П 3. Матрицы и операции над матрицами
П.3.1. Матрица — прямоугольная таблица
действительных чисел а.„ /= 1,..., т\ і= 1,..., п. Такая таблица называется также матрицей с размерами т х п или (т х л)-матрицей.
л-мерный вектор д.= (д.р аіп) называется /- й строкой матрицы А,называетсяу'-м столбцом матрицы А.
VтП
Число ау называется элементом матрицы А: индекс / показывает номер строки, а индекс у — номер столбца, на пересечении которых находится элемент а .у Используется следующая символика: А = (а.) (или А = || а .р. Если т = п, то А называется квадратной матрицей, число п — ее порядком, а совокупность ди,..., апп элементов квадратной матрицы А — главной диагональю матрицы А.
(т х п) — матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Нулевая матрица обозначается символом 0. (1 х л)-матрица есть я-мерный вектор-строка, (т х 1)-матрица есть /я-мерный вектор-столбец, (1 х 1)-матрица есть число ап. л-мерный вектор-строку можно понимать как (1 х л)-матрицу, а /я-мерный вектор-столбец — как (т х 1)-матрицу.
а /я-мерный вектор а] = |
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры и если их соответствующие элементы равны. Равенство матриц А и В записывается так: А-В. Элементы матрицы переставлять нельзя, ибо после их перестановки может получиться, вообще говоря, новая матрица.
Для матриц определены операции сложения, умножения и умножения на числа.
Произведением матрицы А = (а.р на число а называется матрица, каждый элемент которой равен соответствующему элементу Ду матрицы А, умноженному на число а, т.е. аА = а (а..) = (ад..).
Матрицы можно складывать, если они имеют одинаковые размеры.
Суммой матриц А и В называется матрица С, каждый элемент е.. которой равен сумме соответствующих элементов а.. и Ь.. матриц Л и В: е.. = а.. + Непосредственно проверяется, что: 1)Л + Д=Я + Л;2)(Л + Д) + С=Л + (Я + С); 3)а(Л + Я) = аЛ + аЯ; 4) (а + р)Л = аА + р А; 5) афА) = (ар)Л. Здесь А, В, С— матрицы с размерами /их л, ааир — числа.Произведением двух прямоугольных матриц — (т х ^«матрицы Л на (л х />)-матрицу В - называется (/я х />)-матрица С, каждый элемент которой вычисляется по формуле
п
с1) = Ца'1кЬф ' = у = 1,...,/>.
*=1
Если число столбцов матрицы >4 не равно числу строк матрицы Ву произведение АВ не определяется. Непосредственно проверяется, что: 1) (АВ)С = А{ВС); 2) (А + В)С = АС+ ВС; 3) А(В + С) = = АВ + АС; 4) а(АВ) = (аА)В = А(аВ). Здесь матрицы А, В и С соответствующих размеров, а а — число.
Произведение двух квадратных матриц порядка л есть квадратная матрица порядка л. Если АиВ — квадратные матрицы, то, вообще говоря, АВ ф ВА.
Умножение (т х л)-матрицыЛ на л—мерный вектор-столбец х и умножение /и-мерного вектора-строки у на (т х л)-матрицу А выполняется по правилу умножения прямоугольных матриц, когда одна из них является (л х 1)-матрицей (т.е. л-мерным вектором- столбцом) или (1 х /я)-матрицей (т.е. /л-мерным вектором-стро- кой).
Произведение {т х л)-матрицы Л на л-мерный вектор-столбец х есть л!-мерный вектор-столбец, а произведение л!-мерного век- тора-строки у на (т х л)— матрицу А есть л-мерный вектор-строка. Очевидно, что Ах = х{а{ + ... + хпаР9 уА - у{а{ + ... + Утат, т.е. Ах — линейная комбинация столбцов матрицы А, ауА —линейная комбинация строк матрицы А.
50 - 7620
Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, обозначается символом Л и называется транспонированной по отношению к матрице А. Если х — вектор-строка, то очевидно У — вектор-столбец, и наоборот.
Легко проверяются свойства операции транспонирования: 1) (А)' = А; 2) (аЛ)' =аА'; 3) (А + В)' = -Л + В\4) (АВУ = В Л; 5) (Ах)'В математическом анализе экономических процессов существенное применение находят матрицы с неотрицательными элементами. Матрица А= (а.р /= 1,..., т;}= 1,..., л, называется неотрицательной, если все ее элементы неотрицательны (обозначение: А > 0). Матрица А = (а.р называется положительной, если все ее элементы положительны (обозначение: А > 0). Квадратная матрица М, такая, что т.. > 0 (т.. > 0), / * У, /,У = 1, ..., л, называется матрицей (строгой) Метцлера. Знаки диагональных элементов т / = 1,..., п, не регламентируются. Если матрицы А и В имеют одинаковые размеры, то пишут А> В, А> В в зависимости от того, неотрицательна или положительна разность А - В. Множество всех матриц с одинаковыми размерами тхп частично упорядочено соотношением >. Положение здесь такое же, как и в случае множества всех л-мерных векторов.
П.3.2. Пусть А — матрица с размерами тх п. Ранг матрицы А обозначается символом р(А) и равен максимальному числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы Л, таким образом, всегда р(А) < шт(/я, п). Если А = 0, то р(А) = 0, в противном случае р (А) > 1. Очевидно, р (А) = р(Л'). Если произведение двух матриц определено, то ранг этого произведения не больше ранга любого из сомножителей, т.е. р(АВ) < тт{р(4), р(В)}. Ранг суммы двух матриц не больше суммы рангов слагаемых, т.е. р (А + В) <
Еще по теме П 3. Матрицы и операции над матрицами:
- Недостаток данной матрицы
- 5.2.1. Матрицы финансовых стратегий
- Матрица БКГ
- 5.2. Матрица Бостонской консультационной группы
- Классическая матрица БКГ
- Матрица фирмы Arthur D. Little (ADL/LC)
- 5.3. Матрицы McKincey — General Electric и фирмы Arthur D. Little
- Глава 1 Междисциплинарная матрица социологии
- Матрица «Мак-Кинси»
- Модифицированная матрица БКГ
- МАТРИЦА МАСТЕРА В ДЕЙСТВИИ
- 5.4. Матрица Ансоффа и трехмерная схема Абеля
- Бостонская матрица для анализа рынка и продуктов
- Концептуальная матрица управления персоналом
- Глава 2 Внутридисципнарная матрица социологии
- Матрица аутсорсинга
- Трехмерная матрица «Конкурентный статус фирмы — Привлекательность СЗХ».
- Маркетинговая стратегическая матрица