.8.8) дают классическое равновесие Нэша дуополии Курно

о а—сх о а—сА

51=~й> 32-зГ

9.8.3. Пример 9.8.2 (A. Mas-Colell, M.D. Winston, J.R. Green (1995)).

Рассмотрим сначала хорошо известную биматричную игру «Дилемма заключенных» (в этом примере 9.8.2 игру 1), задавае­мую табл. 9.12 (у разных авторов фигурируют разные цифры).

Таблица 9.12
Заключенный 2

2)

НП Ii
Заключенный 1

(Л)

НП (-2;-2)

п

Тч "Т>
п V

(—1;—9)

4 ) ~ ~

(-4;-4)

Здесь и далее в этом примере буквы «П» и «НП» означают со­ответственно «Признаться», «Не признаться».

Содержательная интерпретация клеток 1—4 табл. 9.12 хорошо известна. Если оба заключенных не признаются, их выпускают на свободу через два года, приписав им не слишком серьезное право­нарушение в целях оправдания их задержания на время ведения следствия. Если заключенный 1 признается, а заключенный 2 не признается (клетка 3), то заключенного 1 отпускают на свободу через один год. Заключенному 2 дают большой срок, равный 9 годам. Клетка 2 интерпретируется аналогично. Если оба заклю­ченных признаются, им сокращают срок за признание и обоих отпускают на свободу через 4 года.

Модификацию игры 1 представляет игра «Брат следователя» (в этом примере игра 2), задаваемая табл. 9.13.

Таблица 9.13
Заключенный 2

2)

НП п
Заключенный 1

(Л)

НП (О; -2) /f
п

В игре 2 клетки со второй по четвертую интерпретируются так же, как и в игре 1. Клетка первая в табл. 9.13 интерпретируется так. Заключенный 1 является братом следователя, который ведет дело этих заключенных. Если заключенные оба не признаются, то следователь отпустит заключенного 1 на свободу. Как и в игре 1, в игре 2 равновесие Нэша образуют стратегии (П, П).

Рассмотрим модификацию игра «Брат следователя» (в этом примере игра 3), задаваемую табл. 9.14.

Таблица 9.14
Заключенный 2

2)

НП П
Заключенный 1

(Л)

НП (б; -2)
п (-1; -9) -Ц-4; -Ю)

В игре 3 клетки первая и третья такие же, как и в (предыдущей) игре 2. Клетки вторая и четвертая интерпретируются так, что за­ключенный 2, признаваясь (П), хочет задержаться в тюрьме до­полнительно еще на 6 лет (в случае клетки 2: -1 — 6 = -7, в случае клетки 4: —4 — 6 = —10), чтобы, например, исповедоваться тюрем­ному священнику. Возможно, такое желание у заключенного 2 появилось в связи с некоторым душевным расстройством. В игре 3 равновесие Нэша образуют стратегии (НП, НП).

В игре 4 игрок Р{ имеет один тип предпочтений, игрок Р2 — два типа предпочтений. Формально единственный тип игрока Р{ ха­рактеризуется его матрицей выигрышей

4°. :)•

которая одна и та же в табл. 9.13 и 9.14. Это обстоятельство интер­претируется так: игрок Р2 имеет полную информацию о предпоч­тениях игрока Р{.

Первый и второй типы игрока Р2 характеризуются двумя его матрицами выигрыша

*1= _9 ^ -10

которые следует выписать из табл. 9.13 и 9.14 соответственно.

Игрок Р2 имеет первый тип предпочтений с вероятностью />р а второй тип предпочтений с вероятностью дх = 1 — рх, т.е. игрок Рх полагает, что с вероятностью рх игрок Р2 имеет первый тип предпочтений, с вероятностью д{ игрок Р2 имеет второй тип пред­почтений. Строгое толкование первого и второго типов предпоч­тений игрока Р2 дается ниже.

Игра 4 в нормальной форме представлена в виде табл. 9.15.

Таблица 9.15
Рг
НП П НП П
Л нп (0; -2) (-1; 1) о(Л0 делает первый ход, выбирая реа­лизацию случайной величины, т.е. тип предпочтений каждого игрока (в данном случае игрока Р2), причем каждый игрок наблю­дает реализацию только собственной случайной величины.

Представим чистые стратегии игроков Р{ и Р2 в виде единич­ных векторов ех = (1; 0) (представление стратегии (НП) игрока Р{)9 е2 = (0; 1) (представление стратегии (П) игрока Р{)9/х{) = (1, 0, 0, 0) (представление стратегии (НП) первого типа игрока Р2),/2(1) = = (0,1,0,0) (представление стратегии (П) первого типа игрока Р2), //2) = (0,0,1,0) (представление стратегии (НП) второго типа игро­ка Р2)'Л(2) = 1) (представление стратегии (П) второго типа игрока Р2).

Покажем, что игра 4 есть статическая байесовская игра.

1. Число игроков равно двум. Игроком Рх является заключен­ный 1, игроком Р2 — заключенный 2. Нулевой игрок Р0 — Приро­да (ТУ) в число игроков не включается.

2.Для игрока Рх множество 0, = Сх его типов состоит из одного элемента 9, = сх, для игрока Р2 множество 02 = С2 его типов состоит из двух элементов 92(1) = С2 и 92(2) = с2(2).

3. Распределение вероятностей на множестве С= С1 х С2 типов (ср с2) игроков Р{ и Р2 имеет вид

С (с„с2(|>) (С„С2)
р Р\

То есть случайная величина С принимает значение (ср с2(1)) с вероятностью />р а значение (ср с2(2)) — с вероятностью = 1 -рх.

4. Множество возможных ходов игрока Рх имеет вид «У. = (е., еЛ, множество 52 возможных ходов игрока Р2 52 =

лЧ

Множество 5,(0^ совпадает со множеством ибо у игрока Рх только один тип предпочтений.

Множество £22) состоит из следующих четырех стратегий л2(1), 52(2), л2(3), 52(4) статической байесовской игры:

*20) - ^(1),/,(2)), 52(2) = (/!,/®), 52(4) = (^(1),/2(2)).

5. Для игрока Р{ ожидаемый выигрыш £/,($(с)) принимает сле­дующие значения:

( п \

0 -9 0 -9 -1-4-1-4
ихх2{ 1)) = ех{А\ АКр^+д^) = (1; 0)
= 0,
Я\

уО/

V

О О

0-9 0 -9У -1-4-1-4,
ихх2{1)) = еу(Л | Л)(Л/,(1) +
<< | >>

Еще по теме 9.8. Статические игры с неполной информацией:

  1. Методологические приемы составления статического и динамического баланса для различных пользователей информации
  2. Незанятость и неполное использование ресурсов
  3. 3. Неуплата или неполная уплата сумм налога (сбора)
  4. Статические методы инвестиционных расчетов
  5. Пример определения налоговой базы, если участком владеют неполный год
  6. Особенности составления статического баланса
  7. Статическая концепция бухгалтерского баланса
  8. 23. ПРИНЦИПЫ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИЙ
  9. 4.3. Теория неполной рациональности: когнитивные ограничения рационального выбора
  10. Теория статического понимания баланса
  11. Простые (статические) методы
  12. 11.1. Статические модели
  13. Статическое сравнение сроков окупаемости.