П 8. Функции выпуклые» вогнутые, квазивогнутые, псевдовогнутые
Д( 1 - Х)х° + Ах1) < (1 - ХЖх°) + АДх1).
(П.8.1) Например, функции Дх) = аххх -I- ... + агрп (линейная форма), f(x) = Jtj2 + ... + * ' (неотрицательно определенная квадратичная форма) выпуклы на всем пространстве Ея% функция Дх) = 1пх{ выпукла на полупространстве Xj > 0 пространства Ея. Если функция Дх) выпукла на множестве М9 то она выпукла на любом выпуклом подмножестве множества М. График выпуклой функции Дх) расположен ниже (точнее — не выше) любой своей хорды (рис. П. 17).Если функция Дх) выпукла на выпуклом множестве Мс Еп, то множество {х|х G М9Дх) < b} выпукло (если оно не пусто).
Пусть Дх) дифференцируема и выпукла на Ея, пусть ее градиентV вХ\ вХП )
тогда (п - 1)-мерная плоскость
/=1
Э /Yx° ^
{fx (*°) =—) в пространстве Е будет касательной к поверх-
' dxi
ности уровняДх) =Дх°) в точке х° и опорной к выпуклому множеству {х|хе Еп9Дх) 0 (i = 1,..., к)9 то функция
Рис. П17 |
/=1
выпукла на множестве М. Функция Дх), выпуклая на множестве М, непрерывна в каждой внутренней (и относительно внутренней) точке множества М.
Отсюда следует, что функция Дх), выпуклая на открытом множестве М, непрерывна на этом множестве. Функция Дх), выпуклая на множестве Л/, которое не является открытым, может иметь точки разрыва, и эти точки обязательно принадлежат границе множества М.Выпуклая функция может быть недифференцируемой даже во внутренних точках множества М. Пусть функцияДх) дифференцируема на открытом выпуклом множестве М. Для того чтобы эта функция была выпуклой на множестве Л/, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов (точек) х° и х из множества М выполнялось неравенство
/=1
Это неравенство означает, что график выпуклой дифференцируемой функции Дх) расположен выше (точнее — не ниже) любой своей касательной плоскости К:
^ = /(х0)+ХД(х0)(х/~х0), /=1
т.е. любая касательная плоскость к графику выпуклой дифференцируемой функцииДх) является опорной для надграфика .Тэтой функции (рис. П. 18).
Пусть функция Дх) имеет все непрерывные вторые частные производные на открытом выпуклом множестве М с Еп. Для того чтобы эта функция была выпуклой на множестве Л/, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма
/,7=1
{/ХХ] (х) - была неотрицательно определенной на мно
жестве М, т.е. чтобы для любых векторовхе Ми£ = (£р ...,£Л)е Ел квадратичная форма была неотрицательной. Критерий неотрицательной определенности приведен в параграфе П5.
Выпуклая на множестве М с Еп функция Дх) может не иметь локального (и следовательно, глобального) минимума (например, если М— открытое выпуклое множество, а функцияДх) = аххх +...+ + а^сл, где ах + ... + а2 > 0). Если функцияДх) выпукла на множестве М и если она имеет локальный минимум на множестве М, то этот минимум обязательно является глобальным. Таким образом, задача минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве является одноэкстремальной (если она имеет решение).
Множество точек из Af, в которых выпуклая функция Дх) имеет глобальный минимум, есть выпуклое множество.
Если функция Дх) выпукла на множестве Af с Еп, дифференцируема в точке х° е Ми если/(х°) = О, то х° — точка глобального минимума функции Дх) на множестве Af. Если выпуклая функция Дх) имеет на ограниченном замкнутом множестве Af глобальный максимум, то этот максимум достигается в одной (или более) крайней точке этого множества. Локальные максимумы этой функции также достигаются в крайних точках множества М, однако они не обязательно будут глобальными, т.е. задача максимизации выпуклой функции на замкнутом ограниченном выпуклом множестве является многоэкстремальной (если она имеет решение).Выпуклая функция называется строго выпуклой на множестве Af с Еп, если для любого числа Х(0Дх°) следует неравенство ДХх + (1 - А,)х° >Дх°) для любых векторов х, х° е Л/и любого числа X е (0; 1).
Функция Дх) квазивогнута строго на выпуклом множестве М с Еп, если из неравенства Дх) >Дх°) следует неравенство ДХх + + (1 - А,)х°) > Дх°) для любых векторов х * х° из М и любого числа Хе (0; 1).
Функция -Дх) квазивыпукла (квазивыпукла строго) на выпуклом множестве Л/с Еп, если функция Дх) квазивогнута (квазиво- гнута строго) на выпуклом множестве М с
Свойства квазивогнутых и квазивыпуклых функций: 1) если функция Дх) вогнута (выпукла вверх), тоДх) квазивогнута; 2) если функция Дх) выпукла (выпукла вниз), тоДх) квазивыпукла; 3) еслиДх) (хе Мс Ех) возрастает или убывает, тоДх) квазивогнута или квазивыпукла; 4) сумма квазивогнутых функций не обязательно квазивогнутая функция (/|(х)=х3 и/2(х) = -х — квазивогнутые функции, однако функция /^х) = х3 - х не обладает этим свойством); 5) сумма квазивыпуклых функций не обязательно квазивыпуклая функция; 6) если функция Дх) (х 0, х е К с Еп (К— выпуклый конус) однородна степени 1 и квазивогнута на К, то функция Дх) вогнута на К; 8) функция Дх), непрерывная и имеющая непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным, квазивогнута на открытом выпуклом множестве М с Еп тогда и только тогда, когда из неравенства Дх) >Дх°) следует неравенство gradДx0)(x - х°) > 0 для любых х и х°из Мс Еп.
Пусть0 | Э/(х) Эх, | Э/(х) дхг | |
Э/(х) Эх, | д2Дх) Эх,2 | Э2/(х) Эх^Эхг | |
Э/(х) дхг | Э2/(х) ЭхгЭх, | Э2/(х) Эх2 |
Пусть функция Дх) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно; 9) если функция Дх) квазивогнута на открытом выпуклом множестве М с Еп, то
(-1)гСДх) > 0, г=1,...,/*,
для любых х е М (необходимые условия квазивогнутости); 10)если(-1)г(гг(х) >0приг= 1,лдлялюбыххе М(^Еп (М— открытое выпуклое множество), то функция Дх) квазивогнута на множестве М (достаточные условия квазивогнутости); 11) если функция Дх) квазивыпукла на открытом выпуклом множестве Л/с Еп, то
Сг(х)
Еще по теме П 8. Функции выпуклые» вогнутые, квазивогнутые, псевдовогнутые:
- ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
- III Естественная оборонительная реакция всякого живого существа; фазы оборонительной реакции человека и органы, эту реакцию выполняющие. — Этический характер воздающего правосудия как функции, отдельной от оборонительной функции. — Эта функция не зависит от какого бы то ни было критерия свободы или нравственной вины.
- Производственная функция и функция издержек
- 3.1. Функции организации и функции управления
- 69. ФУНКЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ФУНКЦИЯ СБЕРЕЖЕНИЯ
- 5.4. Оценка средств и организации в выполнении персоналом своих функций. Методы оценки организации и окружения функции персонал-менеджмента
- 2.2. Функции финансов. Дискуссионные вопросы сущности и функций финансов
- Финансы: понятие, сущность, функции Социально-экономическая сущность и функции финансов
- 1.3. ФУНКЦИИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА
- 159. Функции страхования
- Функции риска
- Функции кредита
- Функции денег
- 1.2. Функции денег
- 1.2.Функции денег
- Функция планирования
- 5. Функции финансов
- 2. ФУНКЦИИ НАЛОГОВ
- 1.6. Функции налога
- § 2. функции налогов и сборов