<<
>>

ЧАСТЬ III ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ

3.1 ЗАДАЧИ ЗАДАЧА № 1

Технология производства предполагает использование двух ресурсов и характеризуется постоянной отдачей от масштаба. Производство 60 единиц продукта требует затрат ресурсов в ко­личествах х1 = 12 и х2 = 4.

Предельный продукт первого ресурса МР1 = 3. Чему равен предельный продукт второго ресурса?

ЗАДАЧА № 2

Найти эластичности замещения ресурсов для следующих производственных функций:

а) q = а^Х + Ь^/Х^;

б) q = ах!а хв;

в) q =

ах1 + Ьх2

ЗАДАЧА № 3

Фирма использует два ресурса в количествах х1 и х2; ее производственная функция q = а^х, х2, цены ресурсов р1 и р2. Найти:

а) уравнение пути оптимального роста фирмы;

б) функцию общих затрат длительного периода;

в) функцию общих затрат короткого периода, считая первый ресурс переменным, второй — постоянным.

ЗАДАЧА № 4

Фирма использует два ресурса в количествах х1 и х2; известна ее производственная функция:

q = 2 • (х1 - 5)052 - 10)03, х1 > 5, х2 > 10

и цены ресурсов р1 = 1; р2 = 4.

Найти:

а) уравнение пути оптимального роста фирмы;

б) функции общих, средних и предельных затрат дли­тельного периода;

в) эффективный масштаб производства;

г) функции общих, средних и предельных затрат корот­кого периода, считая второй ресурс постоянным, х2 = 20.

ЗАДАЧА № 5

В состав фирмы входят два завода, производящие один и тот же продукт в количествах q1 и q2 и имеющие функции затрат ТС^) = 200 + ^ + 0^2;

ТС^) = 100 + q2 + 2q2. Найти функцию затрат фирмы ТС($), где Q — объем выпуска фирмы.

ЗАДАЧА № 6

Несколько изменим условия задачи. Пусть теперь

ТС^) = 200 + ^ + 0^2;

ТС2Ы = 100 + 25q2 + 2q22. Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.

3.2 РЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1

Производственная функция q = /(х±, х2) с постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство

^Х^ kx2) = kf(x1, х2).

Почленно дифференцируя это равенство по k, получим: дf дf

— ■ Х1 + — ■ Х2 = f(Хl, x2), (1)

дх1 дх2

или МР1 • х1 + МР2 • х2 = q, откуда МР2 = ^ - МР1 • х1)/х2.

При данных задачи находим: МР2 = (60 - 3 • 12)/4 = 6.

Комментарий. Равенство (1) есть частный случай урав­нения Эйлера: если функция ^Х1, х2, ..., х) однородна сте­пени а, то

п _ 0.

v 4X2

a2x

Комментарий. Поскольку ЦГС^) — это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) > ШС^) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:

2 о (_ пт ^2

М , „ _ 2q

а2х " а

Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:

Х2,
Р1

q = а

т.

е. при том объеме выпуска, для которого в условиях дли­тельного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме х2 (проверьте!).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4

а) Пользуясь методами, примененными при решении предыдущей задачи, находим:

Мр = (х1 - 5)-0 5 • (Х2 - 10)03;

МР2 = = 0.6 • (Х1 - 5)0 5 • (Х2 - 10)-0'7;

MRTS10 =

дХ2

МР1 1 х2 -10 р1 _ 1

МР2 0.6 х1 - 5 р2 4

Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста: х2 = 10 + 0.15 • (х1 - 5).

б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства заданного объема q продукта. Подставим выражение для х2 в производственную функцию:

q = 2 • (х1 - 5)05 • [0.15 • (х1 - 5)]03 = 1.1320(х1 - 5)08, откуда определяются

х1 = 5 + 0.8564 q125; х2 = 10 + 0.12846 q125 и функции затрат

LTC(q) = р1х1 + р2х2 = 45 + 1.3702 q125;

LAC(q) = — + 1.3702 q025; LMC(q) = 3.6025 • 103 q025.

q

в) Эффективный масштаб производства qe определяется объемом выпуска, при котором средние затраты принимают

минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.

г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описы­вается равенством

q = 2 • (x1 - 5)05(20 - 10)03 = 3.9905 • (x1 - 5)0 5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно

x1 = 5 + 0.062797q2,

и функции затрат

STC(q) = 1 • (5 + 0.062797q2) + 4 • 20 = 85 + 0.062797q2 85

SAC(q) = — + 0.062797q; SMC(q) = 0.12559q.

q

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5

Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием: TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2. В рассматриваемом случае двух заводов эффективное рас­пределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q - q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:

ТС^) + TC2Q - qj =

= 200 + 10q1 + 0.5 q^ + 100 + 10(Q - q1) + 2(Q - q1)2. Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат: TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2. Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы: МС^) = 10 + q1 = 10 + 0.8£; МС2^2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8«.

Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом:

МС(3) = 10 + 0.8^.

Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в ком­ментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем тре­бование к распределению объема производства в виде мини­мизации суммы ТС^^ + ТС2($ - q1). Дифференцируя по q1, найдем, что МС^^ - МС2($ - q1) = 0, т. е. при эффективном распределении МС^^ = МС2^2).

Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например МС2^2) > МС^^, то умень­шение объема q2 на малую величину в > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит об­щего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (МС2 • в) превысит увеличение затрат первого завода (МС1 • в).

Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят п заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием

TC(Q) =]Г ТС; ^) при условии ^qt = Q. i=1 t=1

Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи услов­ной минимизации:

L(q1, ..., qn, А,) =£ TCt (qt)- Q

t=l V t=l у

где А — множитель Лагранжа. Условие минимума: дГ

— = МС(Ч1) - А = 0, I = 1, 2, ..., п,

так что при эффективном распределении общего объема про­изводства

МС.(д.) = X, i = 1, 2, ..., п, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине X. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (ТС($)) по ограни­чивающему параметру ($), следовательно, МС(^) = X.

решение задачи № 6

Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эф­фективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода МС11) = 10 + q1 предельным затратам второго МС2^2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:

q2 = 0^ - 3; q1 = 0^ + 3.

Такое распределение возможно лишь при Q > 15: в про­тивном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотри­цательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заво­дом. Итак,

q1 = Q, q2 = 0 при Q < 15;

q1 = 0.8Q + 3, = 0.2Q - 3 при Q > 15.

Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и умень­шить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В этом случае МС^) = 10 + Q, МС2^2) = 25, так что МС2 > МС1, но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину в и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.

<< | >>
Источник: В.М.ГАЛЬПЕРИН,М. ИГНАТЬЕВ, В.И.МОРГУНОВ. МИКРОЭКОНОМИКА . Сборник задач.. 2007

Еще по теме ЧАСТЬ III ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ:

  1. 17.4. Система счетов для учета затрат на производство 17.4.1. Учет затрат основного производства
  2. ОСОБЕННОСТИ УЧЕТА ЗАТРАТ НА ОСНОВНОЕ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДСТВА НА МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ
  3. Классификация затрат на производство и общая схема учета затрат на производство
  4. 6.4. Затраты (расходы) предприятий на производство и реализацию продукции, методы их учета
  5. ОРГАНИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО УЧЕТА ЗАТРАТ ОСНОВНОГО ПРОИЗВОДСТВА НА МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ
  6. 4.2.2. Элементы управленческого учета4.2.2.1. Системы расчета затрат и объемов производства, ориентированные на управление предприятием
  7. 22.1. Учет затрат и калькулирование в системе управления себестоимостью продукции. Задачи учета затрат на производство
  8. 8. Затраты на производство и реализацию продукции, материальные затраты
  9. 22.6. Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции, работ и услуг вспомогательных производств
  10. Часть III
  11. Часть III. ПРИЛОЖЕНИЯ
  12. ЧАСТЬ III СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ
  13. Часть III. ФИНАНСОВЫЕ УЧРЕЖДЕНИ
  14. Часть III. ФИНАНСОВЫЕ УЧРЕЖДЕНИ
  15. Часть III РАЗРАБОТКА МАРКЕТИНГОВЫХ РЕШЕНИЙ
  16. ЧАСТЬ III. УПРАВЛЕНИЕ МЕЖДУНАРОДНЫМ БИЗНЕСОМ
  17. Часть III ТАРГЕТИРОВАНИЕ ВАЛЮТНОГО КУРСА