<<
>>

5.3. Эквивалентность контрактов

В реальной жизни по тем или иным причинам приходится менять усло­вия контракта. Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются толь­ко сроки платежей. При этом возникает законный вопрос, как должны измениться суммы платежей.
Если мы предполагаем, что стоимость де­нег не будет меняться за время действия контракта (и равна г сложных процентов за один период), то принцип эквивалентности состоит в том, что суммы новых платежей должны быть такими, чтобы их современ­ная ценность равнялась современной ценности платежей из контракта. В рассматриваемой ситуации это выражается с помощью двух простых формул.

Если срок платежа увеличивается на Ь периодов, новая сумма платежа 51 получается из старой 50 по формуле:

51 = 50(1 + г)4, (5.2)

Если срок платежа сокращается на Ь периодов, новая сумма платежа 51 получается из старой £о по формуле:

51 = 5о(1 + г)-4, (5.3)

Пример 5.7. Фермер должен вернуть банку 12 000 руб. 1 июля 1998 го­да. Какую сумму он должен внести в банк: а) 1 января 1997 года; б) 1 ян­варя 1999 года? Банк дает ссуды под 8% годовых (сложных).

Решение. а) Так как платеж делается на 1.5 года раньше срока, фермер должен внести в банк меньшую сумму:

б) В этом случае платеж делается на 0.5 года позже срока, поэтому в банк придется внести сумму, большую, чем 12 000 руб.:

5 = 12 000 х (1 + 0.08)0'5 = 12 000 х 1.0392 = 12 470.40 руб.

Рассмотрим теперь ситуацию объединения (консолидации) платежей: требуется свести несколько платежей 51, ..., 5к со сроками выплаты ..., Ьк, соответственно, в один платеж 5о. При этом могут возник­нуть две задачи: определить величину объединенного платежа 5о, если он должен быть сделан в заданный момент времени Ьо; определить срок Ьо платежа 5о. Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:

5*1 5*2 вк ........ I......... I____ I I I

0 *2 Ь периодов

Для эквивалентности замены платежей необходимо, чтобы в момент 0 ценность платежа 5о (его современная ценность) была равна сумме цен­ностей всех платежей 51,... 5к, то есть должно выполняться равенство:

к

5о(1 + г)-'0 =£ 5г(1 + г)-1. (5.4)

1=1

Если требуется определить величину объединенного платежа 5о, ре­шим это уравнение относительно 5о:

к

5о = (1 + г)^ 5г(1 + г)-'1. (5.5)

1=1

Если требуется определить срок Ьо платежа 5о, решим уравнение (5.4) относительно Ьо. Для этого прологарифмируем обе части этого уравнения и выполним необходимые преобразования:

к

1п 5о(1 + г)-'0 = 1п£ 51(1 + г)-'1;

1=1

к

1п 5о - Ьо 1п(1 + г) = 1п X) 51(1 + г)-'1;

1=1

1пЗо-1п+Г*'

=------------- їп(Г+1)------------ • (5'6)

Пример 5.8. Кооператор должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 000 руб., еще через полгода — 1 500 000 руб. и еще через 8 месяцев — 1 300 000 руб. Эти платежи решено объединить в один платеж и выплатить весь долг через год после поставки сырья. Ка­кую сумму надо выплатить, если на долг начисляется 6% годовых (слож­ных)?

Решение. Приводя все платежи к настоящему моменту времени, полу­чаем по формуле (5.5):

5"о = (1 + 0.06)[4] [0.8(1 + 0.06)-0'5 + 1.5(1 + 0.06)-1 + 1.3(1 + 0.06)-1'(6) ] =

= 3 574118.97 руб.

Пример 5.9. Кооператор из предыдущего примера хочет выплатить долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. В какой момент он должен сделать такой платеж?

Решение. По формуле (5.6) находим значение іо:

_ 1п3.6 - 1п(0.8х 1.06-0'5 + 1.5x1.Об"1 + І.ЗхІ.Об"1^6)) _

ІпГоб ~

= 1.1238 года = 1 год 45 дней.

Следовательно, 3 600 000 руб. надо выплатить через 1 год 45 дней после поставки сырья.

Заметим, что при решении предыдущих задач мы использовали урав­нения эквивалентности. Приведем примеры более сложных изменений ус­ловий контрактов, для расчета которых также применяются уравнения эквивалентности.

Пример 5.10. По контракту г-н А обязан уплатить г-ну Б 1 000 руб. сегодня и 1 306 руб. через 3 года. Г-н А хочет изменить контракт, вер­нув долг двумя равными платежами: сделав первый платеж через год и второй — через 4 года, считая от сегодняшнего дня. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если деньги приносят кредитору проценты по ставке ^ = 6% ?

Решение. Изобразим условия задачи на оси времени, помещая над осью платежи по первоначальному контракту, а под осью — по новому контракту. Буквой х обозначена искомая величина новых платежей:

1000 1306 _ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I__ I______ I I

0123456789 Ь полугодий

X X

Так как оба контракта должны быть равноценны для кредитора Б, то приведенные к моменту 0 (как и к любому другому моменту) ценно­сти сумм, стоящих над осью, и сумм, стоящих под осью, должны быть равны. Приравнивая приведенные ценности старого и нового контрактов, получаем уравнение:

1 000 + 1 306(1 + і)-6 = х(1 + і)-2 + х(1 + і)-8. Подставим в него і = 0.06/2 = 0.03 и найдем значение х: х(1.03-2 + 1.03-8) = 1000 + 1306х1.03-6; х = 1208.87.

Итак, г-н А должен сделать два платежа по 1 208.87 руб.

Заметим, что тот же результат мы получим, взяв в качестве современ­ного момента любой другой. Например, если принять момент 4 за совре­менный момент, то получаем уравнение:

Пример 5.11. Фермер Иванов купил у колхоза сарай, заключив кон­тракт, в соответствии с которым обязуется заплатить 1000 руб. через 27 месяцев и еще 3 000 руб. — через 5 лет. Колхоз, нуждаясь в деньгах, хочет продать этот контракт финансовой организации, которая согласна его купить при условии начисления на свои деньги процентов по ставке = 8%. Сколько должна заплатить компания колхозу за этот контракт?

Решение. Изобразим условия контракта на оси времени, на которой каждый процентный период соответствует кварталу (3 месяца). В 27 ме­сяцах содержится 9 процентных периодов, а в 5 годах — 20 процентных периодов. Стоимость контракта в момент 0 обозначена буквой ж:

1000 3 000 ____ I_ I

0 9 20 £ кварталов

X

Организации следует заплатить за контракт его стоимость в момент 0, следовательно, должно выполняться равенство:

1000 3 000

® ~7~, ! Тп

(1+ і)9 (1 + і)20 ' Подставим в него і = 0.08/4 = 0.02 и найдем значение ж: _ 1000 3 000

® Т-, : ^ п

(1 + 0.02)9 (1 + 0.02)20 = 1 000 х 0.8368 + 3 000 х 0.6730 = = 2 855.8 руб.

В общем виде уравнение эквивалентности двух контрактов можно за­писать следующим образом:

т I

= £ ЕкV^. (5.7)

д=1 к=1

Ниже приведен список обозначений, которые использовались в последней формуле:

Ді, д

Ь, ..., ІІ

61, ..., Бт Р1, ■■■, Рт
т
V = 1 + і,

V = (1 + і)-1,

і

платежи по старому контракту;

сроки, в которые должны быть произве­дены эти платежи;

платежи по новому контракту;

сроки, в которые должны быть произве­дены эти платежи;

если соответствующие платежи произво­дятся ранее момента, к которому приво­дятся платежи;

если соответствующие платежи произво­дятся позднее момента, к которому при­водятся платежи;

ставка процентов, начисляемых на день­ги, находящиеся в обороте.



<< | >>
Источник: Бухвалов А.В. и др.. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста. Под общей редакцией А. В. Бухвалова. СПб.: — 315 с.. 2001

Еще по теме 5.3. Эквивалентность контрактов:

  1. Эквивалентность процентных ставок и финансовая эквивалентность платежей
  2. 4.2. неполнота контракта и оппортунистическое поведение 4.2.1. что такое «полный контракт»?
  3. Контракт шорт (short), контракт короткий
  4. 2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа
  5. Лекция № 15 ТИПЫ КОНТРАКТОВ 15.1. Понятие контракта
  6. 15.2. Контракт о продаже и контракт о найме
  7. Метод эквивалентной годовой стоимости (приведенных затрат)
  8. 4.5. Вымогательство как вид оппортунистического поведения и выбор типа контракта 4.5.1. Типы контрактов и факторы, влияющие на их выбор
  9. 4. Эквивалент. Закон эквивалентности. Важнейшие классы и номенклатура неорганических веществ
  10. 12. Графики ближайших фьючерсных контрактов и непрерывных фьючерсов: соединение исторических данных по отдельным фьючерсным контрактам для построения долгосрочных графиков
  11. § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  12. § 6.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
  13. § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  14. S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  15. Контракт на срок
  16. База контракта
  17. г) ФРАНЧАЙЗИНГОВЫЙ КОНТРАКТ
  18. 15.3. Типы контрактов
  19. Контракт фьючерсный
  20. Контракт