1.3. Решение задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности методом Лагранжа. Функции спроса по Хиксу (функции компенсированного спроса), функция расходов и их свойства
Функция Лагранжа задачи (1.1.3), (1.1.4) имеет вид
Цхх, х2 Д) = рххх + р2х2 + ЦО - и(хх, х2)).
(1.3.1)Выписываем условия первого порядка для функции Лагранжа Цхх,х2, X):
ди(хх,х2)
рх - X---- 1 2 = 0, (1.3.2)
ахх
(133)
1 дх2
и-1/(хх,х2) = 0. (1.3.4)
Получим систему трех уравнений (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) стремя неизвестными хр х2, X. Решение системы (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) (хр Зс2Д) называется критической точкой функции Лагранжа (1.3.1). Критическая точка (хр х2, X) называется длинной точкой. Критическая точка без последней координаты X, т.е. х = (хх, х2\ называется короткой точкой.
Если U = U(xv х2) — функция полезности, то система (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) имеет единственное решение (хх,х2,Х) и точка (хх,х2) есть точка глобального минимума задачи (1.1.3), (1.1.4) (см.
параграф 1.1). Имеем ситуацию, аналогичную задаче (1.1.1), (1.1.2) (см. параграф 1.1).Функции
xx=Hx(pvp29Ü)9 (1.3.5)
x2=H2(pvp29Ü) (1.3.6)
называются функциями спроса поХиксу (функциями компенсированного спроса) на первый и второй продукты со стороны потребителя. Очевидно, X = Нг(рХ9р29 U).
Функции спроса хх = Hx{pvp29 Ü)9 х2 = Н2(р{9р29 Ü) по Хиксу
подставляем в целевую функцию М = m(pvp29 Ü) = рххх + р2х2 =
= РХНХ(рх, р2, Ü) + р2Н2(рх9p29Ü) и получим функцию т(рх, р2, Ü)9
которая называется функцией расходов.
Она зависит от P\>P2>U и явно не зависит от потребительского набора.Функция спроса Н.(рХ9р29 Ü)9 / = 1, 2 однородна нулевой степени по переменным рх и pv т.е. для любого числа у> О
Hi{y pX9y p29Ü)^Hi(pX9p29Ü)9 / = 1,2.
Для доказательства перепишем задачу (1.1.3), (1.1.4) (см. параграф 1.1) следующим образом (число у > 0):
урххх + ур2х2 = у- min, (1.3.7)
U(xX9X2) = Ü. (1.3.8)
Задачи (1.3.7), (1.3.8) и (1.1.3), (1.1.4) (см. параграф 1.1) одинаковые и имеют одно и то же решение (хх, х2). Задача (1.1.3), (1.1.4) (см параграф 1.1) имеет ответ (L3.5), (1.3.6). Задача (1.3.7), (1.3.8) имеет ответ*! =Нх(ур{9ур29 Ü)9x2=H2(ypX9yp29 Ü).
Следовательно,
нх(урх9ур29и) = нх{рх9р29и)9 (1.3.9)
Н2(урХ9ур29и) = Н2{рХ9р29и). (1.3.10)
т.е. функции спроса (х]9 х2) однородны нулевой степени по переменным рх и рг *
3 - 7620 33
1.3.2. Свойства функции расходов
1. Функция расходов т(р{,р29 С) однородна первой степени по переменным рх и р2.
Имеем
т(ур19ур2, и) = урх Нх(у*р19 ур2, й) + ТРг'Н2(урХУур29 £0 = = У-[Р\ Н1(р1,р2, и) + р2 Н2(рх,р2, и)] = у т(р19р2, С).
2. Если и ТТ=> т(р19 р2, и) ТТ,
Л П=*т(Р1>Р2>и)
р2 ТТ=>т(р19р29и) ТТ.
Доказательства следуют из утверждений 1.4.1 и 1.4.2 параграфа 1.4.
3. Функция расходов выпуклая вверх по переменным р{ и р2 (рис. 1.5):
Рис. 1.5 |
/и[(1 - X) р° + X • р{)] > (1 - Х)т(р°) + X • т(р1) для любого числа О < X < 1 и любых векторов р° > О9рх> 0.
4. рх > 0, р2 > О, I/ > О — функция спроса по Хиксу и функция расходов непрерывны.
Доказательство свойства 4 является необязательным и поэтому не приводится.
Докажем свойство 3.
Число X удовлетворяет неравенствам 0 < X < 1, векторы р° > О, р1 > 0. Имеем т(рх, р2, и) = /^х® + р2х2 = + р2х2) при ус
ловии, что^7(хр х2, 0) = 0.Аналогичнот(р\, р\, 0) = р\х\ + р\х\ = = пип(/>11х1+/>2х2) при условии, что {/(хрх2, и) = 0. Положим =(1-Х.) ^н-Л, ^1,^ =(1—А^)Имеем М(р{,р2, й) = рххх + р2х2 = тт(р{х{ + р2х2) при условии, что
Имеем следующую цепочку равенств и неравенств:
т(рх,Рг> и)^рх^рххх+р2х2^{(\-Х)рх+Хр\)хх +
+(1 - X) • р* + X • р\ )х2 = (1 - ХХ/?^ + Р°2х2) + М/^ + > =
= (1 - Х)р°х + X • р1х > (1 - Х)/х° + * • У*1 =
= 2 функции спроса по Хиксу имеют вид х, =#,(/>,, ...,/>„, £0, ...,х„ = #„(/>,, ...,/>„, £0-
Еще по теме 1.3. Решение задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности методом Лагранжа. Функции спроса по Хиксу (функции компенсированного спроса), функция расходов и их свойства:
- 8. КРИВАЯ СПРОСА. ЗАКОН ПАДАЮЩЕГО СПРОСА. ФУНКЦИЯ СПРОСА
- 2.4.2. Методы формирования решений. Функции полезности
- ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
- 12.3. Послесловие к функциям спроса
- Функция совокупного спроса
- Динамическая функция совокупного спроса
- Функция спроса на деньги в монетаристской интерпретации.
- Кривая компенсированного спроса
- § 3. Производственная функция и спрос на ресурсы
- Функция спроса на деньги
- СПРОС И КОНКУРЕНТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЯ: ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
- 79. РЫНОК ТРУДА: ПОНЯТИЕ, ФУНКЦИИ. СПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА ТРУД
- Глава 10. СПРОС И КОНКУРЕНТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЯ: ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ 1.
- Равновесие совокупного спроса и совокупного предложения и полная занятость ресурсов. Компоненты совокупного спроса и уровень планируемых расходов. Потребление и сбережения. Инвестиции
- ДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СОВОКУПНОГО СПРОСА И СОВОКУПНОГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ
- Правительственные расходы и формирование совокупного спроса. Мультипликатор государственных расходов и налогов. Государственный долг
- Вопрос 2. Спрос. Закон спроса. Кривая спроса. Изменения в спросе.
- 1.2. Функции, задачи и методы бухгалтерского учета