<<
>>

Единичные платежи

Будущая (или сложная) стоимость. Для начала рассмотрим ситуацию, когда

мы помещаем на сберегательный счет 100 долл. Если процентная ставка равняется

8%, сколько будут стоить эти 100 долл.

к концу года при условии ежегодного

начисления сложных процентов? Решая эту задачу, мы определяем будущую

_____________стоимость (которую в нашем случае можно назвать также сложной стоимостью),

которая окажется на этом счете в конце года

FV{ = Р0 (1 + г) = $100(1,08) = $108.

Интересно отметить, что сумма за первый год совпадает с суммой, которую мы

получили бы при использовании простых процентов. Но на этом вся простота заканчивается.

Что произойдет, если мы оставим 100 долл. на сберегательном счете на два

года? При использовании сложных годовых процентов, составляющих 8%, начальная

сумма вклада (100 долл.) вырастет к концу первого года до 108 долл. По

Глава 3. Стоимость денег во времени 107

окончании второго года 108 ДОЛЛ. превратятся уже в 116,64 долл., поскольку

8 долл.

в виде процентов начисляются на первоначальные 100 долл., а 0,64 долл.

начисляются на 8 долл. процентов, поступивших на наш счет в конце первого

года. Иными словами, проценты начисляются на ранее начисленные проценты

(отсюда и название — сложные проценты). Таким образом, будущая стоимость

в конце второго года составит:

FV2 = Щ (1 + 0 = (1 + 0(1 + 0 = ^«(1 + О2 -

= $108(1,08) = $100(1,08)(1,08) = $100(1,08)2 -

= $116,64.

По окончании трех лет на нашем счете окажется сумма:

FV3 = FV2(1+0 = 0(1 + 0 = -Ро(1 + О3 ~

= $ 116,64(1,08) = $108(1,08)(1,08) = $ 100(1,08)3 =

= $125,97.

В общем случае, FVn, будущая (сложная) стоимость вклада в конце п периодов

будет равняться:

FVn=P0(\ + i)n (3.4)

или

FV„=P0(FVIFin), (3.5)

где мы полагаем FVIFin, т.е.

коэффициент будущей стоимости при i процентах

для п периодов, равным (1+г')и. Табл. 3.2, в которой показаны значения будущей

стоимости для нашего примера на конец каждого года из 10 последующих

лет с момента помещения 100 долл. на сберегательный вклад, иллюстрирует

концепцию начисления процентов на уже начисленные проценты.

Т а б л и ц а 3.2. И л л ю с т р а ц и я начисления с л о ж н ы х процентов

(первоначальный вклад —100 долл., процентная с т а в к а — 8% годовых)

Год Начальная с у м ма

(долл.)

Проценты, начисленные

за указанный период (8% от первоначальной

суммы) (долл.)

Будущая стоимость

(FV„) (долл.)

1 100,00 8,00 108,00

2 108,00 8,64 116,64

3 116,64 9,33 125,97

4 125,97 10,08 136,05

5 136,05 10,88 146,93

6 146,93 11,76 158,69

7 158,69 12,69 171,38

8 171,38 13,71 185,09

9 185,09 14,81 199,90

10 199,90 15,99 215,89

С помощью калькулятора пользоваться уравнением (3.4) чрезвычайно

просто. Кроме того, таблицы составлены для значений (1+г)я — FVIFjn — для

широкого диапазона i и п. Эти таблицы, называемые соответственно Таблицами

расчета коэффициента будущей (конечной) стоимости (Future Value

Interest Factor, Terminal Value Interest Factor), предназначены для совместного

использования с уравнением (3.5). Табл. 3.3 представляет собой единый

пример, охватывающий различные процентные ставки — от 1 до 15%. Заголовки

Процентная ставка (г) и Период (п) в этой таблице напоминают координаты

на географической карте. Они помогают нам найти соответствующий

коэффициент процентной ставки. Например, коэффициент будущей стоимости

при 8% годовых за девять лет (FVIF8 % 9 ) находится на пересечении столбца,

соответствующего 8%, строки, соответствующей периоду 9, и равняется 1,999.

Это число (1,999) означает, что 1 долл., инвестированный при 8% годовых, при

начислении сложных процентов принесет вам за девять лет примерно 2 долл.;

эта сумма включает первоначальную сумму плюс накопленные проценты.

(Более полная таблица — табл. I — приведена в Приложении, помещенном в

конце этой книги.)

Таблица 3.3. Коэффициенты будущей стоимости для 1 долл.

При использовании ставки / процетов в конце п периодов (FVIFln)

(FVIFJ = (1+/)п

Период(п) Процентная ставка (I)

1% 3% 5% 8% 10% 15%

1 1.010 1,030 1,050 1,080 1,100 1,150

2 1,020 1,061 1,102 1,166 1,210 1,322

3 1,030 1,093 1,158 1,260 1,331 1,521

4 1,041 1,126 1,216 1,360 1,464 1,749

5 1,051 1,159 1,276 1,469 1,611 2,011

6 1,062 1,194 1,340 1,587 1,772 2,313

7 1,072 1,230 1,407 1,714 1,949 2,660

8 1,083 1,267 1,477 1,851 2,144 3,059

9 1,094 1,305 1,551 1,999 2,358 3,518

10 1,105 1,344 1,629 2,159 2,594 4,046

25 1,282 2,094 3,386 6,848 10,835 32,919

50 1,645 4,384 11,467 46,902 117,391 1 083,657

Если МЫ возьмем коэффициенты FVIF для 1 долл. в столбце 8% и умножим их

на 100 долл., то получим числа (если не обращать внимание на некоторые ошибки

округления), которые соответствуют нашим вычислениям для 100 долл. в последнем

столбце табл. 3.2. Обратите внимание и на то обстоятельство, что в строках,

Глава 3. Стоимость денег во времени 109

соответствующих двум и более годам, пропорциональное увеличение будущей

стоимости становится большим по мере возрастания процентной ставки. Эту ситуацию

можно прояснить с помощью подходящего рисунка. На рис. 3.1 мы отобразили

рост будущей стоимости для первоначального вклада, составляющего

100 долл., и процентных ставок 5,10 и 15%. Как видно из этого рисунка, чем больше

процентная ставка, тем круче кривая роста, в соответствии с которой увеличивается

будущая стоимость. Кроме того, чем больше количество лет, на протяжении

которых начисляется сложный процент, тем, очевидно, больше будущая

стоимость.

Рис. 3.1. Будущая стоимость депозита в 100 долл., размещенного под 5,

10 и 15% годовых (начисляются сложные проценты)

Сложный рост. Несмотря на то что до сих пор нас интересовали в основном

процентные ставки, важно также понимать, что рассматриваемая нами концепция

применима к сложному росту любого вида: например, росту цен на бензин, платы

за обучение, корпоративной прибыли и дивидендов.

Допустим, что самые последние

дивиденды, выплачиваемые корпорацией, составляли 10 долл. на акцию, но

мы рассчитываем, что эти дивиденды будут увеличиваться, причем ежегодная

скорость их роста будет равняться 10%. Мы рассчитываем, что в течение последующих

пяти лет дивиденды будут увеличиваться так, как это показано в приведенной

ниже таблице.

Год Коэффициент роста Ожидаемые дивиденды на акцию (долл.)

1 (1,10)1 11,00

2 (1,10)2 12,10

3 (1,10)3 13,31

4 (1,10)" 14,64

5 (1,10)5 16,11

ВОПРОС-ОТВЕТ

В 1790 г о д у Д ж о н Д ж е й к о б А с т о р к у п и л в восточной ч а с т и о с т р о в а Ман-

х э т т е н земельный у ч а с т о к п л о щ а д ь ю п р и м е р н о в о д и н а к р з а 58 д о л л . А с -

тор, к о т о р о г о с ч и т а л и дальновидным инвестором, с д е л а л з а с в ою жизнь

н е м а л о т а к и х покупок. Каким к а п и т а л о м р а с п о л а г а л и бы его потомки

в 2005 году, е с л и бы вместо п о к у п к и земельного у ч а с т к а на Манхэттене,

А с т о р п о м е с т и л свои 58 д о л л . на с б е р е г а т е л ь н ы й в к л а д п о д 5% годовых,

начисляемых в виде с л о ж н ы х процентов?

В табл. I Приложения мы не найдем FVIF для 1 долл, через 208 лет при 5% годовых,

Однако ничто не мешает нам найти ЯУ/Гдля 1 долл. через 50 лет —

11,467— и FVIF для 1 долл. через 15 л е т— 2,079, Это и все, что нам нужно,

Проявив немного смекалки, мы можем решить нашу задачу следующим

образом2,

FV2 i5 = P 0 x ( 1 - H ) 2 1 5

=Р0 х (1+О5 0 х (1 + О5 0 х (1 + /У50 х (1+О6 0 х (1+/)1 5 =

= $58 х 11,467 х 11,467 х 11,467 х 11,467 х 2,079 =

= $58 х 35946,26 = 2084883,08.

Учитывая нынешние цены на землю в центральной части Нью-Йорка, можно

утверждать, что решение Астора о покупке земельного участка площадью

в один акр оказалось весьма дальновидным. Интересно также отметить,

что с помощью весьма несложных рассуждений нам удалось воспользоваться

даже крайне ограниченным объемом данных, приведенных в базовой

таблице.

Аналогично мы можем определить будущие значения других переменных,

рост которых подчиняется закону сложных процентов. Этот принцип оказывается

особенно важным при рассмотрении конкретных моделей определения

стоимости обыкновенных акций, речь о которых пойдет в следующей главе.

Приведенная (или дисконтированная) стоимость. Все мы прекрасно

понимаем, что сегодняшний доллар стоит дороже, т.е. иными словами, его

ценность больше, чем доллар, который мы получим через один, два или три

года. Вычисление приведенной (текущей, современной) стоимости будущих

денежных потоков позволяет нам измерять все денежные потоки с помощью

единой шкалы, на которой все необходимые сравнения производятся в сравнении

с "нынешними" долларами.

Мы используем здесь одно из правил, относящихся к возведению в степень. А именно: Л"*" = Ат хА".

Глава 3. Стоимость денег во времени 111

Уяснив концепцию приведенной стоимости, мы сможем ответить на вопрос,

поставленный в самом начале этой главы: так что же лучше — 1000 долл.

сегодня или 2000 долл. через десять лет?3 Допустим, что вы абсолютно уверены

в том, что получите эти деньги в обоих случаях, а ваши альтернативные

издержки (opportunity cost) использования этой суммы составляют 8% за год

(иными словами, вы могли бы одолжить или, наоборот, занять деньги под 8%

годовых). Текущую стоимость 1000 долл., полученных сегодня, определить

несложно: эти деньги стоят 1000 долл. Однако сколько стоят или, говоря иначе,

во сколько можно оценить сегодня те 2000 долл., которые мы получим

лишь через десять лет? Ответить на этот вопрос можно, сформулировав его

несколько по-другому: какая нынешняя сумма, помещенная под 8% годовых,

дорастет через десять лет до 2000 долл. при условии начисления сложных

процентов? Эта сумма называется приведенной стоимостью (present value)

2000 долл., которые должны быть выплачены через 10 лет и дисконтируемых

по ставке 8%. В задачах о приведенной стоимости (таких как эта) процентную

ставку иногда называют ставкой дисконтирования (дисконта) (или ставкой

капитализации).

Ставка дисконтирования (или ставка капитализации)

(discount rate, capitalization rate)

Процентная ставка, используемая для преобразования (приведения) будущей

СТОИМОСТИ в приведенную СТОИМОСТЬ.

Определение приведенной стоимости (или дисконтирование) — действие,

обратное начислению сложных процентов. Таким образом, нам нужно сначала

вернуться к уравнению (3.4)

FVn=P0(l + iy.

Решим это уравнение относительно приведенной стоимости:

PV0=P0=FVn/(l+iy

= FVn[l/(l + i)"]. (3.6)

Tc-c-c! Хотите удвоить свои сбережения?

"Правило 72" подскажет, как этого добиться

Б И Л Л В И К однажды купил Chicago White Sox за 10 млн. долл., а через пять лет продал

за 20 млн. долл. Короче говоря, он удвоил свои сбережения. Чему равнялась ставка

доходности его инвестиций, рассчитанная по методу сложных процентов?

Быстрый способ решения задач со сложными процентами, касающихся удвоения

капитала, основывается на так называемом "Правиле 72". Это правило гласит: если

72 разделить на количество лет (п) в течение которых деньги будут находиться на

депозите, то мы получим приблизительное значение процентной ставки, i, которое

Как альтернативный вариант мы могли бы рассматривать это как задачу о будущей стоимости.

Для этого нам следовало бы сравнить будущую стоимость 1000 долл. (при начислении в течение

10 лет 8% годовых по методу сложного процента) с будущей стоимостью 2000 долл.

112 Часть II. Оценка активов

требуется для того, чтобы величина ваших сбережений удвоилась. В случае Вика

это правило дает следующий результат:

72/г = п

или

72/5 = 14,4%.

И наоборот, если бы Вик взял свои первоначальные сбережения и поместил их на

сберегательный счет под 6% годовых, начисляемых по методу сложных процентов,

ему пришлось бы ждать примерно 12 лет, чтобы его сбережения удвоились:

72/г = п

или

72/6 = 12 лет.

Действительно, для большинства процентных ставок, с которыми нам приходится

иметь дело, "Правило 72" обеспечивает надежное приближенное значение процентной

ставки — или количества лет, — требующихся для удвоения ваших сбережений.

Но полученный ответ не является точным. Например, удвоения денег за пять лет

можно было бы добиться при 14,87% годовых, начисляемых по методу сложных

процентов [(1 + 0Д487)3 = 2]; "Правило 72" гласит — 14,4%. Кроме того, для удвоения

денег, вложенных под 6% годовых, на самом деле требуется лишь 11,9 года

[(1 + 0,06)11,9 = 2]; а в соответствии с "Правилом 72" — 12. Однако аппроксимация,

обеспечиваемая "Правилом 72", оказывается весьма близкой к точным значениям

и в большинстве случаев ее может оказаться вполне достаточно.

Обратите внимание: член [l/(l+z)?2] представляет собой величину, обратную

коэффициенту будущей стоимости при i% для п периодов (FVIFjn). У этой обратной

величины есть свое собственное название: коэффициент приведенной стоимости

при i% для п периодов (PVIFJ). Воспользовавшись этим обозначением,

можно переписать уравнение (3.6) в следующем виде:

PV0=FVn(PVIFin). (3.7)

Таблица для нахождения приведенной стоимости, содержащая значения

PVIFin для широкого спектра процентных ставок и временных периодов, избавляет

нас от необходимости выполнять вычисления, предполагаемые уравнением

(3.7), каждый раз, когда нам приходится решать задачу нахождения

приведенной стоимости. Табл. 3.4 представляет собой сокращенную версию

подобной таблицы. (Табл. II Приложения, помещенного в конце книги, является

более полной версией.)

Теперь мы можем воспользоваться уравнением (3.7) и табл. 3.4, чтобы найти

приведенную (современную) стоимость тех 2000 долл., которые мы получим

через 10 лет, при дисконтной ставке 8%. Пересечение столбца 8% и строки

Период 10 лет в табл. 3.4 указывает значение PVIFS%10, равное 0,463. Это говорит

о том, что 1 долл., полученный через 10 лет, сегодня обойдется нам в 46

центов. Имея в своем распоряжении эту информацию, получаем:

PV0=FVl0(PVIF&xw)

= $2000(0,463) = $926.

Глава 3. Стоимость денег во времени 113

Понятно, что, сравнивая вычисленное нами значение приведенной стоимости

(926 долл.) с 1000 долл., которые можно получить уже сегодня, следует отдать

предпочтение последнему варианту. В этом случае наш выигрыш составит

74 долл. (1000 долл. - 926 долл.).

Можно сказать, что дисконтирование будущих денежных потоков очень напоминает

процесс уравновешивания условий (handicapping). Иными словами, мы

подвергаем будущие денежные потоки (как поступления, так и расходы) определенному

обесцениванию (определяемому математическим способом) относительно

тех долларов, которые мы держим в руках. Например, в только что рассмотренной

нами задаче мы обесценивали каждый будущий доллар в такой мере, что его

сейчас можно оценить лишь в 46 центов. Чем больше мы обесцениваем будущий

денежный поток, тем меньше соответствующий коэффициент приведенной

стоимости (PVIF). Рис. 3.2 иллюстрирует комбинированное влияние времени

и ставки дисконтирования на приведенную стоимость.

Рис. 3.2. Приведенная стоимость 100 долл. при ставках дисконтирования

5, 10 и 15%

На этом рисунке в графическом виде показано, как изменится приведенная

стоимость 100 долл., получаемых через 1-10 лет при трех разных ставках дисконтирования:

5, 10 и 15%. Из рисунка следует, что приведенная стоимость

100 долл., получаемых в будущем, уменьшается, становясь тем меньше, чем

в более отдаленном будущем мы получим соответствующую сумму. Конечно,

чем выше процентная ставка, тем меньше приведенная стоимость, но, наряду

с этим, тем более ярко выраженный криволинейный характер имеет рассматриваемая

нами зависимость. При 15%-ной ставке дисконтирования 100 долл.,

полученные через 10 лет, будут оцениваться сейчас лишь в 24,70 долл., или

около 25 центов за каждый будущий доллар.

Т а б л и ц а 3.4. К о э ф ф и ц и е н т ы приведенной с т о и м о с т и 1 д о л л . п р и / п р о ц е н т а х

д л я п п е р и о д о в (PVIFJ

(PVIFJ = 1/(1 +;)"

Период(п) Процентная ставка (/)

1% 3% 5% 87. 10% 15%

1 0,990 0,971 0,952 0,926 0,909 0,870

2 0,980 0,943 0,907 0,856 0,826 0,756

3 0,971 0,915 0,864 0,794 0,751 0,658

4 0,961 0,888 0,823 0,735 0,683 0,572

5 0,951 0,863 0,784 0,681 0,621 0,497

6 0,942 0,837 0,746 0,630 0,564 0,432

7 0,933 0,813 0,711 0,583 0,513 0,376

8 0,923 0,789 0,677 0,540 0,467 0,327

9 0,914 0,766 0,645 0,500 0,424 0,284

10 0,905 0,744 0,614 0,463 0,386 0,247

ВОПРОС —ОТВЕТ

Как о п р е д е л и т ь б у д у щ у ю (приведенную) с т о и м о с т ь инвестиции применит

е л ь н о к п р о м е ж у т к у времени, с о д е р ж а щ е м у н е ц е л о е количество периодов

(например, 1,25 г о д а ) ?

Это очень просто. Все, что от нас требуется, — изменить формулу для определения

будущей (приведенной) стоимости, чтобы она включала десятичную

дробь, Допустим, вы помещаете 1000 долл. на сберегательный счет под 6%

годовых, начисляемых по методу сложных процентов, и хотите забрать свой

вклад через 15 месяцев (т.е. через 1,25 года). Поскольку FVn = Р0(1 + 0", то через

15 месяцев вы снимете со своего счета следующую сумму:

FV1 2 6 =$1000(1 + 0, Об)1 2 5 =$1075,55,

Неизвестная процентная (или дисконтная) ставка. Иногда, анализируя

зависимость стоимости денег от времени, мы сталкиваемся с ситуациями, когда

известны будущая и приведенная стоимости, а также количество интересующих

нас периодов времени. Однако мы не знаем, какая ставка применяется

в данной ситуации для начисления сложных процентов.

Допустим, что, инвестировав сегодня 1000 долл., ровно через восемь лет вы

получите 3000 долл. Ставку, которая используется в данной ситуации для начисления

сложных процентов (или дисконтирования), можно найти, преобразовав

базовое уравнение для будущей (приведенной) стоимости. Воспользовавшись,

например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

FVs=P0(FVIFiS)

$3000 = $1000(/УЩ8 )

/=УЩ8=$3000/$1000 = 3.

Просматривая в табл. 3.3 строку, соответствующую восьмилетнему периоду,

находим коэффициент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному

нами значению — 3. Ближайшим к числу 3 значением коэффициента

будущей стоимости является 3,059, которое мы находим в столбце, соответствующем

15%. Поскольку 3,059 несколько больше, чем 3, мы приходим к выводу,

что процентная ставка в рассматриваемой ситуации на самом деле должна

быть несколько больше 15%.

Чтобы получить более точный ответ, нам надо учесть то обстоятельство, что

FVIFiS можно также представить в виде (1 + г)8 и найти г непосредственно как

(1 + г ) 8=3

(1 + г) = 3 1 / 8 = 3 0 д 2 5 =1,1472

г = 0,1472.

(Примечание. Решая это уравнение относительно г, мы сначала должны

возвести обе части уравнения в степень 1/8, или 0,125. Чтобы возвести 3 в

степень 0,125, мы используем клавишу [ух] на карманном калькуляторе, вводя

3, нажимая клавишу [ух], вводя 0,125 и, наконец, нажимая клавишу [=].)

Неизвестное количество периодов начисления сложных процентов (или

дисконтирования). Иногда нам требуется знать, сколько понадобится времени,

чтобы некоторая сумма, инвестированная сегодня, достигла определенной будущей

стоимости при заданной ставке начисления сложных процентов. Сколько, например,

понадобится времени, чтобы инвестиция в размере 1000 долл. выросла до

1900 долл. при условии начисления сложных процентов с 10%-ной ставкой? Поскольку

нам известна будущая и приведенная стоимость данной инвестиции, количество

периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования), п, используемое

в этой инвестиционной ситуации, можно определить, преобразовав базовое

уравнение для будущей или приведенной стоимости. Воспользовавшись,

например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:

FVn=PQ(FVIFi0%n)

$1900 = $ 1 0 0 0 ( i W 1 0 % „ )

FVIFiQ%n =$1900/$1000 = 1,9.

Просматривая в табл. 3.3 столбец, соответствуюпгий 10%, находим коэффициент

будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному нами значению — 1,9.

Ближайшим к числу 1,9 значением коэффициента будущей стоимости является

1,949, которое мы находим в строке, соответствующей семилетнему периоду. Поскольку

1,949 несколько больше, чем 1,9, мы приходим к выводу, что количество

периодов начисления процентов в рассматриваемой ситуации на самом деле

должно быть несколько меньше семи лет.

116 Часть II. Оценка активов

Чтобы обеспечить большую точность, представим FVIF10%n в виде (1 + 0,10)я и

решим соответствующее уравнение относительно п:

(1 + 0,10)" =1,9

и(Ы,1) = Ы , 9

п = (In 1,9) / ( I n 1,1) = 6,73 года.

Чтобы решить это уравнение относительно п, которое в преобразованном нами

уравнении имеет вид показателя степени, воспользуемся маленькой хитростью.

Мы берем натуральный логарифм (In) обеих частей нашего уравнения. Это позволяет

нам решить уравнение в явном виде относительно п. (Примечание. Чтобы

разделить (In 1,9) на (In 1,1), мы следующим образом используем клавишу [LN] на

карманном калькуляторе: вводим 1,9, нажимаем клавишу [LN], затем нажимаем

клавишу [+]; после этого вводим 1,1, еще раз нажимаем клавишу [LN] и, наконец,

нажимаем клавишу [=].)

<< | >>
Источник: Ван Хорн Дж.К., Вахович Дж.М.. Основы финансового менеджмента. 12-е изд. - М.: "И.Д. Вильямс", — 1232 с.. 2008

Еще по теме Единичные платежи:

  1. § 2. Единичное действие
  2. Избегайте единичной продукции
  3. 10.3.4. Сроки уплаты авансовых платежей по ЕСН Авансовые платежи в IV квартале
  4. 12.3. Система платежей из прибыли в бюджет Платежи из прибыли: размер и классификация
  5. 2.2.2. Характеристика и порядок взимания платежей за пользование недрами Разовые платежи за пользование недрами
  6. Проверка расчетов с бюджетом по видам налогов и внебюджетных платежей. Проверка правомерности использования льгот по налогам и внебюджетным платежам
  7. § 6. Порядок исчисления налога на прибыль и авансовых платежей. Сроки и порядок уплаты налога и авансовых платежей
  8. § 6. Порядок исчисления налога на прибыль и авансовых платежей. Сроки и порядок уплаты налога и авансовых платежей
  9. Системы онлайновых платежей.
  10. Авансовые платежи
  11. Очередность платежей
  12. Средство платежа
  13. 8.10.Коммунальные платежи
  14. УСЛОВИЯ платежа
  15. 38. ПЛАТЕЖИ ЗА ПОЛЬЗОВАНИЕ НЕДРАМИ
  16. Таможенный платеж