ЧАСТЬ III ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ
Технология производства предполагает использование двух ресурсов и характеризуется постоянной отдачей от масштаба. Производство 60 единиц продукта требует затрат ресурсов в количествах х1 = 12 и х2 = 4.
Предельный продукт первого ресурса МР1 = 3. Чему равен предельный продукт второго ресурса?ЗАДАЧА № 2
Найти эластичности замещения ресурсов для следующих производственных функций:
а) q = а^Х + Ь^/Х^;
б) q = ах!а хв;
в) q =
ах1 + Ьх2
ЗАДАЧА № 3
Фирма использует два ресурса в количествах х1 и х2; ее производственная функция q = а^х, х2, цены ресурсов р1 и р2. Найти:
а) уравнение пути оптимального роста фирмы;
б) функцию общих затрат длительного периода;
в) функцию общих затрат короткого периода, считая первый ресурс переменным, второй — постоянным.
ЗАДАЧА № 4
Фирма использует два ресурса в количествах х1 и х2; известна ее производственная функция:
q = 2 • (х1 - 5)05(х2 - 10)03, х1 > 5, х2 > 10
и цены ресурсов р1 = 1; р2 = 4.
Найти:а) уравнение пути оптимального роста фирмы;
б) функции общих, средних и предельных затрат длительного периода;
в) эффективный масштаб производства;
г) функции общих, средних и предельных затрат короткого периода, считая второй ресурс постоянным, х2 = 20.
ЗАДАЧА № 5
В состав фирмы входят два завода, производящие один и тот же продукт в количествах q1 и q2 и имеющие функции затрат ТС^) = 200 + ^ + 0^2;
ТС^) = 100 + q2 + 2q2. Найти функцию затрат фирмы ТС($), где Q — объем выпуска фирмы.
ЗАДАЧА № 6
Несколько изменим условия задачи. Пусть теперь
ТС^) = 200 + ^ + 0^2;
ТС2Ы = 100 + 25q2 + 2q22. Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.
3.2 РЕШЕНИЯ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1
Производственная функция q = /(х±, х2) с постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство
^Х^ kx2) = kf(x1, х2).
Почленно дифференцируя это равенство по k, получим: дf дf
— ■ Х1 + — ■ Х2 = f(Хl, x2), (1)
дх1 дх2
или МР1 • х1 + МР2 • х2 = q, откуда МР2 = ^ - МР1 • х1)/х2.
При данных задачи находим: МР2 = (60 - 3 • 12)/4 = 6.
Комментарий. Равенство (1) есть частный случай уравнения Эйлера: если функция ^Х1, х2, ..., х) однородна степени а, то
п _ 0.
v 4X2 |
a2x
Комментарий. Поскольку ЦГС^) — это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) > ШС^) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:
2 о (_ пт ^2
М , „ _ 2q
а2х " а
Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:
Х2, |
Р1 |
q = а
т.
е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме х2 (проверьте!).РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4
а) Пользуясь методами, примененными при решении предыдущей задачи, находим:
Мр = (х1 - 5)-0 5 • (Х2 - 10)03;
МР2 = = 0.6 • (Х1 - 5)0 5 • (Х2 - 10)-0'7;
MRTS10 = |
дХ2
МР1 1 х2 -10 р1 _ 1
МР2 0.6 х1 - 5 р2 4
Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста: х2 = 10 + 0.15 • (х1 - 5).
б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства заданного объема q продукта. Подставим выражение для х2 в производственную функцию:
q = 2 • (х1 - 5)05 • [0.15 • (х1 - 5)]03 = 1.1320(х1 - 5)08, откуда определяются
х1 = 5 + 0.8564 q1•25; х2 = 10 + 0.12846 q1•25 и функции затрат
LTC(q) = р1х1 + р2х2 = 45 + 1.3702 q1•25;
LAC(q) = — + 1.3702 q0•25; LMC(q) = 3.6025 • 103 q0•25.
q
в) Эффективный масштаб производства qe определяется объемом выпуска, при котором средние затраты принимают
минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.
г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством
q = 2 • (x1 - 5)05(20 - 10)03 = 3.9905 • (x1 - 5)0 5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно
x1 = 5 + 0.062797q2,
и функции затрат
STC(q) = 1 • (5 + 0.062797q2) + 4 • 20 = 85 + 0.062797q2 85
SAC(q) = — + 0.062797q; SMC(q) = 0.12559q.
q
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5
Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием: TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2. В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q - q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:
ТС^) + TC2Q - qj =
= 200 + 10q1 + 0.5 q^ + 100 + 10(Q - q1) + 2(Q - q1)2. Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат: TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2. Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы: МС^) = 10 + q1 = 10 + 0.8£; МС2^2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8«.
Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом:
МС(3) = 10 + 0.8^.
Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы ТС^^ + ТС2($ - q1). Дифференцируя по q1, найдем, что МС^^ - МС2($ - q1) = 0, т. е. при эффективном распределении МС^^ = МС2^2).
Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например МС2^2) > МС^^, то уменьшение объема q2 на малую величину в > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (МС2 • в) превысит увеличение затрат первого завода (МС1 • в).
Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят п заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием
TC(Q) =]Г ТС; ^) при условии ^qt = Q. i=1 t=1
Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи условной минимизации:
L(q1, ..., qn, А,) =£ TCt (qt)- Q
t=l V t=l у
где А — множитель Лагранжа. Условие минимума: дГ
— = МС(Ч1) - А = 0, I = 1, 2, ..., п,
так что при эффективном распределении общего объема производства
МС.(д.) = X, i = 1, 2, ..., п, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине X. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (ТС($)) по ограничивающему параметру ($), следовательно, МС(^) = X.
решение задачи № 6
Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода МС1(д1) = 10 + q1 предельным затратам второго МС2^2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:
q2 = 0^ - 3; q1 = 0^ + 3.
Такое распределение возможно лишь при Q > 15: в противном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак,
q1 = Q, q2 = 0 при Q < 15;
q1 = 0.8Q + 3, = 0.2Q - 3 при Q > 15.
Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В этом случае МС^) = 10 + Q, МС2^2) = 25, так что МС2 > МС1, но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину в и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.
Еще по теме ЧАСТЬ III ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ:
- 17.4. Система счетов для учета затрат на производство 17.4.1. Учет затрат основного производства
- ОСОБЕННОСТИ УЧЕТА ЗАТРАТ НА ОСНОВНОЕ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДСТВА НА МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ
- Классификация затрат на производство и общая схема учета затрат на производство
- 6.4. Затраты (расходы) предприятий на производство и реализацию продукции, методы их учета
- ОРГАНИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО УЧЕТА ЗАТРАТ ОСНОВНОГО ПРОИЗВОДСТВА НА МАЛЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ
- 4.2.2. Элементы управленческого учета4.2.2.1. Системы расчета затрат и объемов производства, ориентированные на управление предприятием
- 22.1. Учет затрат и калькулирование в системе управления себестоимостью продукции. Задачи учета затрат на производство
- 8. Затраты на производство и реализацию продукции, материальные затраты
- 22.6. Учет затрат на производство и калькулирование себестоимости продукции, работ и услуг вспомогательных производств
- Часть III
- Часть III. ПРИЛОЖЕНИЯ
- ЧАСТЬ III СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ
- Часть III. ФИНАНСОВЫЕ УЧРЕЖДЕНИ
- Часть III. ФИНАНСОВЫЕ УЧРЕЖДЕНИ
- Часть III РАЗРАБОТКА МАРКЕТИНГОВЫХ РЕШЕНИЙ
- ЧАСТЬ III. УПРАВЛЕНИЕ МЕЖДУНАРОДНЫМ БИЗНЕСОМ
- Часть III ТАРГЕТИРОВАНИЕ ВАЛЮТНОГО КУРСА