4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ
Рассмотрим методы таких расчетов на примерах.
i
Пример 4.11. Малое предприятие, решившее в течение трех лет создать специальный фонд в размере 150 тыс. руб., будет производить ежегодно платежи в банк под 15% годовых. Определить размер годового взноса, обеспечивающего вместе с начисленными процентами накопление указанной суммы в течение трех лет.
Если принять 150,0 тыс. руб. за наращенную сумму, то величину рентного платежа можно определить, используя формулу (4.2):
S
R-- |
(4.24) |
V '
где S— наращенная сумма;
S — коэффициент наращения годовой ренты.
Используя Приложение 4, определим величину годового платежа: R=тД— = = 43-196 тыс. руб.
J3I5 o,4//j
Пример 4.12. Малое предприятие, решившее создать специальный фонд в размере 150,0 тыс. руб. за 3 года, может выделить на эти цели в настоящее время 98,62 тыс. руб.
Поместив эту сумму в банк на три года под 15% годовых, предприятие получило бы к концу срока:
S= 98,62 -(1 4- 15)1 = 149,998 тыс. руб. Однако отвлечение одновременно суммы в 98,62 тыс. руб.
из хозяйственного оборота нецелесообразно. Естественно, что отдается предпочтение варианту внесения ежегодных платежей, обеспечивающему через три года создание такого же фонда.Используя формулу (4.12), размер годового платежа определим
как
„ А
~а ' (4-25)
"я;/
В нашем случае А - 98,62 тыс. руб., следовательно, А 98,62
=43,19 тыс. руб.
я3;15 2,2832
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА РЕНТЫ
При заключении коммерческого контракта, предусматривающего погашение обязательств рентными платежами, важнейшим параметром является срок(ренты.
В случае согласования остальных параметров срок ренты может быть рассчитан с использованием величины наращенной суммы или современной величины.
Так, например, преобразовав выражение
(1 + і)" -1
S = R-
получим:
(1 + 0я=|-/ + 1.
R- |
Прологарифмируем это выражение
г'*1 |
ґ ^ л
я1п(1 + /')=1п откуда
In
(4.26) " In (1 + 0
Аналогично получим значение п, использовав для этого приве
денную величину:
А . —R 1 |
1 А ■ ]—Rl |
In |
In |
(4.27) |
In (1 + 0 |
In (1 + 0
Пример 4.13. Малое предприятие предполагает создать специальный фонд в размере 150 тыс. руб., для чего будет ежегодно вносить в банк 43,196 тыс.
руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.
150 43,196 |
■0,15 + 1 |
In |
0,41929 10,13962 |
= 3,0 года. |
п = - |
In (1 + 0,15) |
Формулы для расчета продолжительности постоянных рент других видов приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ПОСТОЯННЫХ РЕНТ[10]
Число платежей в году |
Число раз начислений процентов в году |
Современная величина ренты(А) Наращенная сумма ренты (S)
Р=1 |
т = 1 |
(4.26) |
(4.27) |
In (1-м) |
ln,l-|. In (1 + і)
I -- |
І+-Ч -I |
+1 |
! + — | -1 m
m > 1 |
(4.28) |
(4.29)
m In 1 + |
1+/ІЯ-1 |
m In 1 +
1+/ />-1 +1
P> 1 |
(4.31) |
m = 1 |
(4.30) |
In (l -I |
In І + Л
W-i-J |
(4.32) |
(4.33) |
m = p |
lnf/+l
m- In 1 +
H^'-l |
-f' |
+ 1 |
i.i'-i
(4.34) |
m *p |
14.35)
/»•In 1 + |
m • In I + —
Продолжительность рент с непрерывным начислением процентов вычисляется по формулам: а) для годовой ренты
5 | |
Г А А | |
-!п | —6 |
[ я \ |
1п |
•5 + 1 |
Я |
(4.36) |
п = |
(4.37) |
(4.38) (4.39) |
б) для /ьсрочной ренты
( 5 ^ | |||
5 | — | ||
1п | Тр' | ер -1 | + 1 |
V |
п = ■
г 6 ^ | |||
А | — | ||
-1п | ер -1 | ||
^ у |
п = -
При расчете сроков ренты возникает ряд вопросов, требующих пояснения.
1.
В случае когда рассчитанное значение п является дробной величиной, его необходимо округлить до наименьшего целого значения. При расчете этого показателя в /ьсрочной ренте величина п • р — количество периодов рентных платежей — также округляется до наименьшего целого числа.2. В связи с округлением величины л до наименьшего целого числа уменьшается наращенная сумма Поэтому при заключении контрактов эта разница должна быть компенсирована.
3. Конечное положительное значение величины п может обеспечивать погашение долга или накопление некоторой суммы путем выплаты постоянной финансовой ренты при соблюдении определенных условий.
В частности, необходимо выполнение неравенств:
для (4.27) Я>А'
т
для (4.28) Я> А 1 + -
для (4.30) Я>Ар- для (4.32) Я>А.\
для (4.34) Я> А - р-
для (4.36) Я>А- 8;
(і+ /)/'-1 |
т ■ \ — |
1+^ т |
для (4.39) Я> А- р ■
Изменение в рентах направления знака неравенства (например, Я < А) означает, что начисленные на остаток долга проценты превышают размеры погасительных платежей и долг в сумме А не может быть погашен выплатой ренты с членом, равным Я.
Пример 4.14. Банк рассматривает условия предоставления кредита своему клиенту в размере 2,80 млн руб. под 10% годовых. На какой срок банк может выдать кредит, если клиент обязуется его погашение производить равными ежегодными выплатами в конце каждого года в сумме 0,72 млн руб.?
По условию задачи:
п =- |
Я = 0,72 млн руб.; А = 2,80 млн руб.; 10%; п = ?
ІП | 2,8 " | -I |
[_ 0,72 |
= 5,167 года.
ІПІ
Округляем срок кредита: п — 5 лет. Тогда современная величина долга составит:
Л П 11 '-С+О'')"5 Ч 790 /4=0,72 — = 2,729 млн руб.,
что на 0,071 млн руб. (2,80 - 2,729) меньше суммы предполагаемого кредита. '
Очевидно, банк на эту сумму уменьшит размер кредита.
Клиент заплатит банку за предоставленный кредит:
5 = 0,72 --------- ^--------- = 4,39567 млн руб.
и, і
Если же клиент настаивает на выдаче кредита в размере 2,80 млн руб., то следует увеличить размер рентного платежа:
Л = 2,8-—^ п ^^—> откуда Л =0,7386 млн руб.;
и, I
5 = 0,7386 ■(1 + ^ ~1 =4,509 млн руб. и, 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Как ранее указывалось, процентная ставка, являясь показателем доходности финансовой сделки, должна быть определена в процессе ее подготовки. Величину процентной ставки финансовой ренты невозможно определить из выражений:
С 0 С + 0"-' , n 1-С + 0""
S = R--------------- или А = R------------------- .
/ i
Для определения процентной ставки / по известным параметрам финансовой ренты (5; А; п; /?; р\ т) существует ряд математических методов.
Рассмотрим один из них, имеющий, на наш взгляд, наибольшее практическое значение.
Метод линейной интерполяции
При определении процентной ставки финансовой ренты исходят прежде всего из заданного коэффициента наращения или коэффициента приведения ренты. Иначе — по известным параметрам S или А, а также Run определяют:
с 5 А
S"U=J или a»,i=J-
Далее вычисление процентной ставки /производится следующим образом:
S
а) При известных величинах S, R и Sni= —
R
' = '(")+Т--------- о---- Ы "'(..) ' (4.40)
где /(м) и / — верхнее и нижнее значения предполагаемой процентной ставки;
5( и 5 — значения коэффициентов наращения при использовании процентных ставок /в и /м.
б) При известных величинах А; Я и
' К
. . , ап\1~а(н) (. . \
/=/(н) +7"--------------- '(в)-'(н)' (4.41)
где о(в) и д(н) — значения коэффициента приведения при использовании процентных ставок /в и /и.
Пример 4.15. В течение четырех лет предполагается создать резервный фонд в размере 20,0 млн руб., для чего будут производиться ежегодные взносы в банк в размере 4,0 млн руб. Определить значение процентной ставки при условии, что взносы и начисление на них процентов произво- дйУбй'в конце года.
По условию задачи рента имеет следующие параметры: 5= 20,0 млн руб.; Л = 4,0 млн руб.; п = 4 года; / = ? Находим заданный коэффициент наращения ренты:
В Приложении 4 по строке для числа периодов, равного четырем годам, находим два ближайших к ,.= 5 значения коэффициентов наращения. В нашем случае это:
15 = 4,993375 и |5 5 = 5,029824, т.е. имеет место неравенство: 4,99'3375 < 5,0 < 5,029824 . Следовательно, значения наименьшей и наибольшей процентных ставок будут равны:
> >
Находим коэффициент наращения годовой ренты по ставке /'=0,1509:
^4; 15,09 : |
=4,9999. |
(1 + 0,1509)
0,1509
Следовательно,
Л;. 15 09 = 4,0-4,9999 = 19,99968 млн руб.
Таким образом, ставка 15,09% практически обеспечивает выполнение поставленных условий.
Рассмотрим еще два варианта нахождения величины процентной ставки при изменении условий выплат и начисления процентов.
а) Взносы ежегодные, начисление процентов ежеквартальное (м = 4).
Используя полученную величину процентной ставки / = 0,1509, по формуле (3.10) находим:
1,15094 -1 |
j= 4 |
= 0,1430(14,3%).
Вычисляем коэффициент наращения:
, I л
-1 |
0,143
1 + -
= 4,9996, |
„- J |
0,143 |
1 + - |
•1 |
0,7542 : 0,1509
т.е. ставка /= 14,3% также обеспечивает выполнение поставленных условий.
■ = 5,2661. |
4- |
б) Взносы производятся ежеквартально (р-срочная рента). По условию задачи коэффициент наращения =5,0. Находим коэффициент наращения по наименьшей процентной ставке:
о (4) (1 + 0,15) -1 4; 15 _ F :
(1 + 0,15)4 -1
Так как 5 > 54;,■, т.е. 5,2661 > 5,0, снижаем интервал процентных ставок.
Принимаем /в = 0,13 ; /н = 0,12. Предполагаемая процентная ставка должна находиться в интервале от 12 до 13%.
Рассчитываем коэффициенты наращения для этих ставок:
г(4) 4; 12 |
= 4,9893; |
4- |
(1 + 0,12) -1
(1 + 0,12)4-1
(4) |
Я? |
= 5,0802, |
4; 13 |
4- |
(1 + 0,13)4-1
(1 + 0,13)4 -1
откуда
5 0-4 9893
/ = 0,12 + ------------ ----------- (0,13—0,12)=0,1212 (12,12%).
5,0802-4,9893
По полученной ставке рассчитаем коэффициент наращения:
(4) |
5Г |
(1 + 0,1212) -1
= 5,0002.
4;12-12 4 • [(1 + 0,1212) -1] Как видно, он весьма близок к заданному.
Еще по теме 4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ:
- 2.1. Основные финансовые параметры предприятия малого бизнеса на различных этапах его жизненного цикла
- ТЕМА 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТРЕБНОСТИ В ФИНАНСОВЫХ РЕСУРСАХ И ВНУТРИФИРМЕННОЕ ФИНАНСОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
- Экономические параметры.
- 2.4. Вычисление основных параметров денежных потоков
- Средняя результативность набора параметров
- Измерения параметров работ
- Ключевой параметр.
- Параметры баланса
- Параметры эффективности реструктуризации
- параметры капитализации
- параметры персонала
- 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИНАНСОВОЙ СИСТЕМЫ
- параметры основной деятельности
- параметры деятельности по реализации
- Параметры вашего рынка
- Социально-психологические параметры малой группы