Снова о «трагедии рыбаков»
у = а (1 - РЕ) е,
У = а (1 - Ре) Е, (4.5)
где у, У — количество рыбы, пойманной Нижним, Верхним в течение заданного периода; а — положительная константа, изменяющаяся вместе с размером сетей каждого; Р — положительная константа, измеряющая (отрицательное) влияние труда Верхнего на Нижнего и наоборот; е, Е — количество времени (доля 24-часового дня), которое каждый (Нижний, Верхний) проводит за ловлей рыбы[46]. Конечно, естественно ожидать, что а и Р различаются для двух рыбаков (у одного могут быть более широкие сети, и по этой же причине он может сильнее влиять на успех ловли другого, и наоборот), но для простоты примем их одинаковыми.
Каждый получает благосостояние от потребления рыбы и испытывает потери в благосостоянии от дополнительных усилий в соответствии с функциями полезностии = у - е2,
и = У - Е2. (4.6)
Наилучшие ответы и равновесие по Нэшу. Наилучший ответ больше не остается единственной стратегией, зависящей от заданных действий других (как в гл. 1, где множество стратегий дискретно), а становится функцией наилучшего ответа, показывающей для любого возможного действия другого рыбака действие, которое лучше всего предпринять в ответ, а именно то, которое максимизирует полезность участника для данного действия другого.
Функция наилучшего ответа получена путем максимизации полезности каждого агента в зависимости от действий, предпринятых другим.Тот факт, что мы получаем функцию наилучшего ответа таким образом, не означает, что индивиды сознательно решают эту (иногда довольно сложную) оптимизационную задачу каждый раз, когда они предпринимают действия. Общий момент, относящийся к оставшейся части книги, состоит в том, что использование модели оптимизации в качестве аналитического инструмента не требует того, чтобы модель стала аккуратным описанием того, как индивиды приходят к своим решениям, до тех пор, пока индивиды действуют так, как будто они решали бы эти задачи. Во многих, возможно в большинстве, случаев разумное предположение состоит в том, что люди действуют как адаптивные агенты (как в гл. 2 и 3); т. е. мы от случая к случаю смотрим, что делают другие и стараемся копировать тех, кто, как нам кажется, делает лучше. Мы можем сознательно выбрать поведенческое правило, полученное опытным путем и работающее в среднем, а затем придерживаться его до тех пор, пока оно не начнет выдавать неудовлетворительные результаты. Адаптация поведения кого-то, таким образом, приведет к тому, что рыбаки станут действовать так, как будто они максимизируют, по крайней мере, в среднем и в долгосрочном периоде.
Задача оптимизации, позволяющая получить функцию наилучшего ответа Нижнего, состоит в изменении е так, чтобы максимизировать
и = а (1 - РЕ) е - е2.
Дифференцируя и по е и приравнивая к 0, чтобы найти оптимальный уровень усилий, получаем условие первого порядка
ие = а (1 - РЕ) - 2е = 0,
что явно требует от Нижнего приравнивания своей предельной (полезности) производительности (первое слагаемое) к предельной дисполезности от усилий (второе слагаемое), как изображено на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Выбор е Нижним определяется равенством предельной дисполезности труда предельной выгоде от часов ловли при заданном действии Верхнего (Е) |
Это условие первого порядка задает простую форму функции лучшего ответа
«= (4.7)
Функция наилучшего ответа для Верхнего получается таким же образом.
Существует другой способ получения функции наилучшего ответа, способной объяснить происходящее. Используя описанную функцию полезности, мыможем записать функцию полезности Нижнего как функцию уровня усилий его и Верхнего
V= V (е, Е),
V= V (е, Е).
Представленные в пространстве (е, Е) на рис. 4.2 функции описывают уже знакомые нам кривые безразличия (показаны только для Нижнего). Полагая
(V = л>^е + УЕйЕ = 0,
мы видим, что
йЕ _
йе гЕ
Следовательно, нам известно, что наклоны кривых безразличия (для Нижнего) равны —и аналогично равны для Верхнего. Предполагаемый эксперимент, задающий функцию наилучшего ответа, состоит в том, чтобы зафиксировать некоторое время ловли Верхнего и узнать, как долго станет рыбачить Нижний в этих обстоятельствах. Мы изобразили это на рис. 4.2, нарисовав горизонтальную пунктирную линию Е (произвольно выбранный уровень усилий Верхнего) как ограничение и предлагая ему максимизировать свою полезность, находя точку, в которой касаются его наивысшая возможная кривая безразличия и ограничение. Наклон ограничения равен 0, поэтому для оптимума необходимо, чтобы наклон кривой безразличия Нижнего также равнялся 0, что требует V = 0, как мы и видели ранее.
Продолжительность ловли Верхним, Е
Рис. 4.2. Функция реакции Нижнего, е*(Е) |
Я записываю функцию наилучшего ответа Нижнего как е*=е*(Е), звездочкой обозначая решение задачи на поиск оптимума. е*(Е) представлено на рис. 4.2 множеством точек, для которого = 0 и в которых у Нижнего не будет стимула изменить свои действия. Мы знаем, что равновесие по Нэшу должно быть взаимным наилучшим ответом. Значение равновесного по Нэшу е таким образом может быть подсчитано подстановкой функции наилучшего ответа Верхнего в функцию наилучшего ответа Нижнего и затем решением по е, как и показано на рис.
4.3. Из-за (предполагаемой) симметричности задачи получаем как для Верхнего, так и для Нижнеговы =-^ = Еы. (4.8)
2 + ар
О чем говорят полученные величины? Без знания институциональной структуры взаимодействия между рыбаками мы не имеем возможности сказать, какими станут их уловы: эти значения равновесия по Нэшу могут не соответствовать действительности, если, например, один из игроков ходит первым. Однако такой исход способен стать достаточно маловероятным еще и по более простой причине: равновесие по Нэшу может быть неустойчивым.
Неравновесная динамика и устойчивость. Для устойчивости требуется, чтобы даже маленькие колебания равновесных значений были самокорректирующимися. Чтобы в этом убедиться, нам необходимо знать кое-что о поведении рыбаков вне равновесия: что они делают, когда они не находятся в точке равновесия по Нэшу? Стоит посмотреть на топографическую карту с е*=е*(Е), описывающей вершину горы. Процесс оптимизации Нижнего — это алгоритм подъема в гору: для е Ф е* условия первого порядка для Нижнего не выполнены, и для е < е* на рис. 4.1 мы можем увидеть, что (1 — РЕ) > 2е, или предельная выгода от ловли превышает предельные затраты (дисполезность) ловли, так что Нижний решит рыбачить больше.
Динамика системы вне равновесия устроена следующим образом: в соответствии с тем, что люди имеют ограниченные когнитивные возможности, мы предполагаем, что рыбаки используют эмпирическое правило — в конце периода изменить свое поведение в направлении, оптимальном в условиях того, как другой индивид поступал в данном периоде. Подобный шаг недальновиден в обоих направлениях: рыбак оглядывается назад только на один период (используя данные конкретного периода,, чтобы определить, как поступать в следующем), и совсем не смотрит в будущее (предполагая, что действия других игроков не изменятся между данным периодом и следующим). Это приводит к такому правилу: в следующем периоде двигаться в направлении действий, оптимальных в этом периоде. При е и Е' — действиях рыбаков в следующем периоде — это эмпирическое правило опытного пути задает
Ле = е — е = у (е* — е), ДЕ = Е' — Е = Г (Е* — Е),
где у и Г — положительные дроби е [0, 1], отражающие скорость приспособления (какая часть разрыва между желаемым и действительным уровнем ловли в этом периоде закрыта выбором уровня ловли в следующем периоде). Конечно, скорость приспособления для двух рыбаков отличается (Нижний может быть человеком привычки с у, близкой к 0, а Верхний молниеносно реагировать, как Ното есопюшкш с Г = 1). Динамика системы, выраженная данными уравнениями, говорит о том, что каждый движется в сторону своей функции наилучшего ответа, обозначенного стрелками на рис. 4.3.
Продолжительность ловли Верхним, Е
ем а/2 Продолжительность ловли Нижним, е Рис. 4.3. Динамика вне равновесия и устойчивое равновесие по Нэшу Примечание. Стрелки обозначают ответ на неравновесие двух рыбаков (движение по горизонтали для Нижнего, по вертикали — для Верхнего). Точка £ — равновесие по Нэшу. |
Возможно, вы удивитесь, но движения каждого рыбака в сторону своей функции наилучшего ответа недостаточно для того, чтобы гарантировать устойчивость равновесного по Нэшу исхода,, определяемого их пересечением. Чтобы понять, почему это так, предположим, что функции наилучшего ответа таковы, что если Верхний рыбачит на один час больше, то Нижний рыбачит меньше на два часа, т. е. о!е*/^Е = -2, и наоборот; и представим, что время ловли обоих в текущем периоде есть равновесная по Нэшу величина. На рис. 4.4 представлена внеравновесная динамика: равновесие по Нэшу является седловой точкой, а колебания не самокорректирующиеся.
Становится ли равновесие по Нэшу асимптотически устойчивым, зависит от относительных наклонов функций наилучшего ответа. Чтобы равновесные по Нэшу величины были устойчивы, необходимо, чтобы ни один из рыбаков не отвечал за другого; т. е. на рис. 4.3 функция Е*(е) должна быть более «пологой», чем
Продолжительность ловли Верхним, Е
Рис. 4.4. Неустойчивое равновесие по Нэшу Примечание. Существуют также два устойчивых равновесия по Нэшу и |
функция е*(Е). Применяя функцию наилучшего ответа, определенную выше, получаем, что для выполнения этого требуется:
0Р< —, (4.9)
2 ар 7
т. е. необходимо, чтобы ав < 2, из чего следует, что влияние изменений в ловле Верхнего на Нижнего, (Ж, было бы меньше 1 по абсолютной величине. Выражение становится более сложным, когда а и в отличаются для двух рыбаков, но рассуждение остается прежним: для устойчивости требуется, чтобы игроки не переигрывали.
Устойчивость можно рассматривать как необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы равновесие по Нэшу можно было считать хорошим прогнозом реального поведения. Первая причина, подтверждающая это, знакома: как нам известно из гл. 2, может существовать множество устойчивых равновесий по Нэшу, как на рис. 4.4. Вторая причина не столь очевидна: реалистичные правила, по которым индивиды адаптируют свое поведение в соответствии с прошлым опытом, возможно, не смогут привести игроков к равновесию по Нэшу, даже если оно единственно и устойчиво. При очень сложных взаимодействиях индивиды могут не суметь «научиться» приходить к равновесию по Нэшу в игре. Но даже в, казалось бы, простой игре — например, «камень, ножницы, бумага» — ни реальные люди, ни компьютер даже после сотен раундов игры обычно не выбирают стратегии, являющиеся равновесием по Нэшу (Заґо, Акіуаше & Еагшег, 2002). В игре «камень, ножницы, бумага» существует только одно равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях (когда каждый выбирает стратегию
случайно с вероятностью 1 : 3), но мало кто играет так. В игры с единственным равновесием по Нэшу в чистых стратегиях гораздо проще играть, даже если их структура гораздо запутаннее, чем в игре «камень, ножницы, бумага».
Продолжительность ловли Верхним, Е Е ,/В е*(Е)
а/2 Рис. 4.5. Равновесие по Нэшу: устойчивость и неоптимальность |
а/2 |
Е*(е) |
Чтобы понять, почему равновесие по Нэшу хуже по Парето, представим, что двое игроков согласятся рыбачить на произвольно малое количество часов |
Худшие по Парето исходы. Является ли равновесие по Нэшу Парето-оп- тимальным? Мы знаем, что для этого необходимо касание кривых безразличия двух рыбаков
Уравнение определяет криВую эффективных контрактов, точнее, множество всех Парето-эффективных пар часов ловли обоих рыбаков. Мы знаем, что для любого распределения, в котором оба рыбачат и кривые безразличия не касаются, — т. е. пересекаются — существует другое распределение, более выгодное для них обоих. Но равновесие по Нэшу — это точка на обеих кривых наилучшего ответа,, определяемая соответственно равенствами = 0 и УЕ = 0. В равновесии по Нэшу две кривые безразличия не могут касаться; точнее, они перпендикулярны друг другу. Таким образом, в данном случае равновесие по Нэшу не является Парето-оптимальным. Две точки на кривой эффективных контрактов р и ю обозначены на рис. 4.5.
меньше. Как это повлияет на их благосостояние? Мы знаем, что Уе < 0 и < 0 (потому что ловля одного затрагивает другого, на что указывает в в их производственных функциях). Таким образом, при йе < 0 и йЕ < 0, что обозначает их гипотетическое соглашение рыбачить чуть меньше, нам необходимо оценить изменение в полезности каждого
йу = йеу + йЕу „,
е Е
йУ = йеУе + йЕУЕ. (4.10)
Заметим, что = 0 и УЕ = 0, потому что оба равенства определяют функции наилучшего ответа, а равновесие по Нэшу есть взаимный наилучший ответ. Следовательно, оба выражения положительны: полезность каждого увеличится от согласия рыбачить меньше. Отметим основную идею: каждый хотел бы, чтобы другой рыбачил меньше, и (что важно), поскольку они оба установили объем ловли на оптимальном уровне, они не думают о (бесконечно малом) сокращении собственной ловли Линза,, образованная двумя кривыми безразличия на рис. 4.5, содержит Парето-улучшения по отношению к равновесию по Нэшу,
Если к сделке можно принудить, тогда ее можно осуществить. Но как прийти к такому соглашению и как к нему принудить?
Еще по теме Снова о «трагедии рыбаков»:
- Вы должны разработать и создать продукт лишь один раз, а затем пусть система производит его снова и снова.
- 25. Неудача — это не трагедия
- ТРАГЕДИЯ СТРАНЫ ТРУБАДУРОВ
- § 40. Театр. Трагедии и комедии
- Обострение межконфессиональных отношений и трагедия 1860 г. в Дамаске
- 2. «Красные кхмеры» и трагедия Кампучии. Пол Пот.
- ГЛАВА 6. Снова в игре
- Засияют ли снова звезды nanAstra?
- снова кризис: "опять этот сон"
- ГЛАВА 33ВТОРОЙ ШАГ: СНОВА ПАНИКА
- ТРЕТЬЕ - ПРОДОЛЖАЕМ В ТОМ ЖЕ ДУХЕ: СНОВА «БАЛЬНЫЕ КАРТОЧКИ»
- Глава 7. Снова анализ Принятие финансовых решений
- И СНОВА ОБ ОКУПАЕМОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ: ОЦЕНИВАЙТЕ КАЖДЫЙ СВОЙ ШАГ
- Частные права собственности и «трагедия анти общедоступной собственности»
- 22. Прежде чем продать, обучайте, продавайте, потом снова обучайте
- Уверенность в себе
- Французская культура 1 половины XVII в.
- Представления о посмертном существовании души. Мистерииа) Дионис в Греции и Риме
- 3. ЛИТЕРАТУРА И ИСКУССТВО
- ФУНКЦИИ ДЕНЕГ