5.5. Отношение к риску. Количественные оценки риска
(5.5.1) |
Пусть индивидуум имеет функцию полезности где и> — величина дохода, а и(и>) — уровень полезности индивидуума, если его доход равен и\ Пусть рх — вероятность реализации варианта и(м?х) (в этом варианте доход величиной и^ имеет для индивидуума уровень полезности ^(и^)), р2 — вероятность реализации варианта и(и>2), ...,рк-вероятность реализации варианта и( м?к) (рх + ...+рк= 1, рх > 0,..., рк > 0), тогда выражение
M[u(w)} =pxu(wx) + ...
+pku(wk)представляет собой ожидаемую полезность (среднюю полезность) рассмотренных вариантов. Выписанная сумма представляет собой функцию ожидаемой полезности, или функцию полезности Неймана—Моргенштерна (см.
раздел 5.4.2). Здесь и далее Л/ —
символ математического ожидания случайной величины и(\у), имеющей следующее распределение вероятностей рх,...9рк.
M(w,) | ... | u(wk) |
Р\ | ... | Рк |
Величина м> = рх\Ух + ... + р^к представляет собой ожидаемый доход, т.е. математическое ожидание величины м>, имеющей распределение вероятностейрх, ...,рк.
W1 | ... | "к |
Р\ | ... | Рк |
Таким образом, ожидаемая полезность есть математическое ожидание M[u(w)] (случайной) полезности w(w), а ожидаемый доход есть математическое ожидание M[w] случайного дохода w.
5.5.2. Рассмотрим функцию полезности v(w) = а + bu(w)> где а и Ъ > О — скалярные параметры. На основании свойства линейности математического ожидания имеем M[v(w)] = а + bM[u(w)]> т.е. обе функции полезности u(w) и v(w) представляют одно и то же отношение предпочтения в условиях риска.
Если функция полезности u(w) выпукла вверх, то при к = 2 справедливо неравенство
u{pxwx + p2w2) >pxu(wx) +p2u(w2) (5.5.2)
(при к > 2 имеем u(pxwx +... + pkwk) >pxu(wx) +... + Pku(wk))- Левая часть неравенства (5.5.2), очевидно, равна
"(Р^х +Р2™2) = "(МИ), (5.5.3)
где M[w] — математическое ожидание дохода w - pxwx + p2w2: M[w\ = M\pxwx +p2w2].
Правая часть равенства (5.5.2) есть математическое ожидание M[u(w)] =pxu(w^) +p2u(w2) полезности «(w).
Используя равенства (5.5.1), (5.5.3), перепишем неравенство (5.5.2) следующим образом:
M[u(w)]2м>2] (рис. 5.2).
На рис. 5.2 точка В = и(А/[н>]) = (А/[н>], и(Л/|>]) изображает полезность безрискового дохода IV, равного математическому ожиданию и> = М\рхУ*х + />2н>2] случайного дохода рх\Ух + р2™2> точ~ каЛ = (IV, Л/[и(н>)]) изображает ожидаемую полезность (т.е. полезность в условиях риска), если вероятность дохода и^ индивидуума равнар{9 вероятность дохода н>2 индивидуума равна р29 а ожидаемый доходрх\нх + р2\У2 также равен IV.
Таким образом, в условиях риска ожидаемая полезность М[и(\у)] индивидуума строго меньше полезности и(М[\у]) индивидуума в условиях отсутствия риска. Откуда следует, что представленная на рис.
5.2 линия есть график функции полезности индивидуума, не склонного к риску (т.е. рискофоба).М(иМ) |
и(м?х) |
О = М[у>] = М[У!?] у» = Щрх у»х + Р2^2] \У2 = ЩпД И> |
Рис. 5.2 |
г |
и(и>2) и(ММ) |
На рис. 5.2 также видно, что в условиях отсутствия риска полезность и9 равная ожидаемой полезности, т.е. и = Аф/(н>)], достигается при доходе IV, равном и> = н>. Содержательно это означает, что индивидуум готов потерять часть своего дохода в размере IV - Я? > 0 для того, чтобы безрисковая ситуация, изображаемая точкой С = (й>, М[и(у?)])9 была эквивалентна ситуации в условиях риска, изображаемой точкой А = (IV, Л/[к(н>)]). Отметим, что в обоих случаях полезность одна и та же и равна Л/[и(н>)]. Разность IV - (равную длине \СА\Х отрезка С А) принято называть премией за риск. В случае индивидуума, который не склонен к риску, премия за риск положительна.
Если график Г функции полезности больше похож на прямую (т.е. радиус ее кривизны относительно велик), то премия за риск будет меньше. Если же график Г функции полезности имеет сильное искривление (радиус кривизны относительно мал), то премия за риск будет больше при той же разности и(А/[и>]) - А/[и(и>)]. Таким образом, степень искривления графика функции полезности характеризует степень неприятия риска индивидуумом.
5.5.3. Если функция полезности и(м>) выпукла вниз, то при к = 2 справедливо неравенство
и(рхм?х +р2м>2) 2) (при к> 2 и(рхпх + ... + рк\Ук) )] > и(Л/[и>]),
которое означает, что математическое ожидание А/[и(и>)] полезности и(м?) не меньше полезности и(М[н?]) математического ожидания Л/[и>] случайного дохода и>, которое (математическое ожидание Л/[и>]) равно безрисковому доходу и>, т.е. и> = Л/[и>] = М\рхм?х + р2\у2] (рис. 5.3), т.е. представленная на рис. 5.3 линия есть график функции полезности индивидуума, который склонен к риску (т.е. рис- кофила). В этом случае в условиях риска уровень ожидаемой полезности М[и(м?)] индивидуума строго выше уровня полезности
и(ЩуЛ) в условиях отсутствия риска (точка А расположена выше точки В9 этим точкам соответствует один и тот же доход и>). В данном случае премия за риск отрицательна и равна длине | АС \х отрезка АС, взятой со знаком минус, что содержательно означает, что индивидуум приобретает дополнительный доход в размере й>-и>>0 для того, чтобы для него безрисковая ситуация, изображенная точкой С = (й>, М[и(\у)])9 была эквивалентна ситуации в условиях риска, изображаемой точкой А = (и>, М[и(мі)]).
5.5.4. Если функция полезности и(\у) индивидуума выпукла вверх и вниз (т.е. график есть прямая линия), то при к = 2 справедливо равенство
и(рхм?х +/>2и>2) =рхи(м>х) +р2и(м>2) (при к> 2 и(рхм>х + ... + ркм?к) = рхи(м?х) +... + рки(м?к)).
В этом случае имеем равенство
М[и(м>)] = и(М[м>])9
которое означает, что математическое ожидание М[и(м>)] полезности и(и>) равно полезности и(Щу>]) математического ожидания М[уи] случайного дохода и>, которое (математическое ожидание М[у*\) равно безрисковому доходу и>, т.е. и> = Л/[и>] = М\рхм?х + />2и>2] (рис. 5.4). Таким образом, представленная на рис. 5.4 линия есть
график функции полезности индивидуума, нейтрального к риску (т.е. рисконейтрала). В этом случае, очевидно, премия за риск
Для индивидуума, который не склонен к риску (т.е. является рискофобом), функция полезности и(м>) от его дохода выпукла вверх (см. рис. 5.2). Для такой функции и(м?) ее производные и'(м>) > 0 и и"(и>) < 0. Это означает, что предельная полезность и'(и>) дохода IV индивидуума убывает с ростом такого дохода. Интуитивно ясно, что чем график функции и(м?) полезности больше похож на отрезок прямой, тем меньше степень неприятия риска со стороны индивидуума. Наоборот, чем сильнее искривлен график функции полезности, тем выше степень неприятия индивидуума к риску. Степень искривления графика функции определяет вторая производная этой функции.
5.5.5. Для построения показателя степени неприятия риска со стороны индивидуума используются меры Эрроу-Пратта, которые определяются так.
Абсолютная и относительная меры Эрроу-Пратта для функции полезности и(\у) имеют вид
и(м?) г а и (у?)
В связи с тем, что у'(и>) = Ьи'(мг), у"(м?) = Ьи"(м>) (у(и>) = а + £и(и>)), абсолютная и относительная меры Эрроу-Пратта одни и те же для целого класса функций полезности у(м>) = а + Ьи(\у), поэтому эти меры выражают свойства предпочтений индивидуума, а не только описывающих их функций полезности.
Если считать, что уровень полезности н(и>) измеряется в юти- лях (ю), а доход — в денежных единицах (д.е.), то размерность первой производной и'(у?) имеет вид ю/д.е., размерность второй производной и"(и>) имеет вид ю/(д.е.)2, поэтому абсолютная мера Эрроу-Пратта имеет размерность вида 1/д.е., а относительная мера Эрроу-Пратта — безразмерная величина.
Имеем
И (и>) и(уи) и сЬу ™ где Е^]/) — эластичность предельной полезности и\И>) ПО ДОХОДУ И\
Если индивидуум склонен к риску, то и"{мг) > 0, и если и'(у») > о, то
ЛРвМт-!М* о, АРг(*) = -^ 0, то справедливы неравенства (5.5.5).
Если и"(иО < 0 (означает, что индивидуум не склонен к риску) и если и'(иО > 0, то
АРа(у*)7> 0, АРг(уг) > 0.
Если и"(п) = 0, это эквивалентно тому, что индивидуум нейтрален к риску, и если и'(мг) > 0, то
АРа(*) = 0, ЛРг(иО = 0.
Меры АРа(м?) и АРДиО обладают следующими свойствами.
1. Пусть мера АРа{п) растет с ростом и>, тогда с ростом м> безрисковый эквивалент случайного выигрыша убывает, и наоборот.
2. Пусть мера АРа(у) возрастает с ростом и>, тогда с ростом и> спрос на рисковый актив убывает (т.е. рисковый актив - товар низкого качества).
Пусть мера АРа(ю) убывает с ростом IV, тогда с ростом IV спрос на рисковый продукт возрастает (т.е. рисковый актив-товар нормальный).
3. Пусть АРа(м?) убывает, а АРг{у?) возрастает, тогда эластичность спроса на рисковый актив по доходу меньше единицы, т.е. рисковый актив - продукт первой необходимости. Пусть АРг(уї) убывает, тогда эластичность больше единицы (т.е. рисковый актив - предмет роскоши).
Для описания функций полезности для которых абсолютная и относительная меры АРа(у?) и АРг{у?) постоянны, следует решить обыкновенные дифференциальные уравнения
= а, ЛРг(иО = р, где а и (3 — постоянные положительные параметры.
Эти уравнения путем понижения их порядка сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными, которые легко интегрируются.
Общее решение дифференциального уравнения
и"(и0
------- —- = а
и'{м>)
имеет вид к(н>) = -С^"™ + с2 (проверяется непосредственно). При фиксированных постоянных (С{ > 0) и С2 функция и(и>) строго
возрастает и выпукла вверх. Это означает, что индивидуум с функцией полезности не склонен к риску.
Общее решение дифференциального уравнения
-и? , =В «і» Н
имеет вид
щ (и>) = С]пС1УУ (Р = 1)
(проверяется непосредственно).
При фиксированных положительных постоянных Си Л^ функции и(\у) и их(м?) строго возрастают и выпуклы вверх, что означает, что индивидуумы с функциями полезности и(у?) и и1(и>) не склонны к риску.
5.5.6. Пример.
Пусть функция полезности индивидуума имеет вид
где и> - доход индивидуума;
и — уровень полезности индивидуума, которого он достигает, приобретая потребительский набор на сумму, равную
еГО ДОХОДУ И>.
Для этой функции абсолютная и условная меры Эрроу—Прат- та имеют вид (проверяется непосредственно)
ЛИ/ ч и"(и>) 1-а ч и"(и>) ,
ЛРа(и>) = —=-- , АР (у?) = тг~г = 1 - а.
а И (и>) и> г и(у?)
При 0 < а < 1 имеем случай, когда индивидуум не склонен к риску. Очевидно, при этом АРа(у?) > О, АРГ(и>) > 0. Чем меньше а (т.е. чем ближе степень а к нулю), тем больше индивидуум не склонен к риску.
Рассматриваемый случай степенной функции полезности наглядно демонстрирует зависимость между отрицательным отношением к риску и относительной мерой Эрроу-Пратта: чем боль
ше индивидуум не склонен к риску, тем ближе к единице относительная мера Эрроу—Пратта.
В частности, при а = 1/2 меры Эрроу—Пратта соответственно равны АРа(\у) = 0,5/м>, АРг(уу) = 0,5, а при а = 1/в они равны Л/>>) = 5/6*,ЛРг(*) = 5/6.
При а > 1 имеем случай, когда индивидуум склонен к риску, при а = 1 он к риску нейтрален. При а > 1 АРа(уу) < 0, АРг(уу) < 0, при а = 1 АРа(уи) = 0, АРг(у») = 0.
Пусть а = 1/2, а = 10, Ъ = 60, н^ = 10, м>2 = 50, Р1=Р2 = 0,5.
Тогда при безрисковом уровне дохода = 10 (м>2 = 50) уровень полезности индивидуума равен
ГюУ/2 Г5оУ/2
^ = и^) = ю1 — I = 4,08 (и2 = и(у»2) = ю1 = 9,13).
Равенство рх=р2 = 0,5 эквивалентно тому, что индивидуум с равными вероятностями выбирает доход н^ = 10 или доход м>2 = 50, откуда вытекает, что математическое ожидание дохода индивидуума равно Лф>] = рх\*х + р^2 = 0,5 • 10 + 0,5 • 50 = 30.
Полезность математического ожидания дохода Л/[и>] = 30 равна
«1=и(Л/И) = 10^/ =7,07,
а ожидаемая полезность индивидуума (математическое ожидание полезности) равна
ЩУЛ = Рхи^\)+ Рги1У*2> - + - 30-
Определим безрисковый уровень й> дохода, при котором полезность равна ожидаемой полезности М[м?]у из следующего уравнения:
М[Ы]:
откуда получаем, что
»-боГ^Т 8 26,18.
{10 )
/ - V' -"й |
Премия за риск в рассматриваемом случае равна -й> = 30-26,18 = 3,82. т.е. безрисковый доход Я? = 26,18 дает индивидууму полезность, равную ожидаемой полезности Щи] = рхи(м?х) + р2и(м?2) = 6,61 ин
дивидуума при его случайном доходе с математическим ожиданием Щуі/\ = рхм?х + р2\У2 = 30. Другими словами, премия за риск равна той части дохода индивидуума, от которой он должен отказаться для того, чтобы ситуация определенности для него была эквивалентна ситуации неопределенности: Щи] = и(йО (рис. 5.5), на котором представлен случай, когда а = У2. Линия ОАхА$АуА2С есть график функции полезности и(\н) = 10(мг/60)т, точки Ах = Иі), Л2 = (и>2, и2), А3 = (Л/[и>], иММ)) = (30; 7,07), А4 = (МЫ, Щи]) = = (30; 6,61), А$ = (IV, Щи]) = (26,18; 6,61). Длина отрезка А5А4, взятая со знаком плюс, равна премии за риск Щуі] - = 30 - 28,18 =
Рис. 5.5 |
Пусть теперь а = 1/6, а остальные величины а, Ь, и>р и>2, рх, р2 такие же, как в случае, когда а = У2. В рассматриваемом варианте имеем
ГюУ/б Г5оУ/б
«,=«(*,) = ю(Д) = 7,42 «2 = «^) = =9,7,
Щу/\ = + р2У>2 = 0,5 • 10 + 0,5 • 50 = 30,
ГзоУ/6
и = и(М[м/]) = 10• I =8,9,
М[у>] = Рхи( м?{) + Р2и(м?2) = 0,5^ + 0,5и2 = 8,56,
М[м?] - й> = 30 - 23,59 = 6,41.
129 |
Мы видим, что во втором случае (а = У6), в котором уровень (степень) неприятия риска индивидуумом значительно выше, чем в первом случае (а = 1/2), премия за риск также значительно больше, чем в первом случае (рис. 5.6, на котором линии ОЛ^Л^Си ОВ^В^С суть графики функций полезности и(и>) = 10(^/60)1/2 и ы(уу) = 10(и>/60)1/6 соответственно). Длины отрезков Л5Л4 и В5В4, взятые со знаком плюс, равны соответственно премиям за риск в первом случае (а = У2) и во втором случае (а = 1/6) | А5А41 = 3,82 и \В5В41 = 6,41).
…
Еще по теме 5.5. Отношение к риску. Количественные оценки риска:
- 22.1.2. Методы количественной оценки риска вложений
- Отношение к риску.
- 8.3. Качественные и количественные методы анализа риска
- Качественная оценка аудиторского риска для отчетности в целом. Компоненты аудиторского риска
- 10.3.2. Оценка риска
- Способы ОЦЕНКИ уровня риска
- 2. Процедуры оценки проектного риска
- 8.6. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РИСКА
- Методы оценки риска
- 15.2. Методы оценки инвестиционного риска
- Технологии оценки риска и защиты от него
- 12.1.3. Толерантность к риску
- Оценка риска
- Методы оценки риска инвестиционного проекта
- КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ ПРОЕКТА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ