<<
>>

МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА С УЧЕТОМ ВРЕМЕННЫХ ЛАГОВ

В этом варианте модели мультипликатора—акселератора учи­тываются лаги в реализации потребительских и инвестиционных решений. Пусть потребительские расходы в экономике определя­ются доходом предыдущего периода

С, = а0 + ах ■ У,_х, а0> 0, 0 < ах < 1.

Индуцированные инвестиции зависят теперь от изменения дохода в предыдущий момент времени

/, = ь0 + ьх(У,_х - У,_2), Ь0, Ьх > 0.

Тогда условие равновесия на рынке товаров и услуг описыва­ется как

К, = а0 + Ь0 + с0 + (ах + ЬХ)У,_Х - Ьх • У,_2. (13.6)

Отсюда видно, что доход текущего периода положительно зависит от дохода предыдущего периода и отрицательно от дохо­да периода (—2.

В долгосрочном стационарном состоянии, когда У,=У1_Х =

V V “ V ^0 ^0 п

= /,_2 = / , равновесный доход составит / =—--------------------- -.

Проана­лизируем динамику отклонения текущего дохода от его равновес­ного значения. Для этого представим, как и ранее, текущий доход

У,=АУ,+7.

Тогда (13.6) преобразуется в

У+АУ; =а0 + й0 + с0 + («1+*1)(> + А>",-1)-Й1(>7 + АГ,_2). (13.7)

После приведения подобных получим

АУ1=(а1])АУ1_11АУ1_2. (13.8)

Условие (13.8) является однородным конечно-разностным урав­нением 2-го порядка.

Для нахождения и исследования динамических свойств ре­шения однородного разностного уравнения 2-го порядка (13.8) используются корни А,) и Х2 так называемого характеристического уравнения [2,12]

X2 - (а, + 6,)А + 6, = 0.

(13.9)

Корни характеристического уравнения (13.9)

В зависимости от дискриминанта характеристического урав­нения эти корни могут быть:

1) действительными и не равными друг другу, если дискрими­нант больше нуля, т. е. (а, + Ь{)2 > 46|,

2) действительными кратными при + Ь{)2 = 4Ь{;

3) мнимыми, если дискриминант меньше нуля, т. е. (а, + Ь{)2 < 4Ьх. Тогда решение исходного разностного уравнения (13.8) в слу­чае неравных друг другу корней (действительных или мнимых) может быть представлено в виде

АУ, =к1к!{2Х'2, (13.11)

а зависимость дохода от времени

У/ = У + + А2А2, (13.1 К)

где кь к2 — коэффициенты, определяемые начальными условиями экономики.

В случае же кратных действительных корней = Л,2 = Я, = решение (13.8) записывается следующим образом

АУ,=к^+к2М. (13.12)

Тогда траектория дохода

У=У+к^+к2г А/. (13.12')

Если корни характеристического уравнения мнимые, то выра­жение (13.10) можно представить в виде

Я., 2 =Л± V/,

, я, + Ьх где п - — ;

4

Тогда решением (13.11) будет выражение

АТ, =к1'Х!1 + к2к!21(Ь + у/)' + к2 (А — у/У, (13.13)

откуда трудно в явной форме выявить особенности динамики

поведения АТ,. Поэтому удобно комплексные числа представить

в тригонометрической форме

(Л± V/)? = Л'(соьиТ±/.5т в»/), (13.14)

где R = л//г2 + V2

w — радианная мера угла в интервале [0, 2л], для которого v

tgw = —.

И

Тогда решение (13.13) можно записать в виде

t

A Yt= bf (A", cos wt + К2 sin w/),

где AT,, K2 —действительные числа, определяемые в зависимости от начальных условий.

Траектория движения дохода в этом случае

/

Т, = Т +bj(A-, cos wt + К2 sin иТj. (13.15)

Исследуем теперь равновесие на устойчивость. Оно будет устойчивым, если

НтДУ, =0. (13.16)

Очевидно, что условие (13.16) выполняется тогда и только тогда, когда |Я,| < 1 и |Х2| < Е Если учесть, что по теореме Виета акселератор Ьх = Х{к2, а суммарная чувствительность потребления И ИНВеСТИЦИЙ К ДОХОДУ а{ + Ь{ = 'к{ + Х2, ТО ИЗ ПОЛОЖИТеЛЬНОСТИ Я|

и Ь{ следует, что корни характеристического уравнения всегда неотрицательны:

0 < Л., 1, то процесс имеет расходящийся характер и на­рушенное равновесие никогда не восстанавливается.

Проанализируем теперь траекторию изменения дохода во времени, определяемую (13.11) или (13.12). Если характеристичес­кие корни действительные и различные, т. е. справедливо (13.11), то доход изменяется монотонно — либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от того, превышают ли корни единицу.

Другими словами, независимо от начальных условий при доста­точно больших / имеет место монотонное развитие — сходящееся к равновесному состоянию или удаляющееся от него (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Варианты динамики дохода в случае действительных корней характеристического уравнения

Если же характеристические корни являются мнимыми и ре­шение записывается в виде (13.15), то динамика отклонения дохода от равновесного имеет колебательный характер.

Колеба­ния затухают, и процесс сходится к равновесию, если Ьх < 1; если же Ьх > 1, то амплитуда колебаний возрастает (рис. 13.3).

Рис. 13.3. Варианты динамики дохода в случае комплексных корней характеристического уравнения

Итоговые результаты исследования устойчивости и динамики развития дохода приведены на рис.13.4 и в табл. 13.1.

Можно ли объяснить наблюдаемые деловые циклы с помощью модели. Скорее всего, нет, так как:

• циклы, порождаемые детерминистскими моделями, носят регу­лярный характер, что противоречит эмпирическим наблю­дениям;

• циклы носят затухающий, взрывной и перманентный характер. Первый и второй противоречат бесконечной повторяемости циклов. Единственный случай повторяющихся циклов — эго третий, но он требует слишком редкого сочетания ряда экономических параметров.

Рис. 13.4. Характер динамики дохода в зависимости от параметров модели мультипликатора—акселератора

Таблица 13.1

Возможные траектории изменения дохода в модели мультипликатора—акселератора с учетом временных лагов

Варианты решения характеристического уравнения Номер области на рис. 13.4 Величина

акселератора

Тип траектории дохода
1. Различные действительные корни (я, + А,)2 > 4А, I

IV

А, < I А, > I Монотонная,

сходящаяся

Монотонная,

расходящаяся

2. Кратные действительные корни (я, + А,)2 = 4 А, VI

VII

А, < 1 А, > 1 Монотонная,

сходящаяся

Монотонная,

расходящаяся

11 А, < I Затухающие

колебания

3. Комплексные корни (я, + А,)2 < 4А, V А, = I Колебания с постоянной амплитудой
III А, > 1 Расходящиеся

колебания

Альтернативный подход — стохастические циклы. В них пред­полагается, что экономика подвержена случайным, но повторя­ющимся толчкам (шокам), влияющим на спрос или на предложение.

<< | >>
Источник: Туманова Е.А., Шагас Н.Л.. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода: Учебник. — М.: ИНФРА-М,— 400 с. — (Учебники экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова). 2004

Еще по теме МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА С УЧЕТОМ ВРЕМЕННЫХ ЛАГОВ:

  1. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА БЕЗ УЧЕТА ЛАГОВ В РЕАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
  2. Модель взаимодействия мультипликатора и акселератора
  3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ: МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА
  4. Глава 13 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ: МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА
  5. МОДЕЛЬ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЕНЕГ И ДЕНЕЖНЫЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  6. МОДЕЛЬ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЕНЕГ И ДЕНЕЖНЫЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  7. 12.Модель оценки финансовых активов с учетом систематического риска.
  8. § 8. Мультипликатор. Равновесный объем производства в кейнсианской модели
  9. Модель оценки финансовых активов с учетом систематического риска
  10. Методика построения модели управленческого баланса преимущественно с учетом динамической концепции
  11. Модель предложения денег. Денежный мультипликатор
  12. МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ В МОДЕЛИ ОТКРЫТОЙ экономики С НЕСОВЕРШЕННОЙ МОБИЛЬНОСТЬЮ КАПИТАЛА
  13. Мультипликатор налогов. Мультипликатор сбалансированного бюджета
  14. Приложение. Модель временных предпочтений
  15. 13.5. Оценивание моделей с нестационарными временными рядами
  16. 12.1. Допущения для регрессионных моделей с временными рядами
  17. 12.5. Автокорреляция с лаговой зависимой переменной