Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка
Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида
Ч = Р(х^ьх^ъ ...,х^п,€), (1)
связывающими состояние объекта Х( в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени.
Решение уравнения (1) я-го порядка определено однозначно, если заданы я так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения при t = = 0, 1,...,я- 1.Подставляя начальные значения хп_\, ..., хр хо и 7 = я в качестве аргументов функции в правой части (1), находим хга; используя найденное значение и подставляя теперь хп, х„_р ..х^, х\ и 7 = п +1 в качестве аргументов функции, находим хп+1 и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения 7.
В 9.2 используются конечно-разностные уравнения вида х^ = а\ос^\ + а2х^2 + + /(7) — линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (1).
Они называются однородными, если/(7) = О при любых 7, неоднородными — в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравненияXt = a^xt-^ +а2х^2 (2)
используется так называемое характеристическое уравнение
А2 — а{к — 02 = 0. (3)
Обозначим его корни Ац и запишем
В теории конечно-разностных уравнений[88] доказывается, что при Х\ Ф А2 решение уравнения (2) описывается равенством
х^- = 3|А| + З2А2 , (4)
где А\ и А2 — постоянные, определяемые начальными условиями.
Если же А} = А2 = А, то решение имеет вид
хь =(А1+А2Ь)ХК (5)
9
Решение уравнения (2) зависит от значения дискриминанта Б = а^+ Аа2 характеристического уравнения (3).
Рассмотрим возникающие при этом случаи.
1. Б > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (4); если оба корня положительны, то обе компоненты решения — монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (4).
2. Б = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (5).
3. Б < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: Ар2 = « ± ф.
Равенство (4) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: ~к\ 2 = g(cosa) ± sinco), где g = |Ai | =
= |Л2| = + |3^ = -J-a2 ; tgco = |3/а. Такое представление позволяет описать
решение уравнения (2) равенством
xt = g\B-[ coscof ± В2 sincof), (6)
где Вi и В2 — постоянные, определяемые начальными условиями.
Таким образом, при D< 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при£> 1) или убывает (при£< 1); если частота выражена в радианах, то период колебаний Т= 2п/ах
На рисунке парабола АОВ, описываемая уравнением af + 4«2 = 0 , соответствует случаю D = 0. Левее параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, правее — случаю D < 0.
Области затухающих и взрывных колебаний
Решение уравнения (2) называют равновесным, если значение Х( не изменяется во времени.
Подстановкой в уравнение (2) можно убедиться, что ту = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если х^ —у 0 при Ь —> в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (4) и (5) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае Б < 0 условию устойчивости соответствует £ < 1, так как £= рч! = |А, 2|; при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является а2 > -1. По теореме Виета ~к{к2 = ~а2> так что условие а2 > _1 необ-
ходимо и в случае В > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств |
дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство \а\\ < 2.
Систему можно заменить одним неравенством
+ 4а2 или а\ +4^2 «2
Еще по теме Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка:
- Математическое приложение 2: Построение интегральной кривой
- Математическое приложение 2: Расчет равновесных параметров комбинированной стабилизационной политики
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К главе 23
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К главе 23
- Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг
- Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля
- 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
- § 16.7.2. Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе показателя наклона линейной регрессии
- 2.3.3. Приложение N 3 "Расчет суммы расходов по операциям, финансовые результаты по которым учитываются при налогообложении прибыли в специальном порядке (за исключением отраженных в листе 05)"
- 2.6. Лист 05 "Расчет налоговой базы по налогу на прибыль по операциям, финансовые результаты которых учитываются в особом порядке (за исключением отраженных в Приложении N 3 к листу 02)"
- 78. Поддержание порядка и меры к нарушителям порядка
- Инвестиционные банки второго типа
- 10.2. Инвестиционные банки второго типа
- Региональные банки второго уровня
- Документы второго класса - Руководства (справочники)
- Конечное потребление
- 8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки
- «Стратегия второго продукта» как мощный резерв доходности
- КОНЕЧНЫЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ