<<
>>

Снова о «трагедии рыбаков»

Структура. Мы возвращаемся к двум рыбакам, и назовем их для простоты обо­значения Верхний и Нижний, которые ловят рыбу в одном озере, используя труд и сети. Они потребляют свой улов и не вступают ни в какие виды обмена; также они не подписывают никаких соглашений о том, как вести свою эконо­мическую деятельность.
При этом действия одного влияют на благосостояние другого: чем больше рыбачит Верхний, тем сложнее для Нижнего поймать рыбу, и наоборот. Определим (используя строчные буквы для Нижнего и прописные для Верхнего):

у = а (1 - РЕ) е,

У = а (1 - Ре) Е, (4.5)

где у, У — количество рыбы, пойманной Нижним, Верхним в течение заданно­го периода; а — положительная константа, изменяющаяся вместе с размером сетей каждого; Р — положительная константа, измеряющая (отрицательное) влияние труда Верхнего на Нижнего и наоборот; е, Е — количество времени (доля 24-часового дня), которое каждый (Нижний, Верхний) проводит за лов­лей рыбы[46]. Конечно, естественно ожидать, что а и Р различаются для двух рыба­ков (у одного могут быть более широкие сети, и по этой же причине он может сильнее влиять на успех ловли другого, и наоборот), но для простоты примем их одинаковыми.

Каждый получает благосостояние от потребления рыбы и ис­пытывает потери в благосостоянии от дополнительных усилий в соответствии с функциями полезности

и = у - е2,

и = У - Е2. (4.6)

Наилучшие ответы и равновесие по Нэшу. Наилучший ответ больше не остается единственной стратегией, зависящей от заданных действий других (как в гл. 1, где множество стратегий дискретно), а становится функцией наилучшего ответа, показывающей для любого возможного действия другого рыбака дей­ствие, которое лучше всего предпринять в ответ, а именно то, которое максими­зирует полезность участника для данного действия другого.

Функция наилучшего ответа получена путем максимизации полезности каждого агента в зависимости от действий, предпринятых другим.

Тот факт, что мы получаем функцию наилучшего ответа таким образом, не означает, что индивиды сознательно решают эту (иногда довольно сложную) оптимизационную задачу каждый раз, когда они предпринимают действия. Об­щий момент, относящийся к оставшейся части книги, состоит в том, что исполь­зование модели оптимизации в качестве аналитического инструмента не требует того, чтобы модель стала аккуратным описанием того, как индивиды приходят к своим решениям, до тех пор, пока индивиды действуют так, как будто они решали бы эти задачи. Во многих, возможно в большинстве, случаев разумное предположение состоит в том, что люди действуют как адаптивные агенты (как в гл. 2 и 3); т. е. мы от случая к случаю смотрим, что делают другие и стараем­ся копировать тех, кто, как нам кажется, делает лучше. Мы можем сознательно выбрать поведенческое правило, полученное опытным путем и работающее в среднем, а затем придерживаться его до тех пор, пока оно не начнет выдавать неудовлетворительные результаты. Адаптация поведения кого-то, таким обра­зом, приведет к тому, что рыбаки станут действовать так, как будто они макси­мизируют, по крайней мере, в среднем и в долгосрочном периоде.

Задача оптимизации, позволяющая получить функцию наилучшего ответа Нижнего, состоит в изменении е так, чтобы максимизировать

и = а (1 - РЕ) е - е2.

Дифференцируя и по е и приравнивая к 0, чтобы найти оптимальный уро­вень усилий, получаем условие первого порядка

ие = а (1 - РЕ) - 2е = 0,

что явно требует от Нижнего приравнивания своей предельной (полезности) производительности (первое слагаемое) к предельной дисполезности от усилий (второе слагаемое), как изображено на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Выбор е Нижним определяется равенством предельной дисполезности труда предельной выгоде от часов ловли при заданном действии Верхнего (Е)

Это условие первого порядка задает простую форму функции лучшего от­вета

«= (4.7)

Функция наилучшего ответа для Верхнего получается таким же образом.

Существует другой способ получения функции наилучшего ответа, способ­ной объяснить происходящее. Используя описанную функцию полезности, мы

можем записать функцию полезности Нижнего как функцию уровня усилий его и Верхнего

V= V (е, Е),

V= V (е, Е).

Представленные в пространстве (е, Е) на рис. 4.2 функции описывают уже знакомые нам кривые безразличия (показаны только для Нижнего). Полагая

(V = л>^е + УЕйЕ = 0,

мы видим, что

йЕ _

йе гЕ

Следовательно, нам известно, что наклоны кривых безразличия (для Ниж­него) равны —и аналогично равны для Верхнего. Предполагаемый экспе­римент, задающий функцию наилучшего ответа, состоит в том, чтобы зафик­сировать некоторое время ловли Верхнего и узнать, как долго станет рыбачить Нижний в этих обстоятельствах. Мы изобразили это на рис. 4.2, нарисовав го­ризонтальную пунктирную линию Е (произвольно выбранный уровень усилий Верхнего) как ограничение и предлагая ему максимизировать свою полезность, находя точку, в которой касаются его наивысшая возможная кривая безразли­чия и ограничение. Наклон ограничения равен 0, поэтому для оптимума необхо­димо, чтобы наклон кривой безразличия Нижнего также равнялся 0, что требует V = 0, как мы и видели ранее.

Продолжительность ловли Верхним, Е

Рис. 4.2. Функция реакции Нижнего, е*(Е)

Я записываю функцию наилучшего ответа Нижнего как е*=е*(Е), звездочкой обозначая решение задачи на поиск оптимума. е*(Е) представлено на рис. 4.2 множеством точек, для которого = 0 и в которых у Нижнего не будет стимула изменить свои действия. Мы знаем, что равновесие по Нэшу должно быть вза­имным наилучшим ответом. Значение равновесного по Нэшу е таким образом может быть подсчитано подстановкой функции наилучшего ответа Верхнего в функцию наилучшего ответа Нижнего и затем решением по е, как и показано на рис.

4.3. Из-за (предполагаемой) симметричности задачи получаем как для Верхнего, так и для Нижнего

вы =-^ = Еы. (4.8)

2 + ар

О чем говорят полученные величины? Без знания институциональной струк­туры взаимодействия между рыбаками мы не имеем возможности сказать, ка­кими станут их уловы: эти значения равновесия по Нэшу могут не соответство­вать действительности, если, например, один из игроков ходит первым. Однако такой исход способен стать достаточно маловероятным еще и по более простой причине: равновесие по Нэшу может быть неустойчивым.

Неравновесная динамика и устойчивость. Для устойчивости требуется, чтобы даже маленькие колебания равновесных значений были самокорректи­рующимися. Чтобы в этом убедиться, нам необходимо знать кое-что о поведе­нии рыбаков вне равновесия: что они делают, когда они не находятся в точке равновесия по Нэшу? Стоит посмотреть на топографическую карту с е*=е*(Е), описывающей вершину горы. Процесс оптимизации Нижнего — это алгоритм подъема в гору: для е Ф е* условия первого порядка для Нижнего не выполнены, и для е < е* на рис. 4.1 мы можем увидеть, что (1 — РЕ) > 2е, или предельная выгода от ловли превышает предельные затраты (дисполезность) ловли, так что Нижний решит рыбачить больше.

Динамика системы вне равновесия устроена следующим образом: в соот­ветствии с тем, что люди имеют ограниченные когнитивные возможности, мы предполагаем, что рыбаки используют эмпирическое правило — в конце пери­ода изменить свое поведение в направлении, оптимальном в условиях того, как другой индивид поступал в данном периоде. Подобный шаг недальновиден в обоих направлениях: рыбак оглядывается назад только на один период (исполь­зуя данные конкретного периода,, чтобы определить, как поступать в следую­щем), и совсем не смотрит в будущее (предполагая, что действия других игроков не изменятся между данным периодом и следующим). Это приводит к такому правилу: в следующем периоде двигаться в направлении действий, оптимальных в этом периоде. При е и Е' — действиях рыбаков в следующем периоде — это эмпирическое правило опытного пути задает

Ле = е — е = у (е* — е), ДЕ = Е' — Е = Г (Е* — Е),

где у и Г — положительные дроби е [0, 1], отражающие скорость приспособ­ления (какая часть разрыва между желаемым и действительным уровнем ловли в этом периоде закрыта выбором уровня ловли в следующем периоде). Конечно, скорость приспособления для двух рыбаков отличается (Нижний может быть человеком привычки с у, близкой к 0, а Верхний молниеносно реагировать, как Ното есопюшкш с Г = 1). Динамика системы, выраженная данными уравнения­ми, говорит о том, что каждый движется в сторону своей функции наилучшего ответа, обозначенного стрелками на рис. 4.3.

Продолжительность ловли Верхним, Е

ем а/2

Продолжительность ловли Нижним, е

Рис. 4.3. Динамика вне равновесия и устойчивое равновесие по Нэшу

Примечание. Стрелки обозначают ответ на неравновесие двух рыбаков (движение по горизонтали для Нижнего, по вертикали — для Верхнего). Точка £ — равновесие по Нэшу.

Возможно, вы удивитесь, но движения каждого рыбака в сторону своей функции наилучшего ответа недостаточно для того, чтобы гарантировать устой­чивость равновесного по Нэшу исхода,, определяемого их пересечением. Чтобы понять, почему это так, предположим, что функции наилучшего ответа таковы, что если Верхний рыбачит на один час больше, то Нижний рыбачит меньше на два часа, т. е. о!е*/^Е = -2, и наоборот; и представим, что время ловли обоих в текущем периоде есть равновесная по Нэшу величина. На рис. 4.4 представлена внеравновесная динамика: равновесие по Нэшу является седловой точкой, а ко­лебания не самокорректирующиеся.

Становится ли равновесие по Нэшу асимптотически устойчивым, зависит от относительных наклонов функций наилучшего ответа. Чтобы равновесные по Нэшу величины были устойчивы, необходимо, чтобы ни один из рыбаков не от­вечал за другого; т. е. на рис. 4.3 функция Е*(е) должна быть более «пологой», чем

Продолжительность ловли Верхним, Е

Рис. 4.4. Неустойчивое равновесие по Нэшу Примечание. Существуют также два устойчивых равновесия по Нэшу и

функция е*(Е). Применяя функцию наилучшего ответа, определенную выше, по­лучаем, что для выполнения этого требуется:

0Р< —, (4.9)

2 ар 7

т. е. необходимо, чтобы ав < 2, из чего следует, что влияние изменений в ловле Верхнего на Нижнего, (Ж, было бы меньше 1 по абсолютной величине. Вы­ражение становится более сложным, когда а и в отличаются для двух рыбаков, но рассуждение остается прежним: для устойчивости требуется, чтобы игроки не переигрывали.

Устойчивость можно рассматривать как необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы равновесие по Нэшу можно было считать хорошим про­гнозом реального поведения. Первая причина, подтверждающая это, знакома: как нам известно из гл. 2, может существовать множество устойчивых равно­весий по Нэшу, как на рис. 4.4. Вторая причина не столь очевидна: реалистич­ные правила, по которым индивиды адаптируют свое поведение в соответствии с прошлым опытом, возможно, не смогут привести игроков к равновесию по Нэшу, даже если оно единственно и устойчиво. При очень сложных взаимодей­ствиях индивиды могут не суметь «научиться» приходить к равновесию по Нэшу в игре. Но даже в, казалось бы, простой игре — например, «камень, ножницы, бу­мага» — ни реальные люди, ни компьютер даже после сотен раундов игры обыч­но не выбирают стратегии, являющиеся равновесием по Нэшу (Заґо, Акіуаше & Еагшег, 2002). В игре «камень, ножницы, бумага» существует только одно равно­весие по Нэшу в смешанных стратегиях (когда каждый выбирает стратегию

случайно с вероятностью 1 : 3), но мало кто играет так. В игры с единственным равновесием по Нэшу в чистых стратегиях гораздо проще играть, даже если их структура гораздо запутаннее, чем в игре «камень, ножницы, бумага».

Продолжительность ловли Верхним, Е

Е

,/В е*(Е)

а/2

Рис. 4.5. Равновесие по Нэшу: устойчивость и неоптимальность

а/2
Е*(е)

Чтобы понять, почему равновесие по Нэшу хуже по Парето, представим, что двое игроков согласятся рыбачить на произвольно малое количество часов

Худшие по Парето исходы. Является ли равновесие по Нэшу Парето-оп- тимальным? Мы знаем, что для этого необходимо касание кривых безразличия двух рыбаков

Уравнение определяет криВую эффективных контрактов, точнее, множе­ство всех Парето-эффективных пар часов ловли обоих рыбаков. Мы знаем, что для любого распределения, в котором оба рыбачат и кривые безразличия не касаются, — т. е. пересекаются — существует другое распределение, более вы­годное для них обоих. Но равновесие по Нэшу — это точка на обеих кривых наилучшего ответа,, определяемая соответственно равенствами = 0 и УЕ = 0. В равновесии по Нэшу две кривые безразличия не могут касаться; точнее, они перпендикулярны друг другу. Таким образом, в данном случае равновесие по Нэшу не является Парето-оптимальным. Две точки на кривой эффективных контрактов р и ю обозначены на рис. 4.5.

меньше. Как это повлияет на их благосостояние? Мы знаем, что Уе < 0 и < 0 (потому что ловля одного затрагивает другого, на что указывает в в их произ­водственных функциях). Таким образом, при йе < 0 и йЕ < 0, что обозначает их гипотетическое соглашение рыбачить чуть меньше, нам необходимо оценить изменение в полезности каждого

йу = йеу + йЕу „,

е Е

йУ = йеУе + йЕУЕ. (4.10)

Заметим, что = 0 и УЕ = 0, потому что оба равенства определяют функции наилучшего ответа, а равновесие по Нэшу есть взаимный наилучший ответ. Сле­довательно, оба выражения положительны: полезность каждого увеличится от согласия рыбачить меньше. Отметим основную идею: каждый хотел бы, чтобы другой рыбачил меньше, и (что важно), поскольку они оба установили объем ловли на оптимальном уровне, они не думают о (бесконечно малом) сокра­щении собственной ловли Линза,, образованная двумя кривыми безразличия на рис. 4.5, содержит Парето-улучшения по отношению к равновесию по Нэшу,

Если к сделке можно принудить, тогда ее можно осуществить. Но как прий­ти к такому соглашению и как к нему принудить?

<< | >>
Источник: Самуэль Боулз. Микроэкономика. Поведение, институты и эволюция / Самуэль Боулз ; [пер. с англ. Букина К.А., Демидовой А.В., Карабекян Д.С., Карпова А.В., Шиловой Н.В.]. — М. : Изд-во «Дело» АНХ, — 576 с.. 2010

Еще по теме Снова о «трагедии рыбаков»:

  1. Вы должны разработать и создать продукт лишь один раз, а затем пусть система производит его снова и снова.
  2. 25. Неудача — это не трагедия
  3. ТРАГЕДИЯ СТРАНЫ ТРУБАДУРОВ
  4. § 40. Театр. Трагедии и комедии
  5. Обострение межконфессиональных отношений и трагедия 1860 г. в Дамаске
  6. 2. «Красные кхмеры» и трагедия Кампучии. Пол Пот.
  7. ГЛАВА 6. Снова в игре
  8. Засияют ли снова звезды nanAstra?
  9. снова кризис: "опять этот сон"
  10. ГЛАВА 33ВТОРОЙ ШАГ: СНОВА ПАНИКА
  11. ТРЕТЬЕ - ПРОДОЛЖАЕМ В ТОМ ЖЕ ДУХЕ: СНОВА «БАЛЬНЫЕ КАРТОЧКИ»
  12. Глава 7. Снова анализ Принятие финансовых решений
  13. И СНОВА ОБ ОКУПАЕМОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ: ОЦЕНИВАЙТЕ КАЖДЫЙ СВОЙ ШАГ
  14. Частные права собственности и «трагедия анти общедоступной собственности»
  15. 22. Прежде чем продать, обучайте, продавайте, потом снова обучайте
  16. Уверенность в себе
  17. Французская культура 1 половины XVII в.
  18. Представления о посмертном существовании души. Мистерииа) Дионис в Греции и Риме
  19. 3. ЛИТЕРАТУРА И ИСКУССТВО
  20. ФУНКЦИИ ДЕНЕГ