<<
>>

5.2. Некоторые применения понятия современной ценности денег

Рассмотрим ситуацию, когда банк выплачивает на вложенные в него деньги определенный процент через равные промежутки времени. Пусть делается несколько вкладов Б\, ..., Бп и несколько изъятий К\, ..., Кк определенных сумм в известные моменты времени (являющиеся концами периодов начисления процентов).
Суммарная современная ценность всех вкладов равна суммарной современной ценности всех изъятий и остатка Ш на счету после всех указанных операций. То есть, имеет место равен­ство:

РУт(Бг) + ... + РУт (Бп) = РУт №) + ... + РУт (Кк) + РУт(Ш).

Доказательство этого утверждения можно выполнить методом мате­матической индукции по двум переменным, п и к. Мы не будем его при­водить, а проиллюстрируем это утверждение двумя примерами. Сделаем предварительно следующее замечание.

Если с некоторыми суммами денег VI и Р2 производятся финансовые операции (вложение, изъятие или фиксирование остатка) в один и тот же момент времени і, то для любого момента времени Т имеет место равенство:

РУт (VI + V;) = РУт (^і) + РУт (V;).

Действительно, в любой момент Т ценность суммы V, над которой про­изводится некоторая операция в момент і, равна:

РУт (V) = V (1 + і)т- Подставив в последнюю формулу V = VI + Р2, получаем:

PVт (VI + V;) = (VI + V2)(1 + і)т - =

= VI (1+ і)т - + Т^2(1 + і)т - =

= PVт (VI) + PVт (V;).

Пример 5.3. Со счетом, на который начисляется і% сложных за каж­дый период времени, были проведены следующие операции: в момент 2 сделан вклад Б; в момент 5 снята сумма Я, после чего на счете осталась сумма Ш. Покажем, что верна формула:

РРо(Б) = РРо(Я) + Р^СШ).

Решение. Изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени, записывая сумму вклада над осью, а изъятие и остаток — под осью:

5

J___ I__ I__ I__ I__ 1_

0 1 2 3 4 5 6 7 £

Я + Ш

Выразим сумму Я + Ш через 5. Согласно (3.1), имеем равенство:

Я + Ш = 5 (1 + г)3. Используя это равенство и формулу (3.3), получаем:

РУо(Я + Ш) = (Я + Ш )(1 + г)-5 = 5 (1 + г)3(1 + г)-5 = = 5 (1 + г)-2 = РУо(5).

Выше было показано, что

РУо(Я + №) = РУо(Я) + ),

поэтому получаем равенство, которое и требовалось доказать:

= РРо(Я) + РР0>(№).

Пример 5.4. Со счетом, на который начисляется і% сложных за каж­дый период времени, были проведены следующие операции: в момент 3 сделан вклад Б\; в момент 7 сделан вклад 52; в момент 5 со счета снята сумма Я\; в момент 11 со счета снята сумма К2- После этого на счете осталась сумма Ш. Покажем, что верна формула:

РУо(5і) + РЇЬФ) = РЇЬ(Ді) + РРс(Я2) + Р^с(Ш).

Решение. Изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени, указывая вклады над осью, а изъятия и остаток — под осью:

Б'і Б'2 _ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I I I I I

0123456789 10 11 і Яі Я2 + Ш

Выразим сумму Д2 + Ш через $і, 52 и Ді. В момент і = 5 на счете будет сумма, равная

5і(1 + і)2 - Ді. Вычислим сумму, которая будет на счете в момент і = 7:

(5і(1 + і)2 - Ді)(1 + і)2 + 5*2 = 5і(1 + і)4 - Ді(1 + і)2 + $!.

В момент і = 11 эта последняя сумма обращается в сумму:

(5і(1 + і)4 - Ді(1 + і)2 + 52)(1 + і)4 = 5і(1 + і)8 - Ді(1 + і)6 + 52(1 + і)4.

Так как в момент і = 11 на счете была сумма Д2 + Ш, имеем равенство:

Д2 + Ш = 5і(1 + і)8 - Ді(1 + і)6 + 52(1 + і)4.

Приведем обе части последнего равенства к моменту 0:

РУо(#2 + W) = РУо№(1 + г)8 - #1(1 + г)6 + 52(1 + г)4) =

= (51(1 + г)8 - #1(1 + г)6 + 52(1 + г)4)(1 + г)-11 = = 51(1 + г)-3 - #1(1 + г)-5 + 52(1 + г)-7 = = РУо(5{) - РУоШ + Р^с(52).

Используя равенство

РУо(#2 + W) = РУо(#2) + PУо(W),

получаем:

РУо(#2) + РУо^) = РУо(51) - РУо(#1) + РУо(52), откуда получаем формулу, которую требовалось доказать:

РУо^г) + РУ0(52) = РУоШ + РУоШ +

Используя только что доказанную формулу, можно решать различные задачи финансовых расчетов. Рассмотрим два примера.

Пример 5.5. Предприниматель вложил в банк 700 руб. Банк выпла­чивает проценты по ставке ]4 = 6%. Через 6 месяцев вкладчик снял со счета 300 руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Какую сумму он получил при закрытии счета?

Решение. Изобразим ситуацию, описанную в примере, на оси времени. Суммы, которые предприниматель снимал со счета, изобразим под осью времени, а сумму, которую он вложил, — над осью. Одно деление оси времени равно одному кварталу (таков период начисления процентов).

700

_1__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__

0123456789 10 11 *

300 х

Обозначим сумму, полученную при закрытии счета ж. Ранее было до­казано, что суммарная современная ценность снятых со счета денег равна современной ценности вложенных денег, поэтому имеем следующее урав­нение:

700 = 300(1 + г)-2 + ж(1 + г)-10. Подставляя г = 0.06/4 = 0.015, находим из этого уравнения ж:

ж = 700(1 + г)10 - 300(1 + г)8 = = 700(1.015)10 - 300(1.015)8 = = 474.43 руб.

Пример 5.6. Г-н Петров положил 2 года назад 600 руб. в банк, вы­плачивающий проценты по ставке ^ = 5%. Восемь месяцев тому назад он снял со счета 400 руб., а сегодня снял еще 100 руб. Через 3 месяца он желает вложить некоторую сумму так, чтобы через год от сегодняш­него момента закрыть счет, получив 500 руб. Какую сумму он должен вложить?

Решение. Ситуация, описанная в задаче, изображена на рисунке:

600 х ____ I_ I.... I__ I_ I.... I____ I__ I I I I.... I I

-24-23 -9 -8 -7 -2 -1 0 1 2 3 11 12 г месяцев 400 100 500

Как и в предыдущем примере, под осью изображены суммы, снима­емые со счета, а над осью — суммы, положенные на счет. Современная ценность тех и других (в любой момент времени) одинакова. Выберем в качестве современного момента конец третьего периода начисления про­центов, то есть момент, когда вносится искомая сумма ж. Приравнивая в этот момент ценности сумм, внесенных на счет, и сумм, снятых со счета, получаем уравнение:

600(1 + г)27 + ж = 400(1 + г)11 + 100(1 + г)3 + 500(1 + г)-9.

Подставляем в последнее уравнение г = 0.05/12 = 0.00417 и определяем значение ж:

х = 400 х 1.0041711 + 100 х 1.0041 73 + 500 х 1.00417-9 - 600 х 1.0041 727 = = 400 х 1.04684 + 100 х 1.01256 + 500 х 0.96324 - 600 х 1.11891 = = 330.265.

Следовательно, через 3 месяца надо вложить 330.27 руб.

<< | >>
Источник: Бухвалов А.В. и др.. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста. Под общей редакцией А. В. Бухвалова. СПб.: — 315 с.. 2001

Еще по теме 5.2. Некоторые применения понятия современной ценности денег:

  1. Некоторые применения модели робинзонады к реальному миру
  2. Некоторые современные представления о религии
  3. Некоторые современные международные проблемы
  4. Вопрос 48 НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫРЕФОРМИРОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО УСТРОЙСТВА В СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ
  5. Некоторые основные ПОНЯТИЯ
  6. Относительность ценности денег
  7. Некоторые основные ПОНЯТИЯ международной политики
  8. Австрийская школа «субъективной ценности» и проблема меновой стоимости денег.
  9. ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ КОНТРОЛЛИНГА В СОВРЕМЕННОМ БИЗНЕСЕ
  10. 7.2.2. Теории общественного применения денег
  11. 59. Понятие валюты и валютных ценностей
  12. Необходимость и предпосылки возникновения и применения денег.
  13. 85. ПОНЯТИЕ ВАЛЮТЫ И ВАЛЮТНЫХ ЦЕННОСТЕЙ
  14. 6.ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ КОНТРОЛЛИНГА В СОВРЕМЕННОМ БИЗНЕСЕ