<<
>>

Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью «Portfolio Selection», которая легла в основу теории инвести­ционного портфеля[1]. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е.
полученный в результате инвестирования доход не реинвести­руется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марко­вица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реаги­рует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величи­нами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой порт­фель, оценивает лишь два показателя Е(г) - ожидаемую доходность и О - стандартное отклонение как меру риска (только эти два пока­зателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оце­нить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и вы­брать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность г при допус­тимом значении риска О. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения «доход­ность-риск».

Эффективные портфели. Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально воз­можную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем преж­де всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при

одних и тех же значениях Р1 2 разным портфелям соответствуют

разные величины О, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля.

Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корре­ляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, ..., п), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя «вес» каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соот­ветствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходно­сти Е(гл) и риска (стандартное отклонение Од). Перенеся эти соот­ношения на координатную плоскость с осями Е(г) и О, получим точ­ку А с координатами [Е(гл); Ол] на рисунке 7.1.

Заштрихованная площадь Б представляет зону возможного сущест­вования портфелей, создаваемых из п выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным «ве­сом» каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доход­ности и риска (например, точка N на рис. 7.1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвесто­ром, путем варьирования их «веса» можно получить бесконечное ко­личество портфелей[2]. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 7.1), то получим совокупность точек - зону, опреде­ляющую все возможные портфели для выбранного количества цен­ных бумаг.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфе­лей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сво­дится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при ка­ждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожи­даемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал п ценных бумаг со своими характеристиками [Е(г^; СТр СТ’; р’, где Й = 1,2,..

,,п], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 7.1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил ин­вестор (например, Е(гт) на рис. 7.1), всегда путем перебора весов цен­ных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уро­вень риска достигает минимального значения (на рис. - точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности - на рис. 7.1 это линия И. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх-вправо вели­чины Е(г) и СТ увеличиваются, а при движении вниз-влево - умень­шаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обес­печивает минимальный риск при заданной величине Е(г) и макси­мальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказыва­ет степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг - чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффи­циент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - измене­ния количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов - ин­вестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена пу­тем диверсификации, называется диверсифицируемым, или не­систематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся ди­версификацией, носит название недиверсифицируемого, или сис­тематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эффектив­ных портфелей. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бес­конечное число портфелей, или, иными словами, можно сформули­ровать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бес­конечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи Е(гп) не­обходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уро­вень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к сле­дующему:

- необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля

~ П п п

О п = 2 ^2 О 2 +22 ; о ■ (7.1)

!=1 1 )

- при заданных начальных условиях:

Е(гпортфеля) = 2 ^ Е(г;) (7.2)

1=1

22 = 1 (7.3)

1=1

Существуют три способа решения подобного рода задач - графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необхо­димо учитывать, что при п > 3 этот способ мало применим, посколь­ку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко ис­пользуется на практике. Наконец, с помощью специальных про­грамм можно решать подобные задачи с дополнительными началь­ными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфе­ля, содержащего п ценных бумаг, необходимо первоначально вы­числить:

а) п значений ожидаемой доходности Е(гі), где і = 1, 2,., п ка­ждой ценной бумаги в портфеле;

б) п значений дисперсий О2і каждой ценной бумаги;

в) п(п-1)/2 значений ковариации Оі,|, где і,і = 1, 2,., п.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения Е(гі), Оі и Оі,| в уравнения (7.1) - (7.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - «веса» каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из п акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* ин­вестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвести­ционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для вы­бранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы ин­вестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Нахождение оптимального портфеля. В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы со­четание ожидаемой доходности Е(г) и уровня риска О портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания Е(г) и О, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об опти­мальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо ин­дивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоре­тически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптималь­ный портфель непременно является эффективным, то есть инве­сторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

7.2.

<< | >>
Источник: Максимова В.Ф.. ИНВЕСТИЦИИ. Учебно-методический комплекс. - М.: Изд. центр ЕАОИ. - 182 с. 2008

Еще по теме Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица:

  1. Тема 7. Методы оптимизации инвестиционного портфеля
  2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа
  3. Оптимизация портфеля с помощью модели CAPM
  4. 2.Теория портфеля (Гарри Марковиц "A Portrfolio Selection",1952 г.)
  5. 11.1. Инвестиционный портфель: понятие, виды, цели формирования инвестиционного портфеля
  6. § 4. Модель «доходность-риск» Марковица
  7. Оптимизация портфеля из п разновидностей ценных бумаг
  8. Оптимизация портфеля из рискового и безрискового активов
  9. Математическое приложение 1: Оптимизация структуры портфеля из п разновидностей рисковых ценных бумаг
  10. 11.4. Оптимальный инвестиционный портфель
  11. Принципы и последовательность формирования инвестиционных портфелей
  12. Виды инвестиционных портфелей