<<
>>

П 8. Функции выпуклые» вогнутые, квазивогнутые, псевдовогнутые

П.8.1. Выпуклая функция — функция, графиком которой являет­ся выпуклая кривая (поверхность). Функция Дх), определенная на выпуклом множестве М пространства Ел% называется выпуклой (выпуклой вниз) на М9 если для любых векторов (точек) х° и х1, принадлежащих М9 и для любого числа X (0 > X > 1) справедливо неравенство

Д( 1 - Х)х° + Ах1) < (1 - ХЖх°) + АДх1).

(П.8.1) Например, функции Дх) = аххх -I- ... + агрп (линейная форма), f(x) = Jtj2 + ... + * ' (неотрицательно определенная квадратичная форма) выпуклы на всем пространстве Ея% функция Дх) = 1пх{ вы­пукла на полупространстве Xj > 0 пространства Ея. Если функция Дх) выпукла на множестве М9 то она выпукла на любом выпуклом подмножестве множества М. График выпуклой функции Дх) рас­положен ниже (точнее — не выше) любой своей хорды (рис. П. 17).

Если функция Дх) выпукла на выпуклом множестве Мс Еп, то множество {х|х G М9Дх) < b} выпукло (если оно не пусто).

Пусть Дх) дифференцируема и выпукла на Ея, пусть ее градиент

V вХ\ вХП )

тогда (п - 1)-мерная плоскость

/=1

Э /Yx° ^

{fx (*°) =—) в пространстве Е будет касательной к поверх-

' dxi

ности уровняДх) =Дх°) в точке х° и опорной к выпуклому множест­ву {х|хе Еп9Дх) 0 (i = 1,..., к)9 то функция

Рис. П17

/=1

выпукла на множестве М. Функция Дх), выпуклая на множестве М, непрерывна в каждой внутренней (и относительно внутрен­ней) точке множества М.

Отсюда следует, что функция Дх), вы­пуклая на открытом множестве М, непрерывна на этом множест­ве. Функция Дх), выпуклая на множестве Л/, которое не является открытым, может иметь точки разрыва, и эти точки обязательно принадлежат границе множества М.

Выпуклая функция может быть недифференцируемой даже во внутренних точках множества М. Пусть функцияДх) дифферен­цируема на открытом выпуклом множестве М. Для того чтобы эта функция была выпуклой на множестве Л/, необходимо и доста­точно, чтобы для любых векторов (точек) х° и х из множества М выполнялось неравенство

/=1

Это неравенство означает, что график выпуклой дифференци­руемой функции Дх) расположен выше (точнее — не ниже) любой своей касательной плоскости К:

^ = /(х0)+ХД(х0)(х/0), /=1

т.е. любая касательная плоскость к графику выпуклой дифферен­цируемой функцииДх) является опорной для надграфика .Тэтой функции (рис. П. 18).

Пусть функция Дх) имеет все непрерывные вторые частные производные на открытом выпуклом множестве М с Еп. Для того чтобы эта функция была выпуклой на множестве Л/, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма

/,7=1

{/ХХ] (х) - была неотрицательно определенной на мно­

жестве М, т.е. чтобы для любых векторовхе Ми£ = (£р ...,£Л)е Ел квадратичная форма была неотрицательной. Критерий неотрица­тельной определенности приведен в параграфе П5.

Выпуклая на множестве М с Еп функция Дх) может не иметь локального (и следовательно, глобального) минимума (например, если М— открытое выпуклое множество, а функцияДх) = аххх +...+ + а^сл, где ах + ... + а2 > 0). Если функцияДх) выпукла на мно­жестве М и если она имеет локальный минимум на множестве М, то этот минимум обязательно является глобальным. Таким обра­зом, задача минимизации выпуклой функции на выпуклом мно­жестве является одноэкстремальной (если она имеет решение).

Множество точек из Af, в которых выпуклая функция Дх) имеет глобальный минимум, есть выпуклое множество.

Если функция Дх) выпукла на множестве Af с Еп, дифференцируема в точке х° е Ми если/(х°) = О, то х° — точка глобального минимума функции Дх) на множестве Af. Если выпуклая функция Дх) имеет на огра­ниченном замкнутом множестве Af глобальный максимум, то этот максимум достигается в одной (или более) крайней точке этого множества. Локальные максимумы этой функции также достига­ются в крайних точках множества М, однако они не обязательно будут глобальными, т.е. задача максимизации выпуклой функции на замкнутом ограниченном выпуклом множестве является мно­гоэкстремальной (если она имеет решение).

Выпуклая функция называется строго выпуклой на множестве Af с Еп, если для любого числа Х(0Дх°) следует нера­венство ДХх + (1 - А,)х° >Дх°) для любых векторов х, х° е Л/и лю­бого числа X е (0; 1).

Функция Дх) квазивогнута строго на выпуклом множестве М с Еп, если из неравенства Дх) >Дх°) следует неравенство ДХх + + (1 - А,)х°) > Дх°) для любых векторов х * х° из М и любого числа Хе (0; 1).

Функция -Дх) квазивыпукла (квазивыпукла строго) на выпук­лом множестве Л/с Еп, если функция Дх) квазивогнута (квазиво- гнута строго) на выпуклом множестве М с

Свойства квазивогнутых и квазивыпуклых функций: 1) если функция Дх) вогнута (выпукла вверх), тоДх) квазиво­гнута; 2) если функция Дх) выпукла (выпукла вниз), тоДх) квази­выпукла; 3) еслиДх) (хе Мс Ех) возрастает или убывает, тоДх) квазивогнута или квазивыпукла; 4) сумма квазивогнутых функций не обязательно квазивогнутая функция (/|(х)=х3 и/2(х) = -х — ква­зивогнутые функции, однако функция /^х) = х3 - х не обладает этим свойством); 5) сумма квазивыпуклых функций не обязатель­но квазивыпуклая функция; 6) если функция Дх) (х 0, х е К с Еп (К— выпуклый конус) однородна степени 1 и квазивогнута на К, то функция Дх) вогнута на К; 8) функция Дх), непрерывная и име­ющая непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, квазивогнута на открытом выпуклом множест­ве М с Еп тогда и только тогда, когда из неравенства Дх) >Дх°) следует неравенство gradДx0)(x - х°) > 0 для любых х и х°из Мс Еп.

Пусть
0 Э/(х) Эх, Э/(х) дхг
Э/(х) Эх, д2Дх) Эх,2 Э2/(х) Эх^Эхг
Э/(х) дхг Э2/(х) ЭхгЭх, Э2/(х) Эх2

Пусть функция Дх) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включи­тельно; 9) если функция Дх) квазивогнута на открытом выпуклом множестве М с Еп, то

(-1)гСДх) > 0, г=1,...,/*,

для любых х е М (необходимые условия квазивогнутости); 10)если(-1)гг(х) >0приг= 1,лдлялюбыххе М(^Еп (М— от­крытое выпуклое множество), то функция Дх) квазивогнута на множестве М (достаточные условия квазивогнутости); 11) если функция Дх) квазивыпукла на открытом выпуклом множестве Л/с Еп, то

Сг(х)

<< | >>
Источник: Черемных Ю.Н.. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. - М.: ИНФРА-М, - 844 с.. 2008

Еще по теме П 8. Функции выпуклые» вогнутые, квазивогнутые, псевдовогнутые:

  1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  2. III Естественная оборонительная реакция всякого живого существа; фазы оборонительной реакции человека и органы, эту реакцию выполняющие. — Этический характер воздающего правосудия как функции, отдельной от оборонительной функции. — Эта функция не зависит от какого бы то ни было критерия свободы или нравственной вины.
  3. Производственная функция и функция издержек
  4. 3.1. Функции организации и функции управления
  5. 69. ФУНКЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ФУНКЦИЯ СБЕРЕЖЕНИЯ
  6. 5.4. Оценка средств и организации в выполнении персоналом своих функций. Методы оценки организации и окружения функции персонал-менеджмента
  7. 2.2. Функции финансов. Дискуссионные вопросы сущности и функций финансов
  8. Финансы: понятие, сущность, функции Социально-экономическая сущность и функции финансов
  9. 1.3. ФУНКЦИИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
  10. 159. Функции страхования
  11. Функции риска
  12. Функции кредита
  13. Функции денег
  14. 1.2. Функции денег
  15. 1.2.Функции денег
  16. Функция планирования
  17. 5. Функции финансов
  18. 2. ФУНКЦИИ НАЛОГОВ
  19. 1.6. Функции налога
  20. § 2. функции налогов и сборов