МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА С УЧЕТОМ ВРЕМЕННЫХ ЛАГОВ
С, = а0 + ах ■ У,_х, а0> 0, 0 < ах < 1.
Индуцированные инвестиции зависят теперь от изменения дохода в предыдущий момент времени
/, = ь0 + ьх(У,_х - У,_2), Ь0, Ьх > 0.
Тогда условие равновесия на рынке товаров и услуг описывается как
К, = а0 + Ь0 + с0 + (ах + ЬХ)У,_Х - Ьх • У,_2. (13.6)
Отсюда видно, что доход текущего периода положительно зависит от дохода предыдущего периода и отрицательно от дохода периода (—2.
В долгосрочном стационарном состоянии, когда У,=У1_Х =
V V “ V ^0 ^0 п
= /,_2 = / , равновесный доход составит / =—--------------------- -.
Проанализируем динамику отклонения текущего дохода от его равновесного значения. Для этого представим, как и ранее, текущий доходУ,=АУ,+7.
Тогда (13.6) преобразуется в
У+АУ; =а0 + й0 + с0 + («1+*1)(>:Г + А>",-1)-Й1(>7 + АГ,_2). (13.7)
После приведения подобных получим
АУ1=(а1+Ь])АУ1_1-Ь1АУ1_2. (13.8)
Условие (13.8) является однородным конечно-разностным уравнением 2-го порядка.
Для нахождения и исследования динамических свойств решения однородного разностного уравнения 2-го порядка (13.8) используются корни А,) и Х2 так называемого характеристического уравнения [2,12]
X2 - (а, + 6,)А + 6, = 0.
(13.9)Корни характеристического уравнения (13.9)
В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения эти корни могут быть:
1) действительными и не равными друг другу, если дискриминант больше нуля, т. е. (а, + Ь{)2 > 46|,
2) действительными кратными при + Ь{)2 = 4Ь{;
3) мнимыми, если дискриминант меньше нуля, т. е. (а, + Ь{)2 < 4Ьх. Тогда решение исходного разностного уравнения (13.8) в случае неравных друг другу корней (действительных или мнимых) может быть представлено в виде
АУ, =к1к!{+к2Х'2, (13.11)
а зависимость дохода от времени
У/ = У + + А2А2, (13.1 К)
где кь к2 — коэффициенты, определяемые начальными условиями экономики.
В случае же кратных действительных корней = Л,2 = Я, = решение (13.8) записывается следующим образом
АУ,=к^+к2М. (13.12)
Тогда траектория дохода
У=У+к^+к2г А/. (13.12')
Если корни характеристического уравнения мнимые, то выражение (13.10) можно представить в виде
Я., 2 =Л± V/,
, я, + Ьх где п - — ;
4
Тогда решением (13.11) будет выражение
АТ, =к1'Х!1 + к2к!2 =к1(Ь + у/)' + к2 (А — у/У, (13.13)
откуда трудно в явной форме выявить особенности динамики
поведения АТ,. Поэтому удобно комплексные числа представить
в тригонометрической форме
(Л± V/)? = Л'(соьиТ±/.5т в»/), (13.14)
где R = л//г2 + V2
w — радианная мера угла в интервале [0, 2л], для которого v
tgw = —.
И
Тогда решение (13.13) можно записать в виде
t
A Yt= bf (A", cos wt + К2 sin w/),
где AT,, K2 —действительные числа, определяемые в зависимости от начальных условий.
Траектория движения дохода в этом случае
/
Т, = Т +bj(A-, cos wt + К2 sin иТj. (13.15)
Исследуем теперь равновесие на устойчивость. Оно будет устойчивым, если
НтДУ, =0. (13.16)
Очевидно, что условие (13.16) выполняется тогда и только тогда, когда |Я,| < 1 и |Х2| < Е Если учесть, что по теореме Виета акселератор Ьх = Х{к2, а суммарная чувствительность потребления И ИНВеСТИЦИЙ К ДОХОДУ а{ + Ь{ = 'к{ + Х2, ТО ИЗ ПОЛОЖИТеЛЬНОСТИ Я|
и Ь{ следует, что корни характеристического уравнения всегда неотрицательны:
0 < Л., 1, то процесс имеет расходящийся характер и нарушенное равновесие никогда не восстанавливается.
Проанализируем теперь траекторию изменения дохода во времени, определяемую (13.11) или (13.12). Если характеристические корни действительные и различные, т. е. справедливо (13.11), то доход изменяется монотонно — либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от того, превышают ли корни единицу.
Другими словами, независимо от начальных условий при достаточно больших / имеет место монотонное развитие — сходящееся к равновесному состоянию или удаляющееся от него (рис. 13.2).
Рис. 13.2. Варианты динамики дохода в случае действительных корней характеристического уравнения
Если же характеристические корни являются мнимыми и решение записывается в виде (13.15), то динамика отклонения дохода от равновесного имеет колебательный характер.
Колебания затухают, и процесс сходится к равновесию, если Ьх < 1; если же Ьх > 1, то амплитуда колебаний возрастает (рис. 13.3).
Рис. 13.3. Варианты динамики дохода в случае комплексных корней характеристического уравнения |
Итоговые результаты исследования устойчивости и динамики развития дохода приведены на рис.13.4 и в табл. 13.1.
Можно ли объяснить наблюдаемые деловые циклы с помощью модели. Скорее всего, нет, так как:
• циклы, порождаемые детерминистскими моделями, носят регулярный характер, что противоречит эмпирическим наблюдениям;
• циклы носят затухающий, взрывной и перманентный характер. Первый и второй противоречат бесконечной повторяемости циклов. Единственный случай повторяющихся циклов — эго третий, но он требует слишком редкого сочетания ряда экономических параметров.
Рис. 13.4. Характер динамики дохода в зависимости от параметров модели мультипликатора—акселератора |
Таблица 13.1 Возможные траектории изменения дохода в модели мультипликатора—акселератора с учетом временных лагов
|
Альтернативный подход — стохастические циклы. В них предполагается, что экономика подвержена случайным, но повторяющимся толчкам (шокам), влияющим на спрос или на предложение.
Еще по теме МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА С УЧЕТОМ ВРЕМЕННЫХ ЛАГОВ:
- МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА БЕЗ УЧЕТА ЛАГОВ В РЕАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
- Модель взаимодействия мультипликатора и акселератора
- ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ: МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА
- Глава 13 ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЦИКЛЫ: МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА- АКСЕЛЕРАТОРА
- МОДЕЛЬ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЕНЕГ И ДЕНЕЖНЫЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
- МОДЕЛЬ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЕНЕГ И ДЕНЕЖНЫЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
- 12.Модель оценки финансовых активов с учетом систематического риска.
- § 8. Мультипликатор. Равновесный объем производства в кейнсианской модели
- Модель оценки финансовых активов с учетом систематического риска
- Методика построения модели управленческого баланса преимущественно с учетом динамической концепции
- Модель предложения денег. Денежный мультипликатор
- МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ В МОДЕЛИ ОТКРЫТОЙ экономики С НЕСОВЕРШЕННОЙ МОБИЛЬНОСТЬЮ КАПИТАЛА
- Мультипликатор налогов. Мультипликатор сбалансированного бюджета
- Приложение. Модель временных предпочтений
- 13.5. Оценивание моделей с нестационарными временными рядами
- 12.1. Допущения для регрессионных моделей с временными рядами
- 12.5. Автокорреляция с лаговой зависимой переменной