9.7. Динамические игры с совершенной и несовершенной информацией
В качестве примера динамической игры с совершенной информацией рассмотрим хорошо известную игру, которую называют «Вхождение фирмы на рынок». Отметим, что в изложении разных авторов фигурируют разные условные цифры.
Пример 9.7.1 (Вхождение фирмы на рынок)
В отрасли функционирует фирма-монополист (/*2), и в эту отрасль пытается войти другая фирма (Гх) и потеснить на рынке отрасли фирму-монополиста Рг Фирма Рх (игрок Рх) имеет два возможных хода (два варианта принятия решения о своих действиях): вступить (В) в отрасль (в частности, построить завод по выпуску продукции) или не вступить (НВ) в отрасль.
Фирма Р2 (игрок Р2) имеет два своих возможных хода: сохранить (С) объем выпускаемой продукции или сократить (СКР) объем выпускаемой продукции. Ходы фирмы делают поочередно: сначала ход делает фирма Рх, потом ход делает фирма Р2, и на этом игра заканчивается.Если фирма Рх приняла решение В в отрасль, а фирма приняла решение С объем выпускаемой продукции, то, естественно, объем предложения в отрасли вырастет и цена на продукцию упадет. В этой ситуации весьма вероятно, что фирма-новичок Рх получит вообще отрицательную прибыль, а прибыль фирмы Р2 останется положительной, но меньше максимальной (равной 14). Итак, в этом случае расклад прибылей фирм Рх и Р2 будет, например, таким (—3; 6).
Если фирма Рх приняла решение В в отрасль, а фирма приняла решение СКР объем выпускаемой продукции, т.е. уступила часть (возможно, половину) рынка фирме Р{9 то расклад прибылей фирм Рх и Р2 будет таким: (7; 7).
Если фирма Рх приняла решение НВ в отрасль, а фирма Р2 приняла решение С объем выпускаемой продукции, то, естественно, фирма Рх в отрасли прибыли не получит, а у фирмы Р2 будет максимальная монопольная прибыль, равная 14 (например, 14 млрд руб.). Таким образом, описанная последовательность ходов НВ — С приводит к следующему набору выигрышей игроков Рх и Р2 соответственно (к набору прибылей фирм Рх и Р2): (0; 14).
Если фирма Рх приняла решение НВ в отрасль, а фирма приняла решение СКР объем выпускаемой продукции, то эта последовательность ходов НВ — СКР приводит к следующему набору прибылей фирм Р{ и Р2: (0; 8). Отметим, что причин и поводов СКР объема выпускаемой фирмой продукции может быть достаточно много, например в связи с ухудшением конъюнктуры в данной отрасли (поэтому фирма Рх решила НВ, а фирма Р2 решила СКР объем производства).
Динамическая игра, описывающая данную содержательную задачу, представляет собой математическую модель этой содержательной задачи и называется игрой «Вхождение фирмы на рынок».
Изобразим динамическую игру в виде графа (рис. 9.8), который называется деревом игры.
Представление игры в виде дерева является развернутой (расширенной, экстенсивной) формой игры.
Развернутая форма динамической игры с совершенной информацией включает:
1) дерево игры, которое имеет единственную начальную вершину (позицию), в котором каждая вершина (позиция) имеет только одну вершину (позицию), которая ей предшествует;
2) множество игроков;
3) единственную дугу, которая соединяет любую вершину (кроме начальной) с той единственной вершиной, которая ей непосредственно предшествует;
4) конечные вершины, которые не предшествуют другим вершинам и которые содержат векторы выигрышей всех игроков.
В каждой вершине дерева (т.е. в кружке) на рис. 9.8 указан игрок, делающий ход из этой вершины (принимающий решение о своих действиях). В квадратных скобках находятся номера вершин. Дуга изображает сам ход. Дуга имеет направление от вершины предшествующей к вершине, за ней следующей. В частности, дуга (В), которая соединяет вершины Ш и [2], показывает, что игрок Рх (фирма Р{) делает свой ход (принимает решение В в отрасль). Вершина с номером Щ, куда упирается дуга (В), означает, что теперь решение будет принимать игрок Р2 (фирма Р2), который может сделать ход С (сохранить объем выпускаемой продукции) или сделать ход СКР (сократить объем выпускаемой продук-
ции). После хода игрока Р2 (фирмы Р2) игра заканчивается. Концом каждой последней (из четырех) дуги является конечная (висячая) вершина, в каждой из которых показаны прибыли фирм Рх и Р2 (выигрыши игроков Рх и Р2).
Отметим, что в рассматриваемом примере 9.7.1 начальная вершина — это вершина Д], вершины [Ц и [з] — вершины, которые следуют за вершиной щ.
Множество, состоящее из вершины Щ, называется множеством очередности фирмы Рх (игрока Рх); множество, состоящее из вершин [2] и[з], называется множеством очередности фирмы Р2 (игрока Р2). Остальные четыре вершины образуют множество конечных вершин. В каждой из них слева указана прибыль фирмы р{9 а справа — прибыль фирмы Р2 (т.е. слева указаны выигрыши игрока Рх, справа — выигрыши игрока Р2).
Последовательность ходов (действий), которые выбирают игроки Рх и Р2 в каждой из своих вершин, называется траекторией ходов (действий), т.е. траектория ходов начинается в начальной вершине и заканчивается в одной из конечных вершин.
Траектория ходов, предпочитаемая остальным траекториям, называется решением динамической игры с совершенной информацией в предположении, что игроки ведут себя рационально.Решение игры в развернутой форме можно найти методом обратной индукции, суть которого в том, что игра анализируется с ее конца, т.е. с конечных вершин.
Если фирма Р{ сделала ход (В), т.е. вступила в отрасль, то фирма Р2 сделает ход (СКР), т.е. сократит объем выпускаемой продукции, ибо прибыль, равная 7, больше прибыли, равной 6. Здесь формально сравниваются вторые координаты векторов (—3; 6) и (7; 7), ибо анализируется фирма РТ Подчеркнем вектор (7; 7) на рис. 9.8.
Если фирма Рх сделала ход (НВ), т.е. решила не вступать в отрасль, то фирма Р2 сделает ход (С), т.е. сохранит объем выпускаемой продукции, ибо 14 > 8. Здесь формально сравниваются вторые координаты векторов (0; 14) и (0; 8), ибо анализируется фирма Р2. Подчеркнем вектор (0; 14) на рис. 9.8.
Переходим к определению первого хода фирмы Р{. Для этого следует сравнить уже первые координаты двух подчеркнутых векторов (7; 7) и (0; 14). В связи с тем что фирма Рх ведет себя рационально, она сделает ход (В), ибо 7 > 0.
Таким образом, в предположении того, что оба игрока ведут себя рационально, метод обратной индукции, который только что был использован для построения решения игры в развернутой форме, состоит из двух этапов. Сначала сопоставляются прибыли фирмы путем сравнения вторых координат двух пар векторов прибылей: пары (—3; 6) и (7; 7) и пары (0; 14) и (0; 8). В результате мы получаем из двух пар векторов одну пару векторов (7; 7) и (0; 14), в которой сравниваем уже первые координаты 7 и 0. Решением рассматриваемой игры является траектория, состоящая из двух ходов: хода (В), который делает фирма Р{ из вершины Щи который приводит в единственную вершину [Ц; из вершиныЩфирма затем делает ход (СКР), который приводит только в одну конечную вершину с вектором прибылей (7; 7). В результате таких ходов вектор прибылей фирм Р{ и Р2 (вектор выигрышей игроков Р{ и Р2) есть вектор (7; 7).
Метод обратной индукции, продемонстрированный на примере 9.7.1, является общим методом решения конечных динамических игр с совершенной информацией, имеющих развернутую форму, который позволяет получить хотя бы одно решение такой игры. Если дополнительно предположить, что выигрыши игроков во всех конечных вершинах различны, то такое решение (полученное методом обратной индукции) будет единственным. Метод обратной индукции на дереве называется алгоритмом Куна (Кикп Н. (1953))
Отметим, что последовательность дуг дерева, такая, что вершина, которая является концом предыдущей дуги, — это начало следующей дуги, называется путем в дереве. Следовательно, траектория ходов, которая исходит из начальной вершины и заканчивается в одной из конечных вершин, является в дереве путем, исходящим из начальной вершины и достигающим какую-то одну из конечных (висячих) вершин. Этот путь принято называть партией игры (динамической игры с совершенной информацией в развернутой форме). Траектория ходов (партия) однозначно реализует набор вершин дерева игры, исходящий из начальной вершины и достигающий какую-то одну из конечных вершин в связи с тем, что в дереве из каждой предыдущей вершины по дуге, выходящей из этой вершины, можно попасть только в единственную следующую за ней вершину. В примере 9.7.1 в качестве партии можно взять набор вершин Ш, [5], (—3;6); 0, [2], (7; 7); 0, Щ,
(0; 14); ОШ (0; 8).
Каждой вершине дерева, которое представляет динамическую игру с совершенной информацией, соответствует единственная предыстория, т.е. траектория ходОв, которая приходит из начальной вершины в данную.
Уточним термин «совершенная информация» в случае динамической игры, используя представление в развернутой форме. Совершенная информация означает, что каждый игрок знает всю предысторию игры или, используя представление динамической игры в виде дерева, каждый игрок знает, в какой вершине он находится.
9.7.2. От развернутой формы динамической игры с совершенной информацией перейдем к представлению этой игры в нормальной форме, которая позволяет получать решение игры в виде равновесия Нэша.
Представление игры в нормальной форме состоит из: 1) задания множества номеров игроков; 2) множества стратегий (чистых) для каждого игрока; 3) функции выигрыша каждого игрока.
Чистая стратегия игрока динамической модели с совершенной информацией в развернутой форме определяется так. Фиксируются все вершины дерева, ходы из которых принадлежат определенному игроку (каждый ход имеет один и тот же номер /). Для каждой фиксированной вершины из всех возможных ходов с номером / данного игрока выбирается любой, но обязательно единственный ход.
Далее берется совокупность этих выбранных единственных ходов по всем зафиксированным вершинам данного игрока, которые соответствуют всем его ходам. Выбранная совокупность ходов и есть его чистая стратегия.
Поясним понятие чистой стратегии игрока и взаимосвязь понятий чистой стратегии и хода игрока в примере 9.7.2, который является продолжением примера 9.7.1.
Пример 9.7.2
Из одной вершины Ц] (см. рис. 9.8) первая фирма Р{ (т.е. игрок Р{) может сделать только два хода: ход (В) и ход (НВ), поэтому для фирмы Р{ имеем две чистые стратегии: стратегию (В) и стратегию (НВ).
Вершины Ц] и [з] — это две вершины, из каждой фирма Р2 (игрок Р2) может сделать по два своих хода (после хода фирмы Р{).
27 - 7620
Если мы выберем какой-то ход фирмы из вершины [2] и какой- то ход фирмы из вершины [з], то эту пару ходов следует толковать в качестве чистой стратегии фирмы ¥т В связи с тем что из двух вершин ( [2] И [з]) по одному ходу из каждой вершины можно выбрать четырьмя способами, мы получаем четыре чистые стратегии фирмы Р2 для нормальной формы динамической биматрич- ной игры с совершенной информацией.
(-3; 6) |
(0; 14) |
Первую чистую стратегию фирмы Рг построим путем выбора хода (С) из вершины [2] и хода (С) из вершины [з]. Эта чистая стратегия фирмы имеет следующее формальное представление:
[Ц (с>
1(С)
(В) (НВ)
Если фирма Р{ выбирает стратегию (В), т.е. она выбирает дугу, соединяющую вершины Щи [2], и фирма делает свой ход (С) из вершины [2], тогда дуга (С) дерева, выходящая из вершины [2], заканчивается вектором (—3; 6) (см. рис. 9.8). Число -3 равно прибыли (точнее, убытку) фирмы Рх (т.е. выигрышу (в данном случае проигрышу) игрока Р{)9 число 6 равно прибыли фирмы Р2 (т.е. выигрышу игрока Р2). Таким образом, пара чисел (-3; 6) есть не что иное, как элемент двойной матрицы биматричной игры. Остальные элементы этой двойной матрицы будут построены постепенно дальше.
Если фирма Р{ выбирает стратегию (НВ), т.е. она выбирает дугу, соединяющую вершины Ш и [з], и фирма Р2 делает свой ход (С) уже из вершины [з], тогда дуга (С) дерева, выходящая из вершины [з], заканчивается вектором (0; 14) (см. рис. 9.8). Число 0 равно прибыли фирмы Р{ (т.е. выигрышу игрока число 14 равно прибыли фирмы Рг (т.е. выигрышу игрока Р2). Следовательно, пара чисел (0; 14) есть следующий элемент двойной матрицы биматричной игры.
Вторую чистую стратегию фирмы Р2 построим путем выбора хода (СКР) из вершины [2] и хода (СКР) из вершины [з]. Эта чистая стратегия фирмы имеет формальное представление
[Ц(СКР)
В (СКР)
(7;7)
(В) (НВ)
Пояснения этого представления аналогичны пояснениям первой чистой стратегии фирмы /*2 и поэтому здесь не приводятся.
Третью чистую стратегию фирмы построим путем выбора хода (С) из вершины [2] и хода (СКР) из вершины Щ. Четвертую чистую стратегию фирмы Р2 построим путем выбора хода (СКР) из вершины [2] и хода (С) из вершины [2]. Формально третья и четвертая чистые стратегии фирмы Р2 соответственно имеют вид
Икс) | ш (скр) |
Иксы») | 1(с) |
(-3; 6) | (7; 7) |
(0; 8) | (0; 14) |
(В) (НВ) |
Пояснения этих представлений аналогичны пояснениям первой чистой стратегии и поэтому здесь не приводятся.
Отметим, что номера у этих четырех чистых стратегий фирмы Р2 можно было расставить иначе.
На этом заканчивается комплектование всех чистых стратегий фирмы ¥2у которая каждый раз выбирает свои ходы после того, как свой ход сделает фирма Ру Основанием для такого завершения является осуществление полного перебора всех пар возможных ходов фирмы Р2, когда фирма Р2 один ход делает из вершины [Ц, а другой — из вершины [з].
Сведем чистые стратегии фирм Р{ и Р2 в табл. 9.10, содержащую двойную матрицу биматричной игры с матрицами 2x4.
Матрица А выигрышей игрока Р{ (фирмы и матрица выигрышей игрока Р2 (фирмы Р2) соответственно имеют вид
,'-37-37^ „ (6 76 7 0 0 0 0/ ~1^148814>
Таблица 9.10
|
Напомним (см. параграф 9.4), что первой (В) чистой стратегией фирмы является также вектор ех — (1; 0), второй (НВ) чистой стратегией фирмы - вектор е2 = (0; 1), первой чистой стратегией фирмы Р2 — вектор/, = (1; 0; 0; 0), второй чистой стратегией фирмы — вектор/2 = (0; 1; 0; 0), третьей чистой стратегией фирмы Е2 — вектор/3 = (0; 0; 1; 0), четвертой чистой стратегией фирмы ^2-вектор/4 = (0; 0; 0; 1).
Построение двойной матрицы табл. 9.10 представляет собой результат перехода от игры в развернутой форме к игре в нормальной форме. Это главное формальное обстоятельство. Менее важно здесь то, что речь идет о динамической игре с совершенной информацией.
В двойной матрице (А\В) табл. 9.10 расставим «птички» и «шляпки» и получим три равновесия Нэша в чистых стратегиях биматричной игры С1(А, В) с выписанной в табл. 9.10 двойной матрицей (А\В):
(е2;/{), (ех;/2), (ех\/А).
9.7.3. Как уже отмечалось, в результате использования метода обратной индукции (см. пример 9.7.1) было получено на основании предпосылки о рациональном поведении фирм и решение динамической игры с совершенной информацией в виде траектории ходов (В) и (СКР) с вектором прибылей фирм Рх и /2, равным (7; 7).
Проанализируем связь между решением динамической игры с совершенной информацией, полученным методом обратной индукции, и тремя равновесиями Нэша.
Равновесие Нэша интерпретируется следующим обра
зом. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (С), если фирма Рх делает ход (НВ), то фирма Р2 делает ход (С) (см. рис. 9.8). Последовательность ходов (В) и (С) противоречит предпосылке о рациональном поведении фирм Рх и Р2, ибо после хода (В) фирмы Рх фирма Р2 на основании предпосылки о ее рациональном поведении должна сделать ход (СКР), ибо прибыль фирмы Р2, равная 6, меньше прибыли фирмы Р2, равной 7.
Противоречие предпосылке рациональности означает, что траектория ходов (В) и (С) не может быть получена методом обратной индукции, который опирается на предпосылку о рациональном поведении фирм Рх и Гг Таким образом, равновесие Нэша (е2;/х) оказывается «лишним».
Равновесие Нэша (е2;/х) интерпретируется следующим образом. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (СКР), что соответствует предпосылке о рациональном поведении фирмы /*2 (прибыль фирмы Р2, равная 7, больше прибыли фирмы Р2, равной 6, - см. рис. 9.8). Если фирма Р{ делает ход (НВ), то фирма Р2 делает ход (СКР), что противоречит предпосылке о рациональном поведении фирмы Р2, ибо после хода (НВ) фирмы Рх фирма Р2 должна сделать ход (С) в связи с тем, что прибыль фирмы Р2, равная 8, меньше прибыли фирмы Р2, равной 14. Поэтому траектория ходов (НВ) и (СКР) не может быть получена методом обратной индукции. Следовательно, равновесие Нэша (ех;/2) (как и равновесие Нэша (ех;/х)) является «лишним».
Осталось рассмотреть равновесие Нэша (ех;/4), для которого мы имеем следующие утверждения. Если фирма Рх делает ход (В), то фирма Р2 делает ход (СКР). Если фирма Рх делает ход (НВ), то фирма /*2 делает ход (С). Обе траектории ходов ((В) и (СКР), (НВ) и (С)) вполне содержательно состоятельны и соответствуют предпосылке о рациональном поведении фирм Рх и Р2.
Таким образом, решение динамической игры с совершенной информацией в виде траектории ходов (В) и (СКР) соответствует равновесию Нэша (ех;/4) в чистых стратегиях, а по существу и есть равновесие Нэша (ех;/4) в чистых стратегиях.
Этот частный факт обобщается в виде следующей теоремы.
Теорема 9.7.7. Любое решение динамической игры с совершенной информацией (с конечным числом ходов), полученное методом обратной индукции, есть равновесие Нэша (в чистых
стратегиях).
Как показали только что приведенные рассуждения, обратное утверждение о том, что любое равновесие Нэша может быть получено методом обратной индукции, является неверным.
Наличие «лишних» равновесий Нэша достаточно типично при представлении динамических игр в нормальной форме. «Лишние» равновесия Нэша противоречат предпосылке о рациональном поведении игроков Р{ и Р2 и поэтому могут дать смещенную оценку ожидаемому решению динамической игры с совершенной информацией.
9.7.4. Возникает вопрос о возможности элиминирования «лишних» равновесий Нэша. Элиминирование «лишних» равновесий Нэша называется рафинированием (от англ. refinement — усовершенствование, уточнение).
Прежде чем описать и проанализировать один из возможных подходов элиминирования «лишних» равновесий Нэша динамической игры с совершенной информацией путем усиления понятия равновесия Нэша таких игр, сделаем одно замечание.
Замечание 9.7.7. С одной стороны, динамическая игра с совершенной информацией (с двумя игроками и с конечным числом ходов) может быть представлена в нормальной форме в виде двойной матрицы (А\В) (в примере 9.7.2 в виде двойной матрицы табл. 9.10). С другой стороны, двойная матрица (А\В) (в частности, матрица табл. 9.10) является нормальной формой биматричной игры, которая является частным случаем статической игры с полной информацией (см. параграф 9.2). Таким образом, каждая двойная матрица (А\В) является представителем сразу двух игр: динамической (с совершенной информацией) и статической (с полной информацией). В статической игре с полной информацией среди равновесий Нэша (найденных с помощью двойной матрицы) «лишних» не бывает. В динамической игре с совершенной информацией среди равновесий Нэша могут быть «лишние».
Приведем определение важного понятия подыгры игры с совершенной информацией в развернутой форме.
Определение 9.7.7. Подыгра игры с совершенной информацией в развернутой форме — эта игра в развернутой форме, которая содержит в качестве начальной любую вершину дерева игры (кроме конечных вершин), а также все вершины дерева игры, следующие за этой выбранной в качестве начальной вершиной, вплоть до конечных вершин игры. Сама игра называется полной игрой.
Выигрыши игроков, которые показаны в конечных вершинах подыгры, совпадают с выигрышами игроков в конечных вершинах полной игры.
Собственная подыгра — это подыгра, начальная вершина которой отлична от начальной вершины полной игры. Полная игра называется также своей несобственной подыгрой.
У динамической игры с совершенной информацией, представленной на рис. 9.8, есть три подыгры: сама игра с начальной вершиной Ш и две ее собственные подыгры с начальными вершинами Ш и ш.
Определение 9.7.2. Совершенным в подыграхравновесием называется такой набор стратегий игроков, который является равновесием Нэша в полной игре, а соответствующие части этого набора стратегий являются равновесиями Нэша во всех собственных подыграх полной игры.
Замечание 9.7.1. Понятие совершенного в подыграх равновесия было предложено германским экономистом Р. Зельтеном в работе Selten R. (1965).
Пример 9.7.3 (продолжение примеров 9.7.1 и 9.7.2). Представим первую собственную подыгру с начальной вершиной [2] в нормальной форме.
Фирма Fx в этой подыгре не функционирует, а фирма F2 может сделать один из двух ходов (С) и (СКР). Двойная матрица рассматриваемой подыгры имеет вид
Ш (с) | Ш (скр) |
(-3; 6) | (7; 7) |
В этой двойной матрице имеет место одно равновесие Нэша /2) (здесь ех = (1), /2 = (0; 1)). Оно предписывает фирме /*2 в вершине [2] сделать ход (СКР). Для того чтобы равновесие Нэша в полной игре было совершенным в подыграх равновесием, необходимо, чтобы в вершине [2] фирма ¥г сделала ход (СКР). А равновесие Нэша (е2;/х) (здесь е2 = (0; 1), Л = (1; 0; 0; 0)) в полной игре предписывает фирме ¥г из вершины [2] сделать ход (С) (см. чистую стратегию (1) фирмы /2 в двойной матрице с размерами (2 х 4) в табл. 9.10). Следовательно, равновесие Нэша (е2;/г) полной игры не является совершенным в подыграх равновесием.
Равновесие Нэша (ех\/^ (здесьех - (1; 0), Л = (0; 0; 0; 1))впол" ной игре предписывает фирме из вершины Щ сделать ход (СКР) (см. чистую стратегию (4) фирмы Е2 в двойной матрице с размерами (2 х 4), т.е. равновесие Нэша (ех\/^ полной_игры содержит в качестве составной части равновесие Нэша (ёх; /2) подыгры с начальной вершиной [2]).
Представим вторую собственную подыгру с начальной вершиной [з] в нормальной форме. Фирма Рх в этой подыгре не функционирует, а фирма Р2 может сделать один из двух ходов (С) и (СКР). Двойная матрица рассматриваемой подыгры имеет вид
Ш(С) | 1(СКР) |
(0; 14) | (0; 8) |
В этой двойной матрице имеет место одно равновесие Нэша
}\) (здесь ёх = (1), }х = (1; 0)). Оно предписывает фирме Р2 в вершине [Ц сделать ход (С). Для того чтобы равновесие Нэша в полной игре было совершенным в подыграх равновесия, необходимо, чтобы в вершине [з] фирма Е2 сделала ход (С). А равновесие Нэша (ер/2) (здесь ех = (0; 1),/2 = (0; 1; 0; 0)) в полной игре предписывает фирме Р2 из вершины @ сделать ход (СКР) (см. чистую стратегию (2) фирмы /*2 в двойной матрице с размерами (2 х 4) в табл. 9.10). Следовательно, равновесие Нэша (ер/2) полной игры не является совершенным в подыграх равновесием.
Равновесие Нэша (ех;/4) (здесь ех = (1; 0),/4 = (0; 0; 0; 1)) в полной игре предписывает фирме Е2 из вершины \з\ сделать ход (С), т.е. равновесие Нэша (ех;/4) полной игры содержит в качестве составной части равновесие Нэша (ёх\ /х) подыгры с начальной вершиной [з].
Из того, что равновесие Нэша (ех;/4) в полной игре содержит в качестве составных частей равновесия Нэша обеих подыгр, следует, что равновесие Нэша (ех;/4) есть совершенное в подыграх равновесие.
Таким образом, равновесие Нэша (ех;/4) полной игры (динамической игры с совершенной информацией), с одной стороны, получается методом обратной индукции и, с другой стороны, оно есть совершенное в подыграх равновесие, понятие которого усиливает и уточняет понятие равновесия Нэша.
Отмеченное обстоятельство является частным случаем общей теоремы о том, что в динамических играх с совершенной информацией и конечным числом ходов множество решений, получаемых методом обратной индукции, совпадает с множеством совершенных в подыграх равновесий.
В связи с тем что метод обратной индукции может быть проще методов отыскания совершенных в подыграх равновесий (особенно в случае, когда нормальные формы игр являются громоздкими), совершенные в подыграх равновесия следует отыскивать с помощью метода обратной индукции (который к тому же может иметь достаточно высокую степень наглядности).