<<
>>

Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг

Для оценки оптимизации введем следующие обозначения: ц — ожидаемая доходность г-й ценной бумаги; г=1, 2,..., я;— доля г-й ценной бумаги в порт­феле; Ху — ковариация между г-й и у-й ценными бумагами; гр — ожидаемая до­ходность портфеля; С = С 1 х Я.

Определим обратную матрицу к матрице С. Для краткости обозначим все ее элементы, кроме последнего столбца и последней строки, Яу. Элементы последнего столбца и последней строки получаются одинаковыми, и их обо­значим С;.

с ап---аы

С-1 =

ап\ ’ ’ ’апп сп

V С1"' сп сп+1

п п п

В этой матрице ^Щі = 0; ^яд = 0; = 1.

і=1 7=1 і= 1

Для определения оптимальной структуры портфеля остается решить сис­тему уравнений

g^ = сі + \|>(апгх + • • •+ а1пгп);

ёп = сп ЧКаи1Н 1 ^ атёп) ■

п

Обозначив Ь[ = ^я^гу, получим следующую формулу для расчета опти­мальной доли каждого вида ценных бумаг в портфеле:

gl=cl+^ybl.

(2)

Определим портфель с минимальным риском. Параметр \|/ представляет собой тангенс угла, образованного осью ординат и касательной к области выбо­ра инвестора в точке, соответствующей оптимальному портфелю (см. рис. 5.13). Когда инвестор отдает предпочтение портфелю с минимальным риском, тогда касательная становится параллельной оси ординат, поэтому \|/ = 0. Следователь­но, у такого портфеля^ = с;, т.е. последний столбец (строка) обратной матрицы

С 1 представляет структуру портфеля с минимальным риском. Доходность и риск его будут

п

^ртіп-ХСЛ’ (3)

1=1

2 п п

с^тіи = X Хсгс75г/- (ДЧ

7=11=1

Для определения структуры портфеля, отвечающего другим требованиям инвестора, удобно использовать специфический показатель

(

( а,\\ ■ ■ ■

® = 'Еьігі=(гЬ--->гп)х ..................

і=1

\ап\"' аПП)

Посредством показателей грт[п, орт;п и ■& легко можно найти структуру портфеля, соответствующего конкретным требованиям инвестора.

Допустим, нужно сформировать портфель с заданной ожидаемой доходно- стью Гр. В соответствии с равенствами (2) и (3)

п п п п

~ Х^>Ді + М^7 )б ~ Дб ^ ~ гртт ^ ■ (5)

г=1 г=1 г=1 г=1

Из равенства (5) определим, какому значению \|/ соответствует желание инвестора иметь ожидаемую доходность портфеля, равную Гр,

_* _

У=г£1Гртп (6)

Д

Подставив значение \|/, полученное из выражения (6), в уравнение (2), най­дем структуру портфеля с заданной ожидаемой доходностью.

Для определения структуры портфеля с заданной степенью риска примем во внимание, что

п п п п

=X Цвівшу = X Х(сі+гьщ+=

і=1 І=1 І=1 І=1 чуч

п п п п п п

= X X + V2 X X ЬіЬі^ + 2^Х X сіА7*9 •

1=1 7=1 1=1 7=1 1=1 7=1

Первое слагаемое в выражении (7) — вариация портфеля с минимальным риском (см. равенство (4)). После преобразований второе слагаемое можно представить в виде

ІА,- в

тЬЬггг = 57’

Аі=1 ^

а третье слагаемое равно нулю. Поэтому

2

ир артіп

2 _ 2 ®р ~ ^ртіп V

(8)

•¥ =

Подставив выражение (8) в уравнение (2), найдем структуру портфеля с заданной степенью риска.

Пример. На основе наблюдений за фондовым рынком для трех видов ак­ций установлены характеристики, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Акция п,% С>г, % Корреляция ри Ковариация %
А В С А В С
А 10 14 1 0,5 -0,35 196 98 -196
В 15 14 1 0,3 196 168
С 25 40 - - 1 1600

Составим из этих акций портфель: а) с минимальным риском; б) макси-

_ о

мизирующий функцию полезности и=40Гр-

<< | >>
Источник: Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И.. Макроэкономика: Учебник. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Высшее обра­зование,— 654 с.. 2006

Еще по теме Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг:

  1. Оптимизация портфеля из п разновидностей ценных бумаг
  2. Портфель, состоящий из ценных бумаг государственных структур.
  3. Оптимизация портфеля из рискового и безрискового активов
  4. Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля
  5. Разновидности рынка ценных бумаг
  6. Портфель ценных бумаг
  7. Портфель ценных бумаг.
  8. 16.1. Портфели ценных бумаг, их типы
  9. 16.4. Методы управления портфелем ценных бумаг
  10. Вопрос 4 Управление портфелем ценных бумаг
  11. 16.2. Механизм формирования портфеля ценных бумаг
  12. 20.1. ПОНЯТИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  13. 20.2.УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ
  14. Формирование портфеля ценных бумаг
  15. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  16. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  17. 87. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  18. Формирование портфеля ценных бумаг
  19. Портфель, состоящий из ценных бумаг различных отраслей промышленности.