Модель Блэка-Шоулза для определения стоимости опциона
рон Шоулз разработали точную модель определения стоимости опциона в условиях
рыночного равновесия2 . Эта модель опирается на рассмотренное выше
понятие хеджирования.
Блэк и Шоулз исходят из следующих предпосылок:• опцион может быть исполнен только в срок истечения (т.е. рассматриваются
лишь европейские опционы);
я операционные издержки отсутствуют;
В конкуренция на рынке носит совершенный характер;
• дивиденды по обыкновенным акциям не выплачиваются;
• краткосрочная процентная ставка, по которой участники рынка могут
как занимать, так и ссужать деньги, известна;
а курс обыкновенных акций изменяется случайным образом.
С учетом этих допущений можно определить равновесную стоимость опциона.
При несовпадении фактической цены опциона и цены, заданной моделью, можно
создать безрисковую хеджированную позицию и получить доходность сверх краткосрочной
процентной ставки. В дальнейшем, по мере того как на сцену выходят
арбитражеры, избыточная доходность в конечном счете будет уменьшаться, и цена
опциона сравняется со стоимостью, заданной этой моделью.
Для иллюстрации хеджированной позиции допустим, что зависимость между
стоимостью опциона и курсом акций корпорации XYZ такая, как показано
на рис. 22А.З.
Рис. 22А.З. Зависимость между стоимостью опциона и курсом акций корпорации
XYZ
2 Fischer Black and Myron Scholes, 'The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political
Economy 81 (May-June 1973),p. 637-654.
1020 Часть VIII. Специальные области финансового менеджмента
Далее предположим, что текущая рыночная цена обыкновенной акции равна
20 долл., а цена опциона — 7 долл. При цене 20 долл. за акцию коэффициент наклона
кривой рыночной стоимости (market value line) (см.
рис. 22А.З) приближенноравен 0,5 (отношение стоимости опциона к цене акции равно 1/2). Наклон
определяет соответствующую хеджированную позицию. Следовательно,
в этой конкретной ситуации хеджированная позиция может быть создана покупкой
одной акции за 20 долл. и продажей двух опционов по 7 долл. каждый.
Количество "чистых денег", инвестированных в эту хеджированную позицию,
равняется: 20 долл. - 2(7 долл.) = 6 долл.
Комбинация "длинной позиции" (с одной обыкновенной акцией) и "короткой"
(с двумя опционами), по существу, ограждает нас от риска. Если курс обыкновенной
акции немного падает, то стоимость опционов в "короткой позиции" возрастает
приблизительно на то же значение. Мы говорим приблизительно, поскольку
с изменением цены обыкновенной акции (во времени) изменяется и теоретический
коэффициент хеджирования опциона. Например, с ростом курса обыкновенной
акции наклон кривой рыночной стоимости на рис. 22А.З увеличивается. В результате
необходимо продать меньше опционов. Если же цена обыкновенной акции
падает, то наклон кривой уменьшается, и для сохранения достигнутого уровня
хеджирования нужно продать больше опционов. В дополнение к изменению наклона
кривой, вызванного изменением цены акций во времени и приближением
даты истечения, сама кривая становится более пологой (см. рис. 22А.1).
Таким образом, для поддержания безрисковой хеджированной позиции
"короткую позицию" по опционам необходимо постоянно корректировать
в зависимости от изменений цены обыкновенных акций и с течением времени.
Это возможно благодаря допущениям модели. Но в реальной жизни из-за
операционных издержек постоянно корректировать "короткую позицию" невыгодно.
Однако даже в этом случае риск, возникающий в результате умеренного
колебания курса обыкновенных акций или носящий временной характер,
будет небольшим. Более того, его можно диверсифицировать и поддерживать
безрисковую хеджированную позицию.
Арбитражные операции гарантируют,что доходность в занятой позиции приближается к уровню краткосрочной
безрисковой процентной ставки.
Точная формула модели Блэка—Шоулза и ее значение. В рассмотренном
контексте равновесная стоимость опциона V0, которая дает его держателю
право приобрести одну акцию, согласно модели Блэка-Шоулза, должна иметь
такой вид:
У0=(Р5)[М&))-(Е/е"){Ы&)), (22А.2)
где Ps — текущий курс обыкновенной акции, лежащей в основе опционного
контракта;
Е — цена исполнения опциона;
е = 2,71828 — основание натурального логарифма;
г — краткосрочная, начисляемая по формуле сложных процентов, безрисковая
годовая процентная ставка;
t — период времени до даты истечения опциона (в годах);
Глава 22. Конвертируемые ценные бумаги, обмениваемые ценные бумаги,,, 1021
N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной
будет меньше, чем d , равное:
где In — натуральный логарифм;
a — стандартное отклонение годовой доходности акции, начисляемой по
формуле сложных процентов.
Значение этой формулы состоит в том, что стоимость опциона является
функцией от краткосрочной безрисковой ставки процента; времени до даты истечения
и дисперсии доходности акции. При этом стоимость опциона не зависит
от ожидаемой доходности акции. Стоимость опциона, в соответствии с формулой
(22А.2), увеличивается по мере увеличения периода времени до даты истечения
t, стандартного отклонения, а (риска акции), и краткосрочной безрисковой
процентной ставки, г. Причины этих связей были описаны выше.
В формуле нам известны текущая цена обыкновенной акции, время до даты
истечения, цена исполнения и краткосрочная процентная ставка. Ключевой неизвестной
величиной является стандартное отклонение годовой доходности обыкновенной
акции. Ее следует вычислить. Обычный способ состоит в использовании
прошлой изменчивости доходности обыкновенной акции для прогноза ее будущего
значения. Блэк и Шоулз, также как другие ученые, довольно успешно проверили
данную модель, используя значения стандартных отклонений доходности, вычисленные
на основе прошлых данных. Используя уравнение для определения
стоимости опционов, Блэк и Шоулз получили коэффициент хеджирования
(hedge ratio) — отношение обыкновенных акций к опционам, необходимое для
сохранения полностью хеджированной позиции. В уравнении это — определенное
ранее N(dA. Таким образом, модель Блэка-Шоулза позволяет количественно
определить различные факторы, влияющие на стоимость опциона. Как
мы видели, ключевым из них является оценка будущей изменчивости доходности
обыкновенных акций.
Еще по теме Модель Блэка-Шоулза для определения стоимости опциона:
- 17.3.2. Применение формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реальных опционов
- § 32.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ РЕАЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ НА РАСШИРЕНИЕ БИЗНЕСА
- § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
- 15.5. ДВУХСТУПЕНЧАТАЯ (БИНОМИАЛЬНАЯ) МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ
- 6.3.1. МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ СОБСТВЕННОГО КАПИТАЛА
- 6.3.2. МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ ЗАЕМНОГО КАПИТАЛА
- 6.3. ПОДХОДЫ И МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ КАПИТАЛА
- 14.3. Определение весов для расчета средневзвешенной стоимости капитала
- 107. Метод капитализации доходов для определения стоимости предприятия
- Классификация затрат для определения себестоимости, оценки стоимости запасов и полученной прибыли
- 10.3. Оценка стоимости опционов
- Определение ставки дисконта для дисконтирования бездолговых денежных потоков(метод средневзвешенной стоимости капитала)
- 13.Модель оценки опционов.
- 3.8.8. Определение налоговой базы по налогу на добавленную стоимость при передаче товаров (выполнении строительно-монтажных работ) для собственных нужд
- 8.8. Определение налоговой базы по налогу на добавленную стоимость при передаче товаров (выполнении строительно-монтажных работ) для собственных нужд