8.10. Модели дуополии и олигополии Бертрана
рента, а назначаемая конкурентом цена.
Как и в случае модели Курно, пусть две фирмы производят однородные продукты, имеют равные предельные издержки с, но теперь фирмы выбирают цены, а не объемы выпускаемой ими продукции. В связи с тем что продукты однородны, потребители приобретают продукты той фирмы, которая предлагает меньшую цену. Если цена у обеих фирм одна и та же, то, естественно, объем продажу каждой фирмы будет один и тот же.В рассматриваемом случае равновесие в дуополии Бертрана достигается, когда ценар1 каждой фирмы становится равной предельным издержкам с, т.е. = р^ = с.
Если функция, обратная к функции рыночного спроса, имеет вид р = а - Ьу, у =у{ +у2, то прибыль каждой фирмы РЯ. равна
РЯ^ =ру. - су. - (1. = /=1,2,
ибо р = р{ = р2 = с.
Выпуск каждой фирмы при этом, очевидно, равенТаким образом, дуополия Бертрана функционирует как рынок совершенной конкуренции (такая ситуация называется парадоксом Бертрана).
Для сравнения в случае дуополии Курно
ЛСои) _ (Сои) _ ,, устанавливаемая первой фирмой, строго больше, чем ценар2 (т.е. рх > р2), то, очевидно, первая фирма потеряет всех своих покупателей и при рх > р2 линия спроса на продукцию первой фирмы есть вертикальный полупромежуток [а,р2) на оси Орх (рис. 8.41). Еслирх =р2, то величину Щрх) рыночного спроса фирмы первая и вторая поделят поровну. Тогда точка (7 на рис. 8.41 есть фрагмент линии спроса на продукцию первой фирмы. Наконец, если рх < р2> то фрагментом линии спроса на продукцию первой фирмы является отрезок [Я, К\.
Поскольку случай рх < с экономического смысла не имеет, постольку точка К — последняя точка этой линии спроса.а |
Ру>Р2- |
Р\ = Рг |
РХ(/>,) а/Ь Ух |
Рис. 8.41 |
К МСХ =п |
8.10.2. В случае когда фирмы в условиях дуополии выпускают дифференцированные продукты, ценовая конкуренция является вполне уместной.
/>, А
Пусть функции спроса на продукцию каждой фирмы имеют одни и те же параметры и выглядят так:
Все параметры А, & — положительные постоянные. Для максимизации прибыли
РК\ ~Р\У\ ~°У\-^ = (/>1-с)(к-gpl + кр2) -йх первой фирмы используем условие первого порядка
= &х+крг + (рх-с) -g + k^-\ = -2gpx+h + kp2+cgx=Ъ йрх \ 6рх)
(по аналогии со случаем Курно в модели дуополии Бертрана принимается предпосылка о том, что \ + кРг Р\ ~ ксРг> тогда уравнение изопрофиты / перепишется так:
Имеем
др{ др2
Если рх - с > 0, то уравнение Р(р{, р2) = т, + Лх изопрофиты /х определяет р2 как неявную функцию переменной По теореме о неявной функции
дР(рх,р2) ф2 _ Э^ _ А - 2%рх +Сё + кр2
др2
Условие первого порядка в рассматриваемом случае имеет вид
Фг
^- = 0, т.е.
/1-2^+^ + ^2=0,откуда следует, что
к , А + «"Зр+тр
что представляет собой функцию Л,(р2) реакции первой фирмы. 354
_ А А + се л А А +
При —/>2+-
ф2
имеем —1 > 0, т.е. выполнено первое достаточное условие мини- йрх
мума для изопрофиты /т первой фирмы, откуда следует, что изо- профита РЛХ = Т| первой фирмы пересекает линию реакции Ях(р2) в своей самой низкой точке, т.е. в минимальной точке. На основании теоремы о неявной функции
а Р2 :=12~а)1+к + кр1
^£2^0 (8.10.5) ф2 |
йр\ к(рх-с)2
Неравенство
Л
>0
л
является достаточным условием выпуклости вниз изопрофиты РЯХ = т1 первой фирмы. Неравенство (8.10.5) эквивалентно неравенству -(§р1 + А + кр2 > 0, множество решений которого состоит из всех точек (р{,р2), расположенных левее и выше прямой -(§р1 + А +
+ кр2 = 0, уравнение которой можно переписать так: рх = — р2 + —.
А к к 8 8
Если с < —, то прямая рх = — р2 + — расположена выше (по оси Орх) 8 8 8 прямой Ях(р2) и имеет более крутой наклон относительно оси Ор2, чем прямая Ях(р2)9 имеющая уравнение
к Н + С2
(рис. 8.43).
Таким образом, все изопрофиты РЯХ = т1 первой фирмы есть линии, выпуклые вниз к оси Орх, которые пересекают линию Ях(р2) реакции первой фирмы в своих самых низких точках. Аналогично все изопрофиты РЯ2 = т2 второй фирмы есть линии, выпуклые влево к оси Ор2, которые пересекают линию Я2(рх) реакции второй фирмы в своих самых крайних левых точках (рис.
8.44).23* |
При движении по линии реакции Ях(р2) вверх мы переходим на изопрофиты первой фирмы, которые соответствуют все большим значениям прибыли первой фирмы. Это обстоятельство естественным образом аргументируется как содержательными (чем выше цены, тем выше прибыль фирмы), так и формальными (можно найти
355
Рис. 8.43 |
производную прибыли РЯХ по направлению линии Кх(р2) реакции первой фирмы в любой ее точке) соображениями (см. рис. 8.44). Для изопрофит второй фирмы ситуация аналогичная (см. рис. 8.44).
Сопоставление дуополии Бертрана с дуополией Курно показывает, что эти дуополии представляют собой антиподы. В случае дуополии Курно линии реакции фирм являются нисходящими, изопрофиты выпуклы вверх и вправо и с ростом прибыли фирм изопрофиты перемещаются вниз и влево.
В случае дуополии Бертрана линии реакции фирм являются восходящими, изопрофиты выпуклы вниз и влево и с ростом прибыли фирм изопрофиты перемещаются вверх и вправо.
8,10.5. Проиллюстрируем суть равновесия Бертрана В = (р^, р^) как частный случай равновесия Нэша на рис. 8.44. Если фирма устанавливает цену а первая фирма уменьшает свою цену (с р\В) до рх) или увеличивает ее (с до рх), то первая фирма уменьшает свою прибыль, переходя с изопрофиты (т[5) — прибыль первой фирмы, если фирма устанавливает цену р^) на более низкую изопрофиту (содержащую точки (рр р^)9 (Рр Р^))- Это означает, что первой фирме в одиночку не выгодно менять цену если вторая фирма не меняет свою ценурСитуация, когда первая фирма не меняет цену р\в\ а вторая фирма меняет цену анализируется аналогично. Таким образом, равновесие Бертрана В = (р\в\ р^)есть равновесие Нэша.
В случае когда параметры функции спроса обеих фирм отличаются между собой:
аналитические построения усложняются, но качественный характер результатов существенно не корректируется.
Напомним, что задача оценки параметров функций спроса как отдельных фирм, так и рыночного спроса (в частности, в случаях Курно и Бертрана) представляет собой, как правило, серьезную прикладную проблему.
При переходе от дуополии к олигополии Бертрана ситуация качественным образом сильно не изменится. В случае однородной продукции развитие рынка идет в режиме ценовой войны, в которой все фирмы в конце концов установят цену на уровне предельных издержек и олигополия превратится в рынок чистой конкуренции. Общий объем выпуска определяется линией рыночного спроса и равен -—-, объем выпуска каждой фирмы при
Ь а-с
этом будет равняться /1-й части общего объема, т.е.-- . Напом-
пЪ
ним, олигополия Курно переходит в рынок чистой конкуренции
только в случае, когда п -> +.
В случае дифференцированной продукции (как и в случае дуополии) вводится понятие равновесия по Бертрану и демонстрируется его устойчивость.
Еще по теме 8.10. Модели дуополии и олигополии Бертрана:
- Вопрос 32. Олигополия. Олигополистические ценовые войны. Модели олигополии.
- Вопрос 34. Модель дуополии Курно.
- Основные модели олигополии
- 52. ФИРМА В УСЛОВИЯХ ОЛИГОПОЛИИ. МОДЕЛЬ СГОВОРА
- 27 ОЛИГОПОЛИЯ
- В наш научный век война в конечном итоге означает одно — общую гибель человечества.Бертран Рассел.
- Олигополия
- 20. Олигополия
- 7.3.2.Олигополия
- § 2. Монополистическая конкуренция и олигополия
- Поведение фирмы в условиях олигополии
- Олигополия
- Понятие олигополии и ее основные черты. Показатели измерения концентрации рынка