П 5. Основные результаты теории квадратных матриц
Вектор 0 называется (левым) собственным вектором (квадратной) матрицы А, если существует число X, такое, что юА = Аж Число X называется собственным числом матрицы А.
Число X и векторы wиv могут быть как действительными, так и комплексными.Если А — квадратная матрица порядка л, матрица XI- А, где X — независимая скалярная переменная, называется характеристической для матрицы А. Определитель йег(Х1-А) характеристической матрицы XI- А является многочленом относительно переменной X. Он называется характеристическим многочленом матрицы А. Степень характеристического многочлена йег(Х1 - А) матрицы А равна порядку матрицы А, т.е. натуральному числу л (это можно проверить, непосредственно вычислив определитель йег(Х1-А)).
Уравнение с1е1:(А,/ - А) = 0 называется характеристическим уравнением матрицы А. Среди корней характеристического уравнения могут быть комплексные корни (даже если матрица А имеет только действительные элементы ау /,у = 1, ..., л).
Поэтому при достаточно полном разборе таких важных понятий, как собственное число и собственный вектор матрицы А, нельзя обойтись без использования комплексных чисел, ибо собственное число матрицы А является корнем характеристического многочлена с1е1:(А,/- А) этой матрицы А; и наоборот, корень характеристического многочлена является собственным числом матрицы А. Поскольку многочлен с1е1(А,/- А) имеет не более л различных корней, постольку матрица А имеет не более л различных собственных чисел. Множество всех собственных чисел матрицы^ называется спектром матрицы/!. Если матрица имеет собственное число, равное нулю, она вырожденная; и наоборот, вырожденная матрица обязательно имеет собственное число, равное нулю. Алгебраической кратностью (или просто кратностью) собственного числа Х0 матрицы А называется кратность числа Х0 как корня характеристического многочлена то матрица Л имеет обязательно собственное число комплексно сопряженное с числом С0- Паре комплексно сопряженных собственных чисел Со и Со соответствует пара комплексно сопряженных собственных векторов и0 и и0 матрицы А: Аи° = Со"0, Аи° = С^щ. Умножение действительной матрицы на комплексный вектор-столбец производится по обычному правилу умножения матрицы на вектор-столбец.Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам матрицы А, линейно независимы. Если среди собственных векторов есть комплексные, то необходимо приравнивать к нулю всевозможные линейные комбинации этих векторов с комплексными коэффициентами; в случае линейной независимости все эти коэффициенты должны равняться нулю. Геометрической кратностью собственного числа матрицы А называется максимальное число линейно независимых собственных векторов матрицы А, соответствующих этому собственному числу. Всегда геометрическая кратность не больше алгебраической. Если алгебраическая кратность равна единице, то и геометрическая кратность равна единице.
П.5.2. Важный частный случай квадратных матриц — класс матриц с неотрицательными элементами, которые часто применяются в математическом анализе моделей экономических состояний и процессов.
Квадратная матрица А называется разложимой, если перестановками строк и такими же перестановками столбцов ее можно привести к блочному (клеточному) виду
л и
А А '
где Ах и А3 — квадратные подматрицы (не обязательно одного порядка) матрицы А. В противном случае квадратная матрица А называется неразложимой. Например, квадратная матрица А > О неразложима, а матрица I — разложима. Если перестановками матрицу Л > 0 можно привести к блочному (клеточному) виду (вид называется циклическим разложением)
г 0 4 о ...
О > О О А2 ... ОООО" Ак_х
Л О о - о ,
где к > 2 и нули на главной диагонали означают нулевые квадратные подматрицы, которые могут иметь разные порядки, то матрица Л > 0 называется циклической (импримитивной), в противном случае — примитивной. Отметим, что у циклической (импримитивной) матрицы может существовать несколько циклических разложений. Натуральное число к > 2 называется индексом цикличности (или индексом импримитивности) матрицы А. Если А £ 0 0) неразложима, то и матрица А > 0 (* 0) также неразложима. Если А > 0 (* 0) неразложима, а В > 0, то АВ > 0.
Квадратная матрица примитивна тогда, когда существует натуральное число р > 1, такое, что АР > 0, т.е. матрица Л > 0 — частный случай примитивной матрицы. Для наименьшего номера р = рл, для которого справедливо неравенство АР > 0, имеет место неравенство рл <
(я - 1)2+ 1,
где п — порядок матрицы А. Если А примитивна и натуральное число т >р, тоАт > 0. Степень Л* примитивной матрицы А есть примитивная матрица (1 < к — натуральное число).
Квадратная матрица Л > 0 (примитивная матрица Л) имеет положительное собственное число X*, кратность которого равна единице и которое строго больше модулей остальных собственных чисел матрицы А. Собственный вектор (как правый V*, так и левый IV*), соответствующий собственному числу X*, можно выбрать положительным (для А > О — это теорема Перрона, для примитивной матрицы Л — теорема Фробениуса).
Собственное число X* называется максимальным числом (или числом Перрона) положительной (примитивной) матрицы, соответствующие ему положительные собственные векторы V* И W* — векторами Перрона квадратной матрицы А > 0 (обычно в качестве векторов Перрона v* и w* фигурируют положительные нормированные векторы: |v*| = 1, |w*| = 1).
Пусть матрица Л > 0 0) порядка п примитивна и пусть вектор z°> 0 (* 0) (z° е Еп), тогда существует число с > 0, зависящее только от вектора z°, такое, что
lim Ак z°/(X*)k = cv* (к = 0,1,...),
к-¥ оо
где X* > 0 и v* > 0 (|v*| =1) соответственно число Перрона и правый вектор Перрона матрицы А (предельная теорема Фробениуса).
Квадратная матрица Р > 0 (* 0) называется стохастической, если сумма элементов каждой строки матрицы Р равна единице. Стохастическая матрица является частным случаем квадратной неотрицательной матрицы. Квадратная матрица Р> 0 (* 0) является стохастической тогда и только тогда, когда вектор (1,..., 1) является собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному числу, равному единице. Все собственные числа стохастической матрицы Рпо модулю не превосходят единицы.
Квадратная матрица Л > 0 (* 0) называется продуктивной, если существует вектор х > 0 (* 0), такой, что х > хА. Из последнего неравенства следует, что на самом деле вектор х > 0. Если матрица А является продуктивной, то матрица /- А невырожденная. Для того чтобы матрица А > 0 была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы матрица (/- Äf{ > 0 (ф 0). Если матрица А продуктивная, то lim Ак = 0 (А: = 0,1,...).
к-*+оо
П.5.3. Квадратная матрица с действительными элементами называется ортогональной, если А = А"1. Ортогональная матрица А обладает следующими свойствами: 1) матрица, обратная к ортогональной, является ортогональной; 2) 1= А А - АА (это сразу следует из определения А - А~1), откуда вытекает, что скалярные квадраты всех строк (столбцов) равны единице и скалярные произведения попарно различных строк (попарно различных столбцов) равны нулю, т.е. попарно различные строки (попарно различные
столбцы) ортогональны, их длины равны единице, и поэтому все строки (все столбцы) ортогональной матрицы могут быть взяты в качестве ортонормированного базиса в л-мерном пространстве Еп\ 3) длина (евклидова норма) вектора Ах равна длине вектора х, т.е. \Ах\ = \х\; 4) произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица; 5) определитель ортогональной матрицы равен ±1; 6) все собственные числа ортогональной матрицы по модулю равны единице.
П.5.4. Квадратная матрица В называется подобной квадратной матрицей, если существует невырожденная матрица Г, такая, что В- ТХАТ. Очевидно, из подобия В с А вытекает подобие Л с В9 ибо А = где 5= Тх. Каждая квадратная матрица подобна сама
себе; две матрицы, подобные третьей, подобны между собой. Приведем ряд свойств подобных матриц:
1) НГХАТ) = НА)\ 2) й О (Дх) < 0) при любых х е Ея, х ф 0. Для того чтобы симметрическая матрица Л (соответствующая ей квадратичная форма Дх)) была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были положительными (отрицательными). Другим необходимым и достаточным условием положительной (отрицательной) определенности симметрической матрицы А является выполнение неравенств йе1(Ак) > 0 ((-1)кйег(Ак) > 0), к= 1,2,..., л, где подматрицыАк= (а.р, /,./ = 1,..., к, симметричны относительно главной диагонали а{{9 ..., атт квадратной матрицы А Миноры (А^9 к= 1,..., л, называются последовательно повышающими порядок главными минорами матрицы (критерий Сильвестра).
Симметрическая матрица Л = (д/у.), = 1,..., л, называется неотрицательно (неположительно) определенной, если квадратичная форма
п
/\У=1
является неотрицательно (неположительно) определенной, т.е.Дх) > 0 (Дх) < 0) для любого х е Еп. Для того чтобы симметрическая матрица А (соответствующая ей квадратичная форма Дх)) была неотрицательно (неположительно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были неотрицательны (неположительны). Другим необходимым и достаточным условием неотрицательной (неположительной) определенности симметрической матрицы А является выполнение при к= 1,..., л неравенств > 0 ((-1)*ёе1(АГЛ)), где йе1(Мк) — глав
ные миноры матрицы А порядка к (т.е. определители всех подматриц Мк порядка к, симметричных относительно главной диагонали квадратной матрицы Л). В этом утверждении неотрицательности только последовательно повышающих порядок миноров й&(Ак)9 к= 1,л, квадратной матрицы А недостаточно.
называется нормой \А\ квадратной
2 К
матрицы А. Свойство нормы: 1) \А\ > 0, если А * 0 и \А\ = 0, если А = 0;
2) \А + 4 < И + № 3) М = |а|И; 4) И4 * И№ ИМ, И4
|х( — евклидовы нормы векторов Ах их соответственно.
Используются и другие определения нормы квадратных, а также и прямоугольных матриц:
П.5.6. Число \А\ = |
Известно, что если модуль \а\ числа а строго меньше единицы (т.е. \а\ < 1), то справедливо равенство (1 - а)'1 = 1 + а +а2 + ... + + в* + ... Аналогичное равенство имеет место и для квадратной матрицы А, норма которой строго меньше единицы (т.е. \А\ < 1): (/- А)~1 = 1 + А +А2 + ... + А* + ... Последнее равенство находит | широкое применение в анализе межотраслевых моделей, в которых А — матрица коэффициентов прямых материальных затрат, а (/- А)"1 — матрица коэффициентов полных материальных затрат.
Еще по теме П 5. Основные результаты теории квадратных матриц:
- 9.4. Основные теории мотивации
- 52. ОСНОВНЫЕ ТЕОРИИ ВОСПИТАНИЯ
- Четыре основных элемента из неоклассической экономической теории
- Поступление основных средств в результате строительства
- Основные предпосылки экономической теории
- Основные теории
- Основные теории
- 4. Основные принципы денежной теории
- Глава 1 ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ
- 5.2.1. Матрицы финансовых стратегий
- Лекция N 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
- 1.6. Основные этапы развития экономической теории
- Основные положения количественной теории и этапы ее эволюции.
- ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РЕАЛЬНЫХ ДЕЛОВЫХ ЦИКЛОВ
- Основные элементы научной политической теории.
- Основными задачами анализа финансовых результатов
- 75. ЭВОЛЮЦИЯ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДЕНЕГ. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ МОНЕТАРИЗМА