Ответы. Указания
ГЛАВА 1
1.1. Внутренняя доходность облигации
1.1. ГА - 7,00%, Гц 7,98%.
1.2. гл = 4,96%, гв » 6,00%, гс - 6,95%.
1.3. гд « 29,10%, = 5,50%.
1.4. 131,94 долл,
1.5. Указание. Воспользоваться равенством
2 „_, й(1-У)
а+ах+ах .
1-х
1.6. 117,48 долл. Указание. Использовать равенство нз задачи 1.5.
1.7. 122,70 долл.
1.8. 9,10%. Указание. Использовать равенство нз задачи 1.5.
1.9. Указание. Использовать определение внутренней доходности облигации.
1.10. 7,85%. Указание. Использовать равенства нз задач 1.5 н 1.9.
1.11. 12,07%.
1.12. 2426 руб. 55 коп. Указание. Стоимость потока платежей заемщика должна равняться размеру кредита.
1.2. Свойства внутренней доходности облигации. Внутренняя доходность при непрерывном начислении процентов
2.1. а) 6,00%, б) 8,00%, в) 10,00%.
2.2. гА - 6,77%, гв = 7,67%.
2.3. ГА ~ 4,84%, гв = 5,83%.
2.4. г =27,17%.
2.5. г « 37,32%.
2.6. Указание* Воспользоваться равенством
а + ах+ах' + ...+ахп 1 =-1-------------
1-х
2.7. г »11,39%. Указание. Использовать равенство из задачи 2.6. 258
2.8. 131,92 долл. Указание. Использовать равенство нз задачи 2.6.
2.9. 117,46 долл.
2.10. а) К2) = 10,25%, б) г(4) = 10,13%.
2.11. а) К4) = 14,73%, б) г(8) = 14,60%, в) г -14,46%.
2.12. Указание. В равенстве из задачи 2.6 (при т = 2) перейти к пределу при Г—*«.
1.3. Безрнсковые процентные ставки
3.1. г{1; 2} = 5,41%, г{1; 2,5} = 6,72%, г{1; 3} = 7,72%.
3.2. г (1.5) = 7,02%. г (2,5) = 6,50%, г (3.5) = 11,58%, г (4,5) = 10,15%,
3.3. г{4; 3,5} = 3,02%, г{4; 6} = 2,72%.
3.4. 122,34 долл.
3.5. 111,12 долл., г =8,21%.
3.6. г{2; 4,0} = 6,00%.
3.7. г(2,5)=10,81%.
3.8. 143,15 долл., К2) = 7,08%.
1.4. Временная структура процентных ставок. Кривая рыночных доходностеи
4.1. а) г (1,5) = 0,0550; б) г (1,5) = 0,0567 .
4.2. а)г = 0,015г-1-0,025, ге[0,2]; б)г = -i-(-2r2+9Г+8), te[0,2].
зои
4.3. г = ^(-0,02/3 + 0,12*2 - 0,16* + 0,36);
1.5) = 5,375%. г (2,8) = 6,896%; г (3,2) = 7,024%.
4.4. г = ~(4^~15/2 + 18,50;
7(0,25} = 2,50%; r(l,2) = 5,0l%; г(1,75) = 5,25%. 4.5» Указание. Найти безрисковую процентную ставку г (1,5). г (1,5) = 5,833%, Р = 915,30 долл.
4,6. Указание. Кривая рыночных доходностей -' + 10)-
г (0,5) = 4,875%, г (1,5) = 5,375%, 7(2,5) = 6,875%, Р = 103,39 долл.
259
ГЛАВА 1
4.7. Указание. г{1;0,5} = 4,625%, г{1;1,5} = 7,125%; г{1;2,5} =8,625%; Р= 113,23 долл.
у
4.8. Указания. 1. Положить г(1;2,5)=г, г{1;2,0] = 0,04+- и решить
5 5 5 5
уравнение (1+0 06)о,5 (1+0 07)1 (1+О.08)1'5 (1+0,04+ ^Г
+ 5 25 =102,90. (1 + г)2-5
Тогда г{ 1; 2,0} = 8,495%; г{ 1; 2,5} = 8,99%.
т* ^ 017
2. Положить г(1;2,5} = г, г{1;2,0} = —~— и решить уравнение
(1 + 0,06)°5 (1+0.07)1 (1+0,08)15 { ,+0,17^ (1+г)2,5
'1+ 1
3
= 102,90,
Тогда г{]; 2,0) = 8,661%; г[1; 2,5} = 8,984%. 4.9. Указания. 1. Положить г(3,0)=г, г{2^) = 2г4"0,08;
и решить уравнение
г+О,16 2 0 _2^+ОгО§ 25
+ Ю6ГГ 30 = 105,09.
Тогда г(2,0) = 8,667%; ? (2,5) = 9,333%; Р(3,0) = 10,000%.
г+0095 г +0 445
2. Положить г(3,0) = г, г(2,5)= ' ; г(2,0)= и' .
2 6
Тогда г (2,0) = 9,077%; г (2,5) = 9,731%; г (3,0)=9,962%.
3. Положить г(3,0) = г, ?(2,5) = ^р; =
Тогда ?(2,0) = 9,640%; ?(2,5) = 10,559%; г (3,0) = 9,898%. 4Д0. г (0.25) = 4,991%; г(0,5) = 6,009%; г(0,75) = 4,000%; г(1,0) = 4,507%; г(1,25) = 5.014%; г (1,5) = 6,657%.
4.11. г{2; 0,5} = 4,499%; г{2; 1,0} = 4,649%; г{2; 1,5} = 4,799%; г{2; 2,0} - 4,533%; г{2; 2,5} = 4,266%; г{2; 3,0} = 4,000%,
4.12, Указание. Процентные ставки г (0,25) и г (0,75) найтиспомошью линейной интерполяции: г (t) = 0.04/ +■ 0,04.
Г(0,25) = 0,05; г (0,5) = 0,06; F(0,75) = 0,07; г (1,0) = 0,08; г (1,25) = 0,0825; г (1,5) = 0.085; г (1,75) = 0,0875; f(2,0} = 0,09.
1-5. Купонные облигации.
Внутренняя доходность купонной облигации
5.1. 10 платежей; 37 дней.
5.2. 25 платежей; 48 дней.
5.3. а) 98,04 долл.; б) 97,29 долл.
5.4. а) 204,56 долл.; б) 202, 41 долл.
5.5. 8,495%. 5*6. 8,911%. 5*7, 6,00%,
5.8. 205,27 доял.; 4,115%.
1.6. Зависимость стоимости купонной облигации от внутренней доходности
6*1. Р(г - Дг)- Р(г) * 72,31 долл.; Р(г)- Р{г+Дг) = 66,07 долл. 6.2.
6.3. 91,29 долл. (дисконт); 105,94 долл. (премия); 0,00 долл.
6.4. 285,94 долл. (дисконт); 0,00 долл.; 164,17 долл. (дисконт).
6.5. р = 6,364%; г = 6,001%.
6.6. р = 6,662%; г - 7,000%.
6.7. р = 6,937%; г = 6,200%.
ГЛАВА 1
6.8. Указание. Показать, что при / > г
'-ИЇ |
(\tiri |
а/
ГИГ
а при / < г
-КЇ |
НІ |
А. |
КІ |
а/
ГКІ
1,7, Зависимость стоимости купонной облигации от фактора времени
7.1.
Указание. Воспользоваться равенством
Ь„=А |
1- |
м-Х
1 +
т
|
7.2, Указание, Воспользоваться равенством
П ^Л
1+^ т
Число купонных выплат (л) | Размер премии (П„), долл. | Изменение премии (Пя-П^), долл. | Число купонных выплат (к) | Размер премии (П„),долл. | Изменение премии долл. |
10 | 134,20 | 9,26 | 4 | 66,24 | 14,70 |
9 | 124,94 | 10,01 | 3 | 51,54 | 15,87 |
8 | 114,93 | 10,80 | 2 | 35,67 | 17,15 |
7 | 104,13 | 11,67 | 1 | 18,82 | 18,52 |
6 | 92.46 | 12,61 | 0 | 0,00 | - |
5 | 79,85 | 13,61 |
7.3. П*0 = 134,20долл., П* =124,94долл., П^-П* =9,26долл.; Пи-196,36долл., П^ = 192,07 долл., П^-0^=4,29 долл.
7.4. = 137,65долл., Вы = 134,06 долл., /)3А0- 3,59 долл.;
= 150,46 долл., = 148,46долл., О^-О^ = 2,00долл.
7.5. 1026,98 долл., 1032,93 долл., 1036,92 долл., 1040,93 долл.
7.6. 1085,06 долл., 5 долл.
1.8. Дюрацнн и выпуклость облигации
1- |
ГЛАВА 1 |
8.1.
'л | ПУ2(С,,) = сь | р | ПУ2(С, ) "од = 9,201; 2а) Д0,1) = 914,20457 долл.; ДО,08) = 1098,96387 долл.; £>2°л = 9,2380; С2М0Д = 131,6844; 26) ДО,092) = 981,85815 долл.; ДО,082) = 1018,66726 долл.; г>2мод = 9,202; СГД =131,354. 11.4. При увеличении внутренней доходности цеиа облигации упадет иа 0,995%; при уменьшении внутренней доходности цена облигации возрастет на 2,02%. 11.5. Прн увеличении безрнскоцых процентных ставок на 40 б.п. стоимость облигации приближенно будет равна 920,63 долл., а прн уменьшении на 50 б.п. - 989,60 долл. 11.6. Р = 105,7294 долл.; г = 8,288%; = 3,4024 D£m(r)=3,267, Cf4H(r) = 14.5096, С:м+(0,02) = 105,0417; (0,02) = 106,4227; /)2М0Д = 3,265; С2И0Д =13,241. 11.7. Указание. Воспользоваться равенством Duoa(r + Ar) т O^VH^^V))2 -Смод(г)]лг = 3,8416. Модифицированная дюрацня уменьшится на 0,0084. 11.8. Увеличится на 33,82. д р д р' 11.9. Указание. АР-&Р'= -(DP-D^)&r< При Р' = -^гР АР « АР' для любых Аг. D 11.10. Указание. Воспользоваться решением задачи 11.9. А = 2000 долл. 1.12. Доходность портфеля облигаций 12.1. П = 2370 долл., 2(П) = 1,9626, С2( П) = 5,4286, />Г< П) = 1,874, С?м< П) = 4,947; б) при увеличении внутренних доходностей на 60 б.п. стоимость портфеля упадет на 1,116%, а прн уменьшении на 60 б.п. стоимость портфеля возрастет на 1,133%. 13.4. £>,мол = 0,4902, СГЛ = 0,4806; Д2МОД = 0,9756, С2М(Щ = 1,4277; = 2,1647, СГД = 5,9840; ДВЇ(П) = 1,917, СВЭ(П) = 5,092, 13.5. А (П) = 2,677«, С, (П)«13,5556, ^=-2,42%. it 13.6. 25% средств должно быть инвестировано в облигации первого вида, 75% средств - в облигации второго вида. 13.7. 1) Достаточно решить задачу линейного программирования: / = 4о), 4 8^ +16о)3+36й>4 (шах); fi>!+4 =3,6; 0)( £0, щ £0, 4 £0. | £ Решение: соt — —; щ =0; й>г =0; й>4 = 2) Достаточно решить задачу линейного программирования: / - 4wt + 8й)2 + 16й)3 + 36й)4 (шах); 12щ +24 = 3,6; Щ £0, ф2 äO, 0£O>4 50Д Решение: I 2 13.8. а) а>\ « а>2 = 0, а>3«0, а>4=0, в>5--; з 3 6)W] = w2 s * 1,359, С2МШЧП)~ 2,806; в) Дг = 0,005, ^ = -0,00676; Д/ =-0,005, ^ = 0,00683; Д/* = 0,01. - = -0,01310; Дг = -0,01, ^ = 0,01373. п а Ф доходность, % а) внутренняя доходность портфеля облигаций -9,164%; средневзвешенная доходность портфеля облигаций - 8,966%; б) /)"оа(П> = 1,364, С3М0Я(П) = 2,824; в) *>ВЗ(П) = 1,360, С"(П) = 2,806; г)приДг = 0,005 ^ = -0,00678; при Дг =-0,005 ^ = 0,00686. 1.14. Иммунизация портфеля облигаций 14.1. Планируемая стоимость инвестиции 10 000 (1 + 0,08)3 = 12597,12. а) ДОЛЛ. с) 2,0 3,0 660; 110*i s440; >0, *2 >0. Решение: = 4, х2 = 4,4, /= 1060. б> / = 100*,+150*2 (min); 10*,+ 50*2 S260 + F,; Fl (1,05)+10*, +150*2 £ 660 + F2; F| (1,05)+ П0*| 2440; *2 >0. F, >0, F2 £0. Решение: = 0, *2 = 6,6768, F, = 419,05, F2 = 73,84,/= 1001,52. 15.2. а)*,5, х2 = 5, *3 = 1, /= 1030; б) *[ = 0, *2 = 0, = 11,132, F, = 913,2231, F2 = 454,5454. 15.3. *, = Ю, *2 = 23,7914, *3 = О, F, = 375,8278, ¥г = 0, /= 6558,28. 279 I лава i I ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ____________________________ 15.4. / = 1(%, + 92^-100^-92*2 (max); 10*, +100^ > ÎO^+IOO^ +Ft; l,lFj+100jc, felOO^; Xi £0,0^, $2,0 0. x2 > 0,0 £ y: £ 4,0 £ y2 < 4. Решение: = 4,036, x2 = 0, y^ = 0, y2 = 4, Fx = 363,64,/= 26,76. 1.16. Реализуемая доходность управляемого нортфеля облигаций 16.1. Д, = 0,04, т.е. 4%; R2 = 0,03980, т.е. 3,980%; Д3 = 0,01847, т.е. 1,847%; R4 = -0,00871, т.е. -0,871%; Д5 = 0,00096, т.е. 0,096%. 16.2. R = 0,294%. 16.3. Указание, ГЛАВА 1 «(Г-О МТ-1о) т кг-и 16.5. Указание. Воспользоваться результатами, полученными в задаче 16.4. (■•С-КГКГ-КГ 1 + т т _ 1 Я,+Д2+2 =0,823701. в) доходности (Дг), % 1.17. Темп инфляции. Номинальная н реальная внутренние доходности облигаций 17.1. 11,87%. 17.2. а) 6,84%; б) 3,89%. 17.3. 9,49%. 17.4. 5,40%. 17.5. 1) гном = 11,972%, г^ = 6,64%; 2) Гшял = 10,681%, г^ = 5,41%; 3) гном = 13,005%, греш1 = 7,62%. 17.6. г^ = 2,42%. 17.7. Гр^ = 7,581%. П.8. = 5,18%. ".9. = 3,058%; 1С = 6,977%; = 2,826%. 1.18. Внутренняя доходность облигации с учетом налогоа 18.1. Р = 917,77181 (1-а) = 100(1 -0,25) = 75, А-(А-Р)р = 1000-(1000- 917,7718) 0,3 = 9753316, / = 9,01%, г »8,90%. 18.2. г =7,46%, г * 7,30%. 18.3. а) 4м = 6+97%, г^ =2,86%; б)^=5,99%, г^ = 1,91%; в) гнои =5,01%, Гртал =0,97%. 18.4. Р2 = 106,50 долл., г2'= 5Д1%> 5%, Рекомендовать инвестору вторую облигацию. 18.5» Р2 = 936,60 долл. а) г2 =8,034%, г2' > 8%. Рекомендовать инвестору вторую облигацию. б) rj = 7,045%, г'г < 8%. Рекомендовать инвестору первую облигацию. 18.6. Р = 961,10 долл,, /=7,15%, ^ = 3,03% ГЛАВА 2 2.1. Ожидаемая доходность и дисперсия доходвости одной ценной бумаги 1*1. = 40 долл.; а) у= 50 + 2 • 1,05 + 2 = 54,10 долл., г = 16,30%; б) V - 50 + 2 - 1,2 + 2 = 54,40 долл., г = 16,62%. 1.2. К0 = 50 долл.; а) У= 55 + 1,5 ■ —, 110 Указание. Воспользоваться равенством ЗП (0|,©2)={(а111и1 (г), г)}. 7.7. 1. 08,0(2
|