9.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЛИГАЦИЙ
Одним из таких показателей является средний срок облигации. Данный показатель есть средняя взвешенная величина, определяющая средний срок всех выплат по облигациям, при этом весами служат размеры этих выплат. При ежегодных купонных выплатах средний срок выплат определяется как
т
где / — 1,2 ..., п
5. — '. 1
./V- 8- Т -
Поскольку купонные выплаты производятся ежегодно, то
£ _ п (1 +п) _ есть Сумма перГ)ЫХ п членов арифметической про-
1.2
грессии.
Подставив эту величину в (9.17), получим:Т=„---------- 2---------------------------------------------------------------------- (9.18)
N■g■Yttj + n■N =_______ !_________ ,________ (9.17) п ■ N ■ # + N — сроки платежей по купонам в годах; сумма платежа; номинальная стоимость облигации; купонный процент; средний срок облигации. |
+1
При наличии купонных выплат Т .,. руб.
%
- 5200 - 520
Т =—— = 3,5135 года, или Г =-— = 3,513з года.
■ 1480 148, Так же рассчитаем средний срок облигации по (9.19): 0,12-(1+4) | [
^ 0,12 -4 + I =3-5'35 —
Изменим условия примера: проценты по купонам выплачиваются дважды в год.
Срок платежей Г (в годах) | Платежи Э, руб. | Г-5. (3; в рублях) | Платежи Э, % | (э/в к) |
0,5 | 60,0 | 30,0 | 6,0 | 3,0 |
1,0 | 60,0 | 60,0 | 60,0 | 6,0 |
1,5 | 60,0 | 90,0 | 6,0 | 9,0 |
2,0 | 60,0 | 120,0 | 6,0 | 12,0 |
2,5 | 60,0 | 150,0 | 6,0 | 15,0 |
3,0 | 60,0 | 180,0 | 6,0 | 18,0 |
3,5 | 60,0 | 210,0 | 6,0 | 21,0 |
4,0 | 6,0 + 1000 | 4240,0 | 6,0 + 10060 | 424,0 |
Итого | 1480,0 | 5080,0 | 148,0 | 508,0 |
Г = 3,4324 года, или Г =^ = 3,4324 года. |
По (9.21)
0,12
(0,5 + 4)+:
т = 4 ■ -2-------------------- = 3,4324 года.
0,12-4 + 1
Очевидно, что увеличение частоты выплат процентных платежей снижает средний срок облигации.
Наряду с показателем среднего срока облигации существует близкий ему по экономическому смыслу показатель, характеризующий среднюю продолжительность платежей. Иногда его называют показателем изменчивости; обозначим его символом Я В отличие от среднего срока облигации Т при расчете показателя /) в качестве весов принимаются не суммы платежей, а адекватные им величины, для расчета которых использовалась действующая рыночная процентная ставка.
(9.21) |
(9.22) |
Если проценты по облигации выплачиваются ежегодно, то расчет средней продолжительности платежей производится по формуле:
^■У 1
где У— дисконтный множитель, рассчитанный по рыночной процентной ставке; Р — рыночная цена облигации. Разделив числитель и знаменатель на /V, получим:
8Ъ'гУ'+пУ"
А: 100
где /=1,2..., п.
Величину , являющуюся одним из слагаемых в числите
ле (9.21) и (9.22), после преобразования можно записать в виде:
п ' у |
У"-\ У- 1 |
п-У- |
(9.23) |
У-1 |
ап.г(\ + 1)-пУ"
Использование данной формулы упрощает вычисление средней продолжительности платежей. При £>0 соотношение между средним сроком облигации и средней продолжительностью платежей характеризуется неравенством £>< Г . При увеличении среднего срока облигации увеличивается разница между этими величинами.
Пример 9.8. Облигация выпущена сроком на 4 года. Ежегодно выплачиваются по купонам 12% годовых, рыночная процентная ставка — 12,5%. Курс облигации — 98,5. Определить показатель продолжительности платежей.
Рассчитаем все элементы, входящие в (9.21).
г | V' | t•Sl^V^ | ||
1 | 0,8889" | 12,0 | 10,6668 | 10,6668 |
2 | 0,7901 | 12,0 | 9,4815 | 18,9630 |
3 | 0,7023 | 12,0 | 8,4280 | 25,2840 |
4 | 0,6243 | 112,0 | 69,9210 | 279,6842 |
98,4973 | 334,5980 |
У = |
0,12-7,0733 + 4-1,125 0,985 |
= 0,8889.
(1 + 0 (1 + 0,125) По (9.21) находим
Для расчета величины й используем также (9.22): |
я4;125 = 3,005639384. |
4; 12,5 |
Ь, ■=777^7 (з,005639384 • 1,125 -4 • 1,125-4) = 7,0733. I у 0,125 \ /
£ =
При выплате купонных платежей дважды в год для расчета средней продолжительности платежей можно воспользоваться формулой (9.23). В этом случае порядковый номер полугодия будет а К — дисконтный множитель по рыночной ставке, уменьшенной вдвое.
Приведенные выше формулы для расчета величин Г и О, а также примеры показывают, что величина Т не зависит от рыночной процентной ставки, в то же время величина /) зависит от ее изменения: с ростом ссудного процента его влияние на отдаленные по времени платежи падает, что, в свою очередь, снижает величину /).
Поэтому основным назначением показателя £> является определение эластичности цены по процентной ставке, т.е. измерение степени колеблемости цены облигации при незначительных изменениях величины процентной ставки на денежном рынке.
Решение этой задачи осуществляется с помощью модифицированной величины /), которая в отечественных экономических публикациях получила название модифицированной изменчивости
(МД).
мд=—
(9.24) |
I
+ — Р
где /)— средняя продолжительность платежей; / — рыночная процентная ставка; р — число выплат процентов в году.
Изменение цены облигации в результате изменения процентной ставки определяется по формуле:
АР= — 0,01 • МЛ-М- Р, (9.25)
где АР — изменение цены облигации;
А/ — изменение рыночной процентной ставки.
Пример 9.9. По данным примера 9.8 рассчитать показатель изменчивости.
МД =——— = 3,0222.
1+0,125
Определим, как изменится цена облигации, если рыночная процентная ставка возрастет с 12,5 до 12,8%:
АР — - 0,01 -3,0222-0,3-98,5 = - 0,8931,
откуда ожидаемое значение цены составит:
98,5 - 0,8931 = 97,6069.
Реакция цены облигации на значительные изменения рыночной процентной ставки измеряется с помощью показателя, получившего название выпуклость (С ).
Расчет производится по формуле
сх=- |
1 + — Р |
(9.26) |
М2 + £>2
где Л/2 — дисперсия показателей времени платежа;
значение остальных символов то же, что и в (9.22)—(9.23).
Величина дисперсии М2 определяется следующим образом:
М2=-~Х/2-5уК'-/)2, (9.27)
где Р— цена облигации.
Сдвиг в цене облигации в результате значительного изменения рыночных ставок определяется как
100 10000 v ;
Пример 9.10. Рассмотрим возможность изменения цены облигации, если рыночная процентная ставка возросла с 12,5 до 15%, остальные условия аналогичны изложенным в примерах 9.8 и 9.9.
г | Г2 | V' | 1 | |
1 | 1 | 0,8889 | 12,0 | 10,6668 |
2- | 4 | 0,7901 | 12,0 | 37,9260 |
3 | 9 | 0,7023 | 12,0 | 75,8520 |
4 | 16 | 0,6243 | 112,0 | 1118,7360 |
Итого | 1243,1808 |
(1,0611 + 3,42 + 3,4) = 14,2410.
Так как Д/= 15 - 12,5 = 2,5%, то по (9.28) находим:
АР = -98,5 • 3,0222 - И^ + 0,5-98,5 - .4,2410-2,5? = _7>0(Ш.
100 10000 То есть рост процентной станки на 2,5% вызывает снижение цены облигации до уровня 98,5 - 7,0038 = 91,4962.
Еще по теме 9.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЛИГАЦИЙ:
- § 2. Стоимостные характеристики облигаций
- Стоимостные характеристики облигаций
- ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА, ВИДЫ И КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЛИГАЦИЙ
- Облигации федерального займа. Облигации государственного сберегательного займа. Другие виды государственных ценных бумаг
- Дополнительная информация
- 2.7.6. Дополнительный отпуск
- Выплата дополнительных дивидендов.
- Стимулирование дополнительным товаром
- Дополнительный отпуск
- 50. Общество с дополнительной ответственностью
- Общество с дополнительной ответственностью