<<
>>

Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка

Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

Ч = Р(х^ьх^ъ ...,х^п,€), (1)

связывающими состояние объекта Х( в любой момент времени t с состояния­ми в предшествующие моменты времени.

Решение уравнения (1) я-го поряд­ка определено однозначно, если заданы я так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения при t = = 0, 1,...,я- 1.

Подставляя начальные значения хп_\, ..., хр хо и 7 = я в качестве аргумен­тов функции в правой части (1), находим хга; используя найденное значение и подставляя теперь хп, х„_р ..х^, х\ и 7 = п +1 в качестве аргументов функции, находим хп+1 и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения 7.

В 9.2 используются конечно-разностные уравнения вида х^ = а\ос^\ + а2х^2 + + /(7) — линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющи­еся частным видом уравнения (1).

Они называются однородными, если/(7) = О при любых 7, неоднородными — в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

Xt = a^xt-^2х^2 (2)

используется так называемое характеристическое уравнение

А2 — а{к — 02 = 0. (3)

Обозначим его корни Ац и запишем

В теории конечно-разностных уравнений[88] доказывается, что при Х\ Ф А2 решение уравнения (2) описывается равенством

х^- = 3|А| + З2А2 , (4)

где А\ и А2 — постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же А} = А2 = А, то решение имеет вид

хь =(А12Ь)ХК (5)

9

Решение уравнения (2) зависит от значения дискриминанта Б = а^+ Аа2 характеристического уравнения (3).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.

1. Б > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных веществен­ных корня. Решение описывается равенством (4); если оба корня положитель­ны, то обе компоненты решения — монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочере­дующаяся составляющая решения (4).

2. Б = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (5).

3. Б < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплек­сных корней: Ар2 = « ± ф.

Равенство (4) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: ~к\ 2 = g(cosa) ± sinco), где g = |Ai | =

= |Л2| = + |3^ = -J-a2 ; tgco = |3/а. Такое представление позволяет описать

решение уравнения (2) равенством

xt = g\B-[ coscof ± В2 sincof), (6)

где Вi и В2 — постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D< 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при£> 1) или убывает (при£< 1); если частота выраже­на в радианах, то период колебаний Т= 2п/ах

На рисунке парабола АОВ, описываемая уравнением af + 4«2 = 0 , соответ­ствует случаю D = 0. Левее параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, правее — случаю D < 0.

Области затухающих и взрывных колебаний

Решение уравнения (2) называют равновесным, если значение Х( не изме­няется во времени.

Подстановкой в уравнение (2) можно убедиться, что ту = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если х^ —у 0 при Ь —> в противном случае оно называется неустойчивым. Равен­

ства (4) и (5) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше еди­ницы. В случае Б < 0 условию устойчивости соответствует £ < 1, так как £= рч! = |А, 2|; при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является а2 > -1. По теореме Виета ~к{к2 = ~а2> так что условие а2 > _1 необ-

ходимо и в случае В > 0, но здесь оно не является достаточным. Система не­равенств

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство \а\\ < 2.

Систему можно заменить одним неравенством

+ 4а2 или а\ +4^2 «2

<< | >>
Источник: Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И.. Макроэкономика: Учебник. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Высшее обра­зование,— 654 с.. 2006

Еще по теме Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка:

  1. Математическое приложение 2: Построение интегральной кривой
  2. Математическое приложение 2: Расчет равновесных параметров комбинированной стабилизационной политики
  3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К главе 23
  4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К главе 23
  5. Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг
  6. Математическое приложение 2: Расчет предельной доходности риска рыночного портфеля
  7. 9.1. Модели в виде одновременных уравнений: структурная и приведенная форма уравнений
  8. § 16.7.2. Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе показателя наклона линейной регрессии
  9. 2.3.3. Приложение N 3 "Расчет суммы расходов по операциям, финансовые результаты по которым учитываются при налогообложении прибыли в специальном порядке (за исключением отраженных в листе 05)"
  10. 2.6. Лист 05 "Расчет налоговой базы по налогу на прибыль по операциям, финансовые результаты которых учитываются в особом порядке (за исключением отраженных в Приложении N 3 к листу 02)"
  11. 78. Поддержание порядка и меры к нарушителям порядка
  12. Инвестиционные банки второго типа
  13. 10.2. Инвестиционные банки второго типа
  14. Региональные банки второго уровня
  15. Документы второго класса - Руководства (справочники)
  16. Конечное потребление
  17. 8.2. Свойства оценок коэффициентов регрессии по МНК в случае конечной выборки
  18. «Стратегия второго продукта» как мощный резерв доходности
  19. КОНЕЧНЫЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ