<<
>>

9.7. Динамические игры с совершенной и несовершенной информацией

9.7.1. В динамической игре игроки делают свои ходы (т.е. прини­мают решения о своих действиях) поочередно. Если каждый иг­рок, делая ход, знает, какие ходы были сделаны до него, то такая динамическая игра называется игрой с совершенной информацией.
В противном случае игра называется игрой с несовершенной инфор­мацией (уточнение дается ниже).

В качестве примера динамической игры с совершенной ин­формацией рассмотрим хорошо известную игру, которую называ­ют «Вхождение фирмы на рынок». Отметим, что в изложении разных авторов фигурируют разные условные цифры.

Пример 9.7.1 (Вхождение фирмы на рынок)

В отрасли функционирует фирма-монополист (/*2), и в эту от­расль пытается войти другая фирма (Гх) и потеснить на рынке от­расли фирму-монополиста Рг Фирма Рх (игрок Рх) имеет два воз­можных хода (два варианта принятия решения о своих действиях): вступить (В) в отрасль (в частности, построить завод по выпуску продукции) или не вступить (НВ) в отрасль.

Фирма Р2 (игрок Р2) имеет два своих возможных хода: сохранить (С) объем выпуска­емой продукции или сократить (СКР) объем выпускаемой продук­ции. Ходы фирмы делают поочередно: сначала ход делает фирма Рх, потом ход делает фирма Р2, и на этом игра заканчивается.

Если фирма Рх приняла решение В в отрасль, а фирма при­няла решение С объем выпускаемой продукции, то, естественно, объем предложения в отрасли вырастет и цена на продукцию упа­дет. В этой ситуации весьма вероятно, что фирма-новичок Рх по­лучит вообще отрицательную прибыль, а прибыль фирмы Р2 оста­нется положительной, но меньше максимальной (равной 14). Итак, в этом случае расклад прибылей фирм Рх и Р2 будет, напри­мер, таким (—3; 6).

Если фирма Рх приняла решение В в отрасль, а фирма при­няла решение СКР объем выпускаемой продукции, т.е. уступила часть (возможно, половину) рынка фирме Р{9 то расклад прибы­лей фирм Рх и Р2 будет таким: (7; 7).

Если фирма Рх приняла решение НВ в отрасль, а фирма Р2 приняла решение С объем выпускаемой продукции, то, естест­венно, фирма Рх в отрасли прибыли не получит, а у фирмы Р2 бу­дет максимальная монопольная прибыль, равная 14 (например, 14 млрд руб.). Таким образом, описанная последовательность хо­дов НВ — С приводит к следующему набору выигрышей игроков Рх и Р2 соответственно (к набору прибылей фирм Рх и Р2): (0; 14).

Если фирма Рх приняла решение НВ в отрасль, а фирма приняла решение СКР объем выпускаемой продукции, то эта по­следовательность ходов НВ — СКР приводит к следующему набо­ру прибылей фирм Р{ и Р2: (0; 8). Отметим, что причин и поводов СКР объема выпускаемой фирмой продукции может быть до­статочно много, например в связи с ухудшением конъюнктуры в данной отрасли (поэтому фирма Рх решила НВ, а фирма Р2 реши­ла СКР объем производства).

Динамическая игра, описывающая данную содержательную за­дачу, представляет собой математическую модель этой содержатель­ной задачи и называется игрой «Вхождение фирмы на рынок».

Изобразим динамическую игру в виде графа (рис. 9.8), кото­рый называется деревом игры.

Представление игры в виде дерева является развернутой (рас­ширенной, экстенсивной) формой игры.

Развернутая форма динамической игры с совершенной ин­формацией включает:

1) дерево игры, которое имеет единственную начальную вер­шину (позицию), в котором каждая вершина (позиция) имеет только одну вершину (позицию), которая ей предшествует;

2) множество игроков;

3) единственную дугу, которая соединяет любую вершину (кроме начальной) с той единственной вершиной, которая ей не­посредственно предшествует;

4) конечные вершины, которые не предшествуют другим вер­шинам и которые содержат векторы выигрышей всех игроков.

В каждой вершине дерева (т.е. в кружке) на рис. 9.8 указан иг­рок, делающий ход из этой вершины (принимающий решение о своих действиях). В квадратных скобках находятся номера вер­шин. Дуга изображает сам ход. Дуга имеет направление от верши­ны предшествующей к вершине, за ней следующей. В частности, дуга (В), которая соединяет вершины Ш и [2], показывает, что иг­рок Рх (фирма Р{) делает свой ход (принимает решение В в от­расль). Вершина с номером Щ, куда упирается дуга (В), означает, что теперь решение будет принимать игрок Р2 (фирма Р2), кото­рый может сделать ход С (сохранить объем выпускаемой продук­ции) или сделать ход СКР (сократить объем выпускаемой продук-

ции). После хода игрока Р2 (фирмы Р2) игра заканчивается. Кон­цом каждой последней (из четырех) дуги является конечная (висячая) вершина, в каждой из которых показаны прибыли фирм Рх и Р2 (выигрыши игроков Рх и Р2).

Отметим, что в рассматриваемом примере 9.7.1 начальная вер­шина — это вершина Д], вершины [Ц и [з] — вершины, которые следуют за вершиной щ.

Множество, состоящее из вершины Щ, называется множест­вом очередности фирмы Рх (игрока Рх); множество, состоящее из вершин [2] и[з], называется множеством очередности фирмы Р2 (игрока Р2). Остальные четыре вершины образуют множество ко­нечных вершин. В каждой из них слева указана прибыль фирмы р{9 а справа — прибыль фирмы Р2 (т.е. слева указаны выигрыши игрока Рх, справа — выигрыши игрока Р2).

Последовательность ходов (действий), которые выбирают иг­роки Рх и Р2 в каждой из своих вершин, называется траекторией ходов (действий), т.е. траектория ходов начинается в начальной вершине и заканчивается в одной из конечных вершин.

Траекто­рия ходов, предпочитаемая остальным траекториям, называется решением динамической игры с совершенной информацией в предположении, что игроки ведут себя рационально.

Решение игры в развернутой форме можно найти методом об­ратной индукции, суть которого в том, что игра анализируется с ее конца, т.е. с конечных вершин.

Если фирма Р{ сделала ход (В), т.е. вступила в отрасль, то фирма Р2 сделает ход (СКР), т.е. сократит объем выпускаемой продукции, ибо прибыль, равная 7, больше прибыли, равной 6. Здесь формаль­но сравниваются вторые координаты векторов (—3; 6) и (7; 7), ибо анализируется фирма РТ Подчеркнем вектор (7; 7) на рис. 9.8.

Если фирма Рх сделала ход (НВ), т.е. решила не вступать в от­расль, то фирма Р2 сделает ход (С), т.е. сохранит объем выпуска­емой продукции, ибо 14 > 8. Здесь формально сравниваются вто­рые координаты векторов (0; 14) и (0; 8), ибо анализируется фирма Р2. Подчеркнем вектор (0; 14) на рис. 9.8.

Переходим к определению первого хода фирмы Р{. Для этого следует сравнить уже первые координаты двух подчеркнутых век­торов (7; 7) и (0; 14). В связи с тем что фирма Рх ведет себя рацио­нально, она сделает ход (В), ибо 7 > 0.

Таким образом, в предположении того, что оба игрока ведут себя рационально, метод обратной индукции, который только что был использован для построения решения игры в развернутой форме, состоит из двух этапов. Сначала сопоставляются прибыли фирмы путем сравнения вторых координат двух пар векторов прибылей: пары (—3; 6) и (7; 7) и пары (0; 14) и (0; 8). В результате мы получаем из двух пар векторов одну пару векторов (7; 7) и (0; 14), в которой сравниваем уже первые координаты 7 и 0. Реше­нием рассматриваемой игры является траектория, состоящая из двух ходов: хода (В), который делает фирма Р{ из вершины Щи который приводит в единственную вершину [Ц; из вершиныЩфирма затем делает ход (СКР), который приводит только в одну конеч­ную вершину с вектором прибылей (7; 7). В результате таких ходов вектор прибылей фирм Р{ и Р2 (вектор выигрышей игроков Р{ и Р2) есть вектор (7; 7).

Метод обратной индукции, продемонстрированный на при­мере 9.7.1, является общим методом решения конечных динами­ческих игр с совершенной информацией, имеющих развернутую форму, который позволяет получить хотя бы одно решение такой игры. Если дополнительно предположить, что выигрыши игроков во всех конечных вершинах различны, то такое решение (полу­ченное методом обратной индукции) будет единственным. Метод обратной индукции на дереве называется алгоритмом Куна (Кикп Н. (1953))

Отметим, что последовательность дуг дерева, такая, что вер­шина, которая является концом предыдущей дуги, — это начало следующей дуги, называется путем в дереве. Следовательно, тра­ектория ходов, которая исходит из начальной вершины и закан­чивается в одной из конечных вершин, является в дереве путем, исходящим из начальной вершины и достигающим какую-то одну из конечных (висячих) вершин. Этот путь принято называть пар­тией игры (динамической игры с совершенной информацией в развернутой форме). Траектория ходов (партия) однозначно реа­лизует набор вершин дерева игры, исходящий из начальной вер­шины и достигающий какую-то одну из конечных вершин в связи с тем, что в дереве из каждой предыдущей вершины по дуге, выхо­дящей из этой вершины, можно попасть только в единственную следующую за ней вершину. В примере 9.7.1 в качестве партии можно взять набор вершин Ш, [5], (—3;6); 0, [2], (7; 7); 0, Щ,

(0; 14); ОШ (0; 8).

Каждой вершине дерева, которое представляет динамическую игру с совершенной информацией, соответствует единственная предыстория, т.е. траектория ходОв, которая приходит из началь­ной вершины в данную.

Уточним термин «совершенная информация» в случае дина­мической игры, используя представление в развернутой форме. Совершенная информация означает, что каждый игрок знает всю предысторию игры или, используя представление динамической игры в виде дерева, каждый игрок знает, в какой вершине он на­ходится.

9.7.2. От развернутой формы динамической игры с совершенной информацией перейдем к представлению этой игры в нормальной форме, которая позволяет получать решение игры в виде равнове­сия Нэша.

Представление игры в нормальной форме состоит из: 1) зада­ния множества номеров игроков; 2) множества стратегий (чистых) для каждого игрока; 3) функции выигрыша каждого игрока.

Чистая стратегия игрока динамической модели с совершен­ной информацией в развернутой форме определяется так. Фикси­руются все вершины дерева, ходы из которых принадлежат опре­деленному игроку (каждый ход имеет один и тот же номер /). Для каждой фиксированной вершины из всех возможных ходов с но­мером / данного игрока выбирается любой, но обязательно един­ственный ход.

Далее берется совокупность этих выбранных единственных ходов по всем зафиксированным вершинам данного игрока, ко­торые соответствуют всем его ходам. Выбранная совокупность ходов и есть его чистая стратегия.

Поясним понятие чистой стратегии игрока и взаимосвязь по­нятий чистой стратегии и хода игрока в примере 9.7.2, который является продолжением примера 9.7.1.

Пример 9.7.2

Из одной вершины Ц] (см. рис. 9.8) первая фирма Р{ (т.е. иг­рок Р{) может сделать только два хода: ход (В) и ход (НВ), поэтому для фирмы Р{ имеем две чистые стратегии: стратегию (В) и страте­гию (НВ).

Вершины Ц] и [з] — это две вершины, из каждой фирма Р2 (иг­рок Р2) может сделать по два своих хода (после хода фирмы Р{).

27 - 7620

Если мы выберем какой-то ход фирмы из вершины [2] и какой- то ход фирмы из вершины [з], то эту пару ходов следует толко­вать в качестве чистой стратегии фирмы ¥т В связи с тем что из двух вершин ( [2] И [з]) по одному ходу из каждой вершины можно выбрать четырьмя способами, мы получаем четыре чистые страте­гии фирмы Р2 для нормальной формы динамической биматрич- ной игры с совершенной информацией.

(-3; 6)
(0; 14)

Первую чистую стратегию фирмы Рг построим путем выбора хода (С) из вершины [2] и хода (С) из вершины [з]. Эта чистая стра­тегия фирмы имеет следующее формальное представление:

[Ц (с>

1(С)

(В) (НВ)

Если фирма Р{ выбирает стратегию (В), т.е. она выбирает дугу, соединяющую вершины Щи [2], и фирма делает свой ход (С) из вершины [2], тогда дуга (С) дерева, выходящая из вершины [2], за­канчивается вектором (—3; 6) (см. рис. 9.8). Число -3 равно при­были (точнее, убытку) фирмы Рх (т.е. выигрышу (в данном случае проигрышу) игрока Р{)9 число 6 равно прибыли фирмы Р2 (т.е. выигрышу игрока Р2). Таким образом, пара чисел (-3; 6) есть не что иное, как элемент двойной матрицы биматричной игры. Остальные элементы этой двойной матрицы будут построены постепенно дальше.

Если фирма Р{ выбирает стратегию (НВ), т.е. она выбирает дугу, соединяющую вершины Ш и [з], и фирма Р2 делает свой ход (С) уже из вершины [з], тогда дуга (С) дерева, выходящая из вер­шины [з], заканчивается вектором (0; 14) (см. рис. 9.8). Число 0 равно прибыли фирмы Р{ (т.е. выигрышу игрока число 14 рав­но прибыли фирмы Рг (т.е. выигрышу игрока Р2). Следовательно, пара чисел (0; 14) есть следующий элемент двойной матрицы би­матричной игры.

Вторую чистую стратегию фирмы Р2 построим путем выбора хода (СКР) из вершины [2] и хода (СКР) из вершины [з]. Эта чис­тая стратегия фирмы имеет формальное представление

[Ц(СКР)

В (СКР)

(7;7)

(В) (НВ)

Пояснения этого представления аналогичны пояснениям первой чистой стратегии фирмы /*2 и поэтому здесь не приво­дятся.

Третью чистую стратегию фирмы построим путем выбора хода (С) из вершины [2] и хода (СКР) из вершины Щ. Четвертую чистую стратегию фирмы Р2 построим путем выбора хода (СКР) из вершины [2] и хода (С) из вершины [2]. Формально третья и чет­вертая чистые стратегии фирмы Р2 соответственно имеют вид

Икс) ш (скр)
Иксы») 1(с)
(-3; 6) (7; 7)
(0; 8) (0; 14)
(В) (НВ)

Пояснения этих представлений аналогичны пояснениям пер­вой чистой стратегии и поэтому здесь не приводятся.

Отметим, что номера у этих четырех чистых стратегий фирмы Р2 можно было расставить иначе.

На этом заканчивается комплектование всех чистых стратегий фирмы ¥2у которая каждый раз выбирает свои ходы после того, как свой ход сделает фирма Ру Основанием для такого заверше­ния является осуществление полного перебора всех пар возмож­ных ходов фирмы Р2, когда фирма Р2 один ход делает из вершины [Ц, а другой — из вершины [з].

Сведем чистые стратегии фирм Р{ и Р2 в табл. 9.10, содержа­щую двойную матрицу биматричной игры с матрицами 2x4.

Матрица А выигрышей игрока Р{ (фирмы и матрица выиг­рышей игрока Р2 (фирмы Р2) соответственно имеют вид

,'-37-37^ „ (6 76 7 0 0 0 0/ ~1^148814>

Таблица 9.10
Чистые стратегии фирмы
(і)[Ц(С) (2) Щ(СКР) (3)0 (С) (4) [Ц(СКР)
Ш(С) і (СКР) 1(СКР) і (С)
Чистые страте­ (В) (-3; 6) (7; 7) (-3; 6) (7; 7)
гии фирмы (НВ) (б; И) (0;8) (б; 8) (б; 14)

Напомним (см. параграф 9.4), что первой (В) чистой стратеги­ей фирмы является также вектор ех — (1; 0), второй (НВ) чистой стратегией фирмы - вектор е2 = (0; 1), первой чистой стратеги­ей фирмы Р2 — вектор/, = (1; 0; 0; 0), второй чистой стратегией фирмы — вектор/2 = (0; 1; 0; 0), третьей чистой стратегией фир­мы Е2 — вектор/3 = (0; 0; 1; 0), четвертой чистой стратегией фирмы ^2-вектор/4 = (0; 0; 0; 1).

Построение двойной матрицы табл. 9.10 представляет собой результат перехода от игры в развернутой форме к игре в нормаль­ной форме. Это главное формальное обстоятельство. Менее важ­но здесь то, что речь идет о динамической игре с совершенной информацией.

В двойной матрице (А\В) табл. 9.10 расставим «птички» и «шляпки» и получим три равновесия Нэша в чистых стратегиях биматричной игры С1(А, В) с выписанной в табл. 9.10 двойной мат­рицей (А\В):

2;/{), (ех;/2), (ех\/А).

9.7.3. Как уже отмечалось, в результате использования метода обратной индукции (см. пример 9.7.1) было получено на основа­нии предпосылки о рациональном поведении фирм и реше­ние динамической игры с совершенной информацией в виде тра­ектории ходов (В) и (СКР) с вектором прибылей фирм Рх и /2, равным (7; 7).

Проанализируем связь между решением динамической игры с совершенной информацией, полученным методом обратной ин­дукции, и тремя равновесиями Нэша.

Равновесие Нэша интерпретируется следующим обра­

зом. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (С), если фирма Рх делает ход (НВ), то фирма Р2 делает ход (С) (см. рис. 9.8). Последовательность ходов (В) и (С) противоречит предпосылке о рациональном поведении фирм Рх и Р2, ибо после хода (В) фирмы Рх фирма Р2 на основании предпосылки о ее рациональном пове­дении должна сделать ход (СКР), ибо прибыль фирмы Р2, рав­ная 6, меньше прибыли фирмы Р2, равной 7.

Противоречие предпосылке рациональности означает, что траектория ходов (В) и (С) не может быть получена методом об­ратной индукции, который опирается на предпосылку о рацио­нальном поведении фирм Рх и Гг Таким образом, равновесие Нэша (е2;/х) оказывается «лишним».

Равновесие Нэша (е2;/х) интерпретируется следующим обра­зом. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (СКР), что соответствует предпосылке о рациональном поведении фир­мы /*2 (прибыль фирмы Р2, равная 7, больше прибыли фирмы Р2, равной 6, - см. рис. 9.8). Если фирма Р{ делает ход (НВ), то фирма Р2 делает ход (СКР), что противоречит предпосылке о рациональ­ном поведении фирмы Р2, ибо после хода (НВ) фирмы Рх фирма Р2 должна сделать ход (С) в связи с тем, что прибыль фирмы Р2, рав­ная 8, меньше прибыли фирмы Р2, равной 14. Поэтому траектория ходов (НВ) и (СКР) не может быть получена методом обратной индукции. Следовательно, равновесие Нэша (ех;/2) (как и равно­весие Нэша (ех;/х)) является «лишним».

Осталось рассмотреть равновесие Нэша (ех;/4), для которого мы имеем следующие утверждения. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (СКР). Если фирма Рх делает ход (НВ), то фирма /*2 делает ход (С). Обе траектории ходов ((В) и (СКР), (НВ) и (С)) вполне содержательно состоятельны и соответствуют пред­посылке о рациональном поведении фирм Рх и Р2.

Таким образом, решение динамической игры с совершенной информацией в виде траектории ходов (В) и (СКР) соответствует равновесию Нэша (ех;/4) в чистых стратегиях, а по существу и есть равновесие Нэша (ех;/4) в чистых стратегиях.

Этот частный факт обобщается в виде следующей теоремы.

Теорема 9.7.7. Любое решение динамической игры с совер­шенной информацией (с конечным числом ходов), полученное методом обратной индукции, есть равновесие Нэша (в чистых

стратегиях).

Как показали только что приведенные рассуждения, обратное утверждение о том, что любое равновесие Нэша может быть полу­чено методом обратной индукции, является неверным.

Наличие «лишних» равновесий Нэша достаточно типично при представлении динамических игр в нормальной форме. «Лиш­ние» равновесия Нэша противоречат предпосылке о рациональ­ном поведении игроков Р{ и Р2 и поэтому могут дать смещенную оценку ожидаемому решению динамической игры с совершенной информацией.

9.7.4. Возникает вопрос о возможности элиминирования «лиш­них» равновесий Нэша. Элиминирование «лишних» равновесий Нэша называется рафинированием (от англ. refinement — усовер­шенствование, уточнение).

Прежде чем описать и проанализировать один из возможных подходов элиминирования «лишних» равновесий Нэша динами­ческой игры с совершенной информацией путем усиления поня­тия равновесия Нэша таких игр, сделаем одно замечание.

Замечание 9.7.7. С одной стороны, динамическая игра с совер­шенной информацией (с двумя игроками и с конечным числом ходов) может быть представлена в нормальной форме в виде двой­ной матрицы (А\В) (в примере 9.7.2 в виде двойной матрицы табл. 9.10). С другой стороны, двойная матрица (А\В) (в частности, матрица табл. 9.10) является нормальной формой биматричной игры, которая является частным случаем статической игры с пол­ной информацией (см. параграф 9.2). Таким образом, каждая двойная матрица (А\В) является представителем сразу двух игр: динамической (с совершенной информацией) и статической (с полной информацией). В статической игре с полной информаци­ей среди равновесий Нэша (найденных с помощью двойной мат­рицы) «лишних» не бывает. В динамической игре с совершенной информацией среди равновесий Нэша могут быть «лишние».

Приведем определение важного понятия подыгры игры с со­вершенной информацией в развернутой форме.

Определение 9.7.7. Подыгра игры с совершенной информацией в развернутой форме — эта игра в развернутой форме, которая со­держит в качестве начальной любую вершину дерева игры (кроме конечных вершин), а также все вершины дерева игры, следующие за этой выбранной в качестве начальной вершиной, вплоть до ко­нечных вершин игры. Сама игра называется полной игрой.

Выигрыши игроков, которые показаны в конечных вершинах подыгры, совпадают с выигрышами игроков в конечных верши­нах полной игры.

Собственная подыгра — это подыгра, начальная вершина кото­рой отлична от начальной вершины полной игры. Полная игра называется также своей несобственной подыгрой.

У динамической игры с совершенной информацией, пред­ставленной на рис. 9.8, есть три подыгры: сама игра с начальной вершиной Ш и две ее собственные подыгры с начальными верши­нами Ш и ш.

Определение 9.7.2. Совершенным в подыграхравновесием называ­ется такой набор стратегий игроков, который является равновеси­ем Нэша в полной игре, а соответствующие части этого набора стратегий являются равновесиями Нэша во всех собственных по­дыграх полной игры.

Замечание 9.7.1. Понятие совершенного в подыграх равнове­сия было предложено германским экономистом Р. Зельтеном в работе Selten R. (1965).

Пример 9.7.3 (продолжение примеров 9.7.1 и 9.7.2). Предста­вим первую собственную подыгру с начальной вершиной [2] в нормальной форме.

Фирма Fx в этой подыгре не функционирует, а фирма F2 может сделать один из двух ходов (С) и (СКР). Двойная матрица рас­сматриваемой подыгры имеет вид

Ш (с) Ш (скр)
(-3; 6) (7; 7)

В этой двойной матрице имеет место одно равновесие Нэша /2) (здесь ех = (1), /2 = (0; 1)). Оно предписывает фирме /*2 в вер­шине [2] сделать ход (СКР). Для того чтобы равновесие Нэша в полной игре было совершенным в подыграх равновесием, необхо­димо, чтобы в вершине [2] фирма ¥г сделала ход (СКР). А равнове­сие Нэша (е2;/х) (здесь е2 = (0; 1), Л = (1; 0; 0; 0)) в полной игре предписывает фирме ¥г из вершины [2] сделать ход (С) (см. чистую стратегию (1) фирмы /2 в двойной матрице с размерами (2 х 4) в табл. 9.10). Следовательно, равновесие Нэша (е2;/г) полной игры не является совершенным в подыграх равновесием.

Равновесие Нэша (ех\/^ (здесьех - (1; 0), Л = (0; 0; 0; 1))впол" ной игре предписывает фирме из вершины Щ сделать ход (СКР) (см. чистую стратегию (4) фирмы Е2 в двойной матрице с размера­ми (2 х 4), т.е. равновесие Нэша (ех\/^ полной_игры содержит в качестве составной части равновесие Нэша (ёх; /2) подыгры с на­чальной вершиной [2]).

Представим вторую собственную подыгру с начальной верши­ной [з] в нормальной форме. Фирма Рх в этой подыгре не функци­онирует, а фирма Р2 может сделать один из двух ходов (С) и (СКР). Двойная матрица рассматриваемой подыгры имеет вид

Ш(С) 1(СКР)
(0; 14) (0; 8)

В этой двойной матрице имеет место одно равновесие Нэша

}\) (здесь ёх = (1), }х = (1; 0)). Оно предписывает фирме Р2 в вер­шине [Ц сделать ход (С). Для того чтобы равновесие Нэша в пол­ной игре было совершенным в подыграх равновесия, необходимо, чтобы в вершине [з] фирма Е2 сделала ход (С). А равновесие Нэша (ер/2) (здесь ех = (0; 1),/2 = (0; 1; 0; 0)) в полной игре предписыва­ет фирме Р2 из вершины @ сделать ход (СКР) (см. чистую страте­гию (2) фирмы /*2 в двойной матрице с размерами (2 х 4) в табл. 9.10). Следовательно, равновесие Нэша (ер/2) полной игры не является совершенным в подыграх равновесием.

Равновесие Нэша (ех;/4) (здесь ех = (1; 0),/4 = (0; 0; 0; 1)) в пол­ной игре предписывает фирме Е2 из вершины \з\ сделать ход (С), т.е. равновесие Нэша (ех;/4) полной игры содержит в качестве со­ставной части равновесие Нэша (ёх\ /х) подыгры с начальной вер­шиной [з].

Из того, что равновесие Нэша (ех;/4) в полной игре содержит в качестве составных частей равновесия Нэша обеих подыгр, сле­дует, что равновесие Нэша (ех;/4) есть совершенное в подыграх равновесие.

Таким образом, равновесие Нэша (ех;/4) полной игры (дина­мической игры с совершенной информацией), с одной стороны, получается методом обратной индукции и, с другой стороны, оно есть совершенное в подыграх равновесие, понятие которого уси­ливает и уточняет понятие равновесия Нэша.

Отмеченное обстоятельство является частным случаем общей теоремы о том, что в динамических играх с совершенной инфор­мацией и конечным числом ходов множество решений, получа­емых методом обратной индукции, совпадает с множеством со­вершенных в подыграх равновесий.

В связи с тем что метод обратной индукции может быть проще методов отыскания совершенных в подыграх равновесий (особен­но в случае, когда нормальные формы игр являются громоздки­ми), совершенные в подыграх равновесия следует отыскивать с помощью метода обратной индукции (который к тому же может иметь достаточно высокую степень наглядности).

9.7.5. Вернемся к табл. 9.10.
Чистые стратегии фирмы
о)Ш(С) (2)1
<< | >>

Еще по теме 9.7. Динамические игры с совершенной и несовершенной информацией:

  1. Методологические приемы составления статического и динамического баланса для различных пользователей информации
  2. 109. Рассмотрение заявлений о совершенных нотариальных действиях или об отказе в их совершении
  3. Несовершенная конкуренция
  4. МОДЕЛИ ОТКРЫТОЙ экономики С НЕСОВЕРШЕННОЙ МОБИЛЬНОСТЬЮ КАПИТАЛА
  5. Несовершенная конкуренция
  6. 7.3.Несовершенная конкуренция: сущность, типы, методы
  7. Ценообразование на рынке труда в условиях несовершенной конкуренции
  8. Несовершенная конкуренция
  9. МОДЕЛЬ ОТКРЫТОЙ ЭКОНОМИКИ С НЕСОВЕРШЕННОЙ МОБИЛЬНОСТЬЮ КАПИТАЛА (КРАТКОСРОЧНЫЙ АСПЕКТ)
  10. Динамические методы инвестиционных расчетов
  11. Деловые игры