<<
>>

7.3. Современная ценность различных рент

Рассмотрим современную ценность финансовых рент различного ви­да: с начислением процентов в конце года, т раз в год, с непрерывным начислением процентов, вечной ренты.

7.3.1. Ренты с начислением процентов в конце года Годовая рента

Современная ценность этой ренты определяется по формуле (7.2), где п — число лет, і — годовая ставка сложных процентов.

р-срочная рента

Используя формулы (3.3) и (6.6), находим современную ценность РУ этой ренты:

РУ = Я (1 + і)-" = Д8"?((1 + і)-" =

= д (1 + ')",-1 (1 + ,Г"=Д-1-(1 + 'Г'

р[(1 + г)р-1] р[(1-И)р-1]

Введем обозначение:

(р) _ 1 — (1 + г)~п

ап;г ~ I

р[( 1 -И)р - 1] Тогда формула для РУ принимает вид:

РУ = дай. (7.3)

(р)

Коэффициент а„.\ можно представить в виде произведения: Ар) _!-(! + г)~п „ г

р[(1 + г)р - 1]

то есть верна формула:

ай = ащ гкр; г, (7.4)

где Кр;г — коэффициент, определяемый формулой (6.7). Следовательно, значения множителя а^г можно вычислять, используя таблицу значений ап; г (Таблица 3) и таблицу значений Кр; г (Таблица 4).

Рента с периодом больше года

Используя формулу (3.3) и выражение для наращенной суммы 5, по­лученное при выводе формулы (6.8), найдем значение современной цен­ности этой ренты:

(1 + г)п — 1

РУ = 5(1 + = 1 + гГп =

1 — (1 + г)~п г (1 + г)- - 1 •

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на г, получим:

1 - (1 + 1)~п ру = Кг „ . .Ь . = д йга;г

(1 + ІГ-1 ^ 8г;г

Итак, современная ценность ренты с периодом больше года равна:

ру = кг . (7.5)

г

Для вычисления современной ценности ренты по формуле (7.5) можно использовать Таблицу 2 и Таблицу 3.

7.3.2. Ренты с начислением процентов т раз в год Годовая рента

Используя формулу (3.4) и выражение для наращенной суммы 5, по­лученное при выводе формулы (6.9), находим значение современной цен­ности этой ренты:

/ / \ пт \ —пт I 1 + ] — 1 / \ —пт

РУ = 5( 1 + ^] =К\------------------------------ (і +

т

т

т) + -1 V т

, —пт

— пт

Зт

Зт

1 - 1 + К 1 т

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на ]т/ш, получим:

1- 1 + ^

. Зт

т

ь а

РУ = Я—--------- ^--------------- =

гп

1 + ^1 - 1 8т-М

т

У

т

Итак, современная ценность рассматриваемой ренты может быть вычис­лена по формуле:

а згп

8т; Іж

р-срочная рента

Применяем формулу (3.4) к наращенной сумме 5, полученной при вы­воде формулы (6.10):

( \ пт

л \ —пт т) 1 + — 1 / \ — пт

РУ = 3[ 1 + ^) = т) т---- 1 + ^

т) р (1 , іггАТ _ 1 V т

ті

— пт

К 1 - (1 + %)

х т

— пт

Зт

V +

Разделив числитель и знаменатель на ]т/ш, получим:

1- 1 + ^

т



т

т .

Зт р ' т

Ті 1ж Р о РУ = -Х- ^ =

V + р — 1 р 8

т



Итак, современная ценность ренты в данном случае равна:



К а

РУ = -х ' т . (7.7)

Р Зт

р ' т

Частный случай р-срочной ренты при р = т

В п. 6.4 было показано, что ^т/т = 1, поэтому формула (7.7) при­нимает вид:

а

ру = д гьш-, —

т

Рента с периодом больше года

Применяем формулу (3.4) к наращенной сумме 5, полученной при вы­воде формулы (6.12):

( \ пт

л \ —пт 1 -I- — \ / л \ —пт

, —пт

Зт

ру = 3[ 1 + Щ = дД-------------------- ^Гг--------- 1 + -

т ; гп

1- 1 + ^ V т

. тг

, —пт

Зт

го

1 + 2™ _ 1

Разделив числитель и знаменатель на ^т/т, получим:

Зт &

—- ^ пт: -

т _ ТУ ' т

1 - Г1 +

■Р ^^ — / . \ тт —

1 + ) - 1 ^г; ^

т. I ' т

Зт

т

Итак, современная ценность ренты в данном случае равна:

РУ = Ег Пт' т (7>9)

£ 7 т

тг; 41111

' т

7.3.3. Рента с непрерывным начислением процентов Годовая рента

Применяя формулу (3.6) к наращенной сумме, которая вычисляется по формуле (6.13), получаем современную ценность рассматриваемой ренты:

.. е*п _ 1 ^ 1 _ е

РУ = Бе~&п = К ----------- е~6п = Д —г-------- .

е* - 1 е* - 1

Итак, современная ценность ренты равна:

1 _ е —

РУ = К—Л--------- . (7.10)

е*- 1

р -срочная рента

Применяя формулу (3.6) к наращенной сумме, приведенной в форму­ле (6.14), получаем современную ценность данной ренты:

„Т, г, _Л" К Є5" — 1 х„ К 1 — Є_5"

РУ = Бе = — х —------------ х е = — х —^------------ .

Р — \ Р (?р — \

Таким образом, современная ценность ренты равна:

К 1 _ е_5"

РУ = -х^------------- . (7.11)

Р ер — 1

Рента с периодом больше года

Применяем формулу (3.6) к выражению наращенной суммы из фор­мулы (6.15):

х е5" _ 1 1 _ е_5" РУ = Бе~&п = Кг е~6п = Кг

ейг - У едг -1

Современная ценность ренты равна:

1 _ Р-00 S . jrn

„ -nm

1 - ( 1 + ^

Rr lim ; ч mr

n->CO , Ь _ ^

rri I

Rr

(1 + %)mr - 1 Из формулы (6.2) следует:

n \mr А

l + J—) -1 = J—xs_.]rn

m J m mr; m

Тогда формула для PV^, принимает вид:

PVoo = 1—^--------- • (7.19)

Jrn. V « ■ т Л omr\

' m

Годовая рента с непрерывным начислением процентов по ставке o

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы­ражения в формуле (7.10):

1 _ p-Sn 1 _ p-Sn R

PVoo = lim PV = lim R —---------- — = R lim

n—n—eS — 1 n—eS — 1 eS — 1

PVoo = Ts---- 7 . (7.20)

Таким образом:

R

p-срочная рента с непрерывным начислением процентов по ставке o

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу вы­ражения в формуле (7.11):

1— e-Sn R

PVoo = lim PV = lim R-

°° n—>oo n—>oo ( — \ ( —

p [ep — 1 p [ ep — 1

п

Руоо = -Г-,--------- V • (7-21)

р — 1

Вечная рента с периодом больше года с непрерывным начислением процентов по ставке б

1 - е-
<< | >>

Еще по теме 7.3. Современная ценность различных рент:

  1. Различное восприятие ценностей.
  2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ НАБОРА ПО РАЗЛИЧНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ
  3. ЦЕННОСТЬ КЛИЕНТА И ФИРМЫ
  4. § 1. Ценности
  5. Ценности
  6. Ценности
  7. Ценности
  8. УРОКИ СОВРЕМЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО КРИЗИСА: ФИНАНСОВЫЙ КОНТЕКСТ. ОСОБЕННОСТИ СОВРЕМЕННОГО КРИЗИСА
  9. СИСТЕМА ЦЕННОСТЕЙ
  10. 3. Ценности.
  11. § 1. Социальные ценности и нормы
  12. Анализ ценностей
  13. ЦЕННОСТЬ КЛИЕНТА
  14. § 15.1. ВЛОЖЕНИЕ КАПИТАЛА В РАЗЛИЧНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ
  15. Ценности культуры
  16. КОНФЛИКТЫ ЦЕННОСТЕЙ и ПУТИ их
  17. Принцип ценности.
  18. 68. Ценности и ценностные ориентации
  19. 18. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЦЕННОСТЬ