<<
>>

П 5. Основные результаты теории квадратных матриц

П.5.1. Вектор V * 0 называется (правым) собственным вектором (квадратной) матрицы А, если существует число X, такое, что АV = XV. Число X называется собственным числом матрицы А.

Вектор 0 называется (левым) собственным вектором (квад­ратной) матрицы А, если существует число X, такое, что юА = Аж Число X называется собственным числом матрицы А.

Число X и векторы wиv могут быть как действительными, так и комплекс­ными.

Если А — квадратная матрица порядка л, матрица XI- А, где X — независимая скалярная переменная, называется характерис­тической для матрицы А. Определитель йег(Х1-А) характеристи­ческой матрицы XI- А является многочленом относительно пере­менной X. Он называется характеристическим многочленом мат­рицы А. Степень характеристического многочлена йег(Х1 - А) матрицы А равна порядку матрицы А, т.е. натуральному числу л (это можно проверить, непосредственно вычислив определитель йег(Х1-А)).

Уравнение с1е1:(А,/ - А) = 0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Среди корней характеристического урав­нения могут быть комплексные корни (даже если матрица А имеет только действительные элементы ау /,у = 1, ..., л).

Поэтому при достаточно полном разборе таких важных понятий, как собствен­ное число и собственный вектор матрицы А, нельзя обойтись без использования комплексных чисел, ибо собственное число мат­рицы А является корнем характеристического многочлена с1е1:(А,/- А) этой матрицы А; и наоборот, корень характеристичес­кого многочлена является собственным числом матрицы А. По­скольку многочлен с1е1(А,/- А) имеет не более л различных корней, постольку матрица А имеет не более л различных собственных чисел. Множество всех собственных чисел матрицы^ называется спектром матрицы/!. Если матрица имеет собственное число, рав­ное нулю, она вырожденная; и наоборот, вырожденная матрица обязательно имеет собственное число, равное нулю.
Алгебраичес­кой кратностью (или просто кратностью) собственного числа Х0 матрицы А называется кратность числа Х0 как корня характерис­тического многочлена то матрица Л имеет обя­зательно собственное число комплексно сопряженное с чис­лом С0- Паре комплексно сопряженных собственных чисел Со и Со соответствует пара комплексно сопряженных собственных векто­ров и0 и и0 матрицы А: Аи° = Со"0, Аи° = С^щ. Умножение действи­тельной матрицы на комплексный вектор-столбец производится по обычному правилу умножения матрицы на вектор-столбец.

Собственные векторы, соответствующие различным соб­ственным числам матрицы А, линейно независимы. Если среди собственных векторов есть комплексные, то необходимо прирав­нивать к нулю всевозможные линейные комбинации этих векто­ров с комплексными коэффициентами; в случае линейной неза­висимости все эти коэффициенты должны равняться нулю. Гео­метрической кратностью собственного числа матрицы А называется максимальное число линейно независимых собствен­ных векторов матрицы А, соответствующих этому собственному числу. Всегда геометрическая кратность не больше алгебраичес­кой. Если алгебраическая кратность равна единице, то и геомет­рическая кратность равна единице.

П.5.2. Важный частный случай квадратных матриц — класс мат­риц с неотрицательными элементами, которые часто применяют­ся в математическом анализе моделей экономических состояний и процессов.

Квадратная матрица А называется разложимой, если переста­новками строк и такими же перестановками столбцов ее можно привести к блочному (клеточному) виду

л и

А А '

где Ах и А3 — квадратные подматрицы (не обязательно одного по­рядка) матрицы А. В противном случае квадратная матрица А на­зывается неразложимой. Например, квадратная матрица А > О неразложима, а матрица I — разложима. Если перестановками матрицу Л > 0 можно привести к блочному (клеточному) виду (вид называется циклическим разложением)

г 0 4 о ...

О > О О А2 ... О

ООО" Ак_х

Л О о - о ,

где к > 2 и нули на главной диагонали означают нулевые квадрат­ные подматрицы, которые могут иметь разные порядки, то матри­ца Л > 0 называется циклической (импримитивной), в противном случае — примитивной. Отметим, что у циклической (имприми­тивной) матрицы может существовать несколько циклических разложений. Натуральное число к > 2 называется индексом цик­личности (или индексом импримитивности) матрицы А. Если А £ 0 0) неразложима, то и матрица А > 0 (* 0) также неразложи­ма. Если А > 0 (* 0) неразложима, а В > 0, то АВ > 0.

Квадратная матрица примитивна тогда, когда существует на­туральное число р > 1, такое, что АР > 0, т.е. матрица Л > 0 — част­ный случай примитивной матрицы. Для наименьшего номера р = рл, для которого справедливо неравенство АР > 0, имеет место неравенство рл <

(я - 1)2+ 1,

где п — порядок матрицы А. Если А примитивна и натуральное число т >р, тоАт > 0. Степень Л* при­митивной матрицы А есть примитивная матрица (1 < к — нату­ральное число).

Квадратная матрица Л > 0 (примитивная матрица Л) имеет по­ложительное собственное число X*, кратность которого равна единице и которое строго больше модулей остальных собствен­ных чисел матрицы А. Собственный вектор (как правый V*, так и левый IV*), соответствующий собственному числу X*, можно вы­брать положительным (для А > О — это теорема Перрона, для при­митивной матрицы Л — теорема Фробениуса).

Собственное число X* называется максимальным числом (или числом Перрона) положительной (примитивной) матрицы, соот­ветствующие ему положительные собственные векторы V* И W* — векторами Перрона квадратной матрицы А > 0 (обычно в качестве векторов Перрона v* и w* фигурируют положительные нормиро­ванные векторы: |v*| = 1, |w*| = 1).

Пусть матрица Л > 0 0) порядка п примитивна и пусть вектор z°> 0 (* 0) (z° е Еп), тогда существует число с > 0, зависящее только от вектора z°, такое, что

lim Ак z°/(X*)k = cv* (к = 0,1,...),

к-¥ оо

где X* > 0 и v* > 0 (|v*| =1) соответственно число Перрона и правый вектор Перрона матрицы А (предельная теорема Фробениуса).

Квадратная матрица Р > 0 (* 0) называется стохастической, если сумма элементов каждой строки матрицы Р равна единице. Стохастическая матрица является частным случаем квадратной неотрицательной матрицы. Квадратная матрица Р> 0 (* 0) являет­ся стохастической тогда и только тогда, когда вектор (1,..., 1) яв­ляется собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному числу, равному единице. Все собственные числа стохастической матрицы Рпо модулю не превосходят единицы.

Квадратная матрица Л > 0 (* 0) называется продуктивной, если существует вектор х > 0 (* 0), такой, что х > хА. Из последнего не­равенства следует, что на самом деле вектор х > 0. Если матрица А является продуктивной, то матрица /- А невырожденная. Для то­го чтобы матрица А > 0 была продуктивной, необходимо и доста­точно, чтобы матрица (/- Äf{ > 0 (ф 0). Если матрица А продук­тивная, то lim Ак = 0 (А: = 0,1,...).

к-*+оо

П.5.3. Квадратная матрица с действительными элементами назы­вается ортогональной, если А = А"1. Ортогональная матрица А обладает следующими свойствами: 1) матрица, обратная к ортого­нальной, является ортогональной; 2) 1= А А - АА (это сразу следу­ет из определения А - А~1), откуда вытекает, что скалярные квад­раты всех строк (столбцов) равны единице и скалярные произве­дения попарно различных строк (попарно различных столбцов) равны нулю, т.е. попарно различные строки (попарно различные

столбцы) ортогональны, их длины равны единице, и поэтому все строки (все столбцы) ортогональной матрицы могут быть взяты в качестве ортонормированного базиса в л-мерном пространстве Еп\ 3) длина (евклидова норма) вектора Ах равна длине вектора х, т.е. \Ах\ = \х\; 4) произведение двух ортогональных матриц есть ор­тогональная матрица; 5) определитель ортогональной матрицы равен ±1; 6) все собственные числа ортогональной матрицы по модулю равны единице.

П.5.4. Квадратная матрица В называется подобной квадратной матрицей, если существует невырожденная матрица Г, такая, что В- ТХАТ. Очевидно, из подобия В с А вытекает подобие Л с В9 ибо А = где 5= Тх. Каждая квадратная матрица подобна сама

себе; две матрицы, подобные третьей, подобны между собой. Приведем ряд свойств подобных матриц:

1) НГХАТ) = НА)\ 2) й О (Дх) < 0) при любых х е Ея, х ф 0. Для того чтобы симметрическая матрица Л (соответствующая ей квадратичная форма Дх)) была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и до­статочно, чтобы все ее собственные числа были положительными (отрицательными). Другим необходимым и достаточным услови­ем положительной (отрицательной) определенности симметри­ческой матрицы А является выполнение неравенств йе1(Ак) > 0 ((-1)кйег(Ак) > 0), к= 1,2,..., л, где подматрицыАк= (а.р, /,./ = 1,..., к, симметричны относительно главной диагонали а{{9 ..., атт квад­ратной матрицы А Миноры (А^9 к= 1,..., л, называются после­довательно повышающими порядок главными минорами матри­цы (критерий Сильвестра).

Симметрическая матрица Л = (д.), = 1,..., л, называется не­отрицательно (неположительно) определенной, если квадратич­ная форма

п

/\У=1

является неотрицательно (неположительно) определенной, т.е.Дх) > 0 (Дх) < 0) для любого х е Еп. Для того чтобы симметри­ческая матрица А (соответствующая ей квадратичная форма Дх)) была неотрицательно (неположительно) определенной, необхо­димо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были неотри­цательны (неположительны). Другим необходимым и достаточ­ным условием неотрицательной (неположительной) определен­ности симметрической матрицы А является выполнение при к= 1,..., л неравенств > 0 ((-1)*ёе1(АГЛ)), где йе1(Мк) — глав­

ные миноры матрицы А порядка к (т.е. определители всех подмат­риц Мк порядка к, симметричных относительно главной диагона­ли квадратной матрицы Л). В этом утверждении неотрицательнос­ти только последовательно повышающих порядок миноров й&(Ак)9 к= 1,л, квадратной матрицы А недостаточно.

называется нормой \А\ квадратной

2 К

матрицы А. Свойство нормы: 1) \А\ > 0, если А * 0 и \А\ = 0, если А = 0;

2) \А + 4 < И + № 3) М = |а|И; 4) И4 * И№ ИМ, И4

|х( — евклидовы нормы векторов Ах их соответственно.

Используются и другие определения нормы квадратных, а также и прямоугольных матриц:

П.5.6. Число \А\ =

Известно, что если модуль \а\ числа а строго меньше единицы (т.е. \а\ < 1), то справедливо равенство (1 - а)'1 = 1 + а +а2 + ... + + в* + ... Аналогичное равенство имеет место и для квадратной матрицы А, норма которой строго меньше единицы (т.е. \А\ < 1): (/- А)~1 = 1 + А +А2 + ... + А* + ... Последнее равенство находит | широкое применение в анализе межотраслевых моделей, в кото­рых А — матрица коэффициентов прямых материальных затрат, а (/- А)"1 — матрица коэффициентов полных материальных за­трат.

<< | >>
Источник: Черемных Ю.Н.. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. - М.: ИНФРА-М, - 844 с.. 2008

Еще по теме П 5. Основные результаты теории квадратных матриц:

  1. 9.4. Основные теории мотивации
  2. 52. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ВОСПИТАНИЯ
  3. Четыре основных элемента из неоклассической экономической теории
  4. Поступление основных средств в результате строительства
  5. Основные предпосылки экономической теории
  6. Основные теории
  7. Основные теории
  8. 4. Основные принципы денежной теории
  9. Глава 1 ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
  10. 5.2.1. Матрицы финансовых стратегий
  11. Лекция N 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
  12. 1.6. Основные этапы развития экономической теории
  13. Основные положения количественной теории и этапы ее эволюции.
  14. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАЛЬНЫХ ДЕЛОВЫХ ЦИКЛОВ
  15. Основные элементы научной политической теории.
  16. Основными задачами анализа финансовых результатов
  17. 75. ЭВОЛЮЦИЯ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДЕНЕГ. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ МОНЕТАРИЗМА