<<
>>

Тема 9. Оцінювання зміни вартості

При вивченні цієї теми студентам необхідно пам'ятати, що одним з головних показників у фінансових розрахунках є відсо­ток. Під відсотком розуміють абсолютну величину доходів від грошей, наданих у борг у будь-якій їх формі.
При укладанні уго­ди сторони (кредитор і боржник) домовляються про розмір відсо­тків, встановлюючи відношення суми відсоткових грошей, що виплачуються за одиницю часу, до величини позички.

Під відсотковою ставкою розуміють відношення відсоткових грошей, які виплачуються за фіксований відрізок часу, до вели­чини позички. Відсоткова ставка виконує функції вимірювача ступеня дохідності фінансових операцій незалежно від того, три­вав процес нарощення грошей чи ні. Відсоткова ставка як віднос­на величина вимірюється у математичних відсотках і коефіцієн­тах. У всіх випадках фінансового аналізу відсоткова ставка використовується тільки у коефіцієнтах. Нарахування відсотків, як правило, відбувається дискретно, тобто через певні періоди. Відсотки можуть нараховуватися один раз на рік, кожні півроку, щоквартально або щомісячно.

Інтервал часу, до якого належить відсоткова ставка, називають періодом нарахування відсотків. Він може дорівнювати року, півріччю, кварталу, місяцю. Також існує неперервне нарахування відсотків. Такі відсотки мають назву неперервних. їх нарахуван­ня відбувається за дуже малі проміжки часу. Необхідність вико­ристання неперервних відсотків полягає в тому, що багато еко­номічних процесів мають неперервний характер, тому математичне моделювання їх за допомогою неперервних відсот­ків коректніше та адекватніше, ніж за допомогою дискретних відсотків. Головним чином це стосується опису складних вироб­ничих процесів та явищ, що потребують обґрунтування і вибору інвестиційних рішень. На практиці такі відсотки використову­ються дуже рідко.

Відсотки можуть нараховуватися наприкінці періоду (декур- сивні відсотки) або на початку періоду (авансові відсотки).

Процес збільшення суми грошей у зв'язку з приєднанням від­сотків до суми боргу називають нарощенням відсотків, або рос­том початкової суми.

Ставка відсотків — це відсоткова ставка, яка визначається на основі початкової суми кредиту (початкова сума позички, бор­гу) і відсотки приєднуються в кінці окремих періодів або строку позички в цілому. Ставка відсотків може застосовуватися до од­нієї і тієї самої початкової суми протягом усього строку позички (,прості відсоткові ставки) або до суми з нарахованими в попе­редньому періоді відсотками (складні відсоткові ставки).

Цю ставку визначають за такою формулою:

І

г~ Рп~ Рп '

де і — ставка відсотків;

Р — початкова сума боргу, кредиту, позички;

п — кількість періодів нарахування відсотків або строк, на який надається позичка;

Я — нарощена сума або величина позички разом з нарахова­ними відсотками;

/ — відсотки за весь період позички, які визначаються за фор­мулою І = Ріп=8-Р.

Інколи при нарахуванні відсотків за основу береться сума, яка виплачується боржником наприкінці строку позички. У такому разі застосовується облікова ставка і відсотки утримуються під час видачі позички. Облікова ставка — це відсоткова ставка, яка визначається на основі нарощеної суми позички. Ця ставка вико­ристовується при купівлі векселів і визначається за такою фор­мулою:

де d — облікова ставка.

Отже, за методом нарахування відсотків розрізняють чотири види ставок: ставки відсотків та облікова ставка; прості та склад­ні ставки відсотків.

Види відсоткових ставок:

1. Фіксовані (постійні або змінні);

2. Плаваючі (надбавка — маржа до базової ставки).

Фіксовані відсоткові ставки можуть установлюватися на весь

строк кредиту (постійні) або в договорі домовляються про різні рівні відсоткових ставок на певні інтервали часу, але на весь строк угоди (змінні).

У зв'язку з несталістю грошового ринку замість фіксованих ставок використовують плаваючі ставки, які визначаються шля­хом додавання до базової ставки фіксованої надбавки (маржі).

Плаваюча ставка змінюється разом зі зміною економічної ситуа­ції в країні. Маржа — це додаток до базової ставки у вигляді ставки відсотків, яка б забезпечувала необхідний рівень прибут­ковості інвестицій. Як базова ставка може бути прайм-рейт став­ка, або лондонська міжбанківська ставка ШБОР (LIBOR — London interbank offered rate). Під ставкою прайм-рейт розумі­ють ставку, яка надається комерційними банками першоклас­ним позичальникам, а також низка інших ставок аналогічного характеру.

Під нарощеною сумою позички розуміють початкову її суму разом з нарахованими на неї відсотками наприкінці закінчення строку позички.

Процес зміни суми боргу разом з нарахованими відсотками за простою ставкою відсотків можна уявити у вигляді арифметичної прогресії Р,Р+Рі,Р + Рі+Рі і т. д. Перший член дорівнює Р, різниця Рі, останній член являє собою суму боргу £ = Р + Р ■ і ■ ■ п.

Сума, що накопичилась до кінця строку позички, складається з двох елементів — початкової суми боргу та відсотків:

Б = Р+І,

де І = Р ■ і ■ п.

Нарощена сума визначається множенням початкової суми по­зички на множник нарощення, який показує, у скільки разів на­рощена сума більша за початкову. Формула розрахунку множни­ка нарощення залежить від виду застосовуваної відсоткової ставки та умов нарощення. Якщо при нарощенні використовуєть­ся проста відсоткова ставка, то нарощену суму позички визнача­ють за такою формулою:

£ = Р+/ = Р( 1 + пі).

Величину Л" називають нарощеною сумою платежу, форму­лу — формулою нарощення за простими відсотками, а множник (1 + пі) — множником нарощення.

Якщо ставка відсотків змінюється з часом, тоді формула на­рощення за простою фіксованою змінною ставкою розраховуєть­ся таким чином:

т

і

де ц — ставка простих відсотків для періоду к;

Пк — тривалість періоду к.

Як правило, прості відсотки використовуються в короткостро­кових фінансово-кредитних операціях, тобто коли строк позички менше одного року. Оскільки строк позички менше одного року, а відсоткова ставка встановлюється у розрахунку на один рік, ви­никає необхідність визначити, яка частина відсотків має бути за­плачена кредитору.

Якщо q — кількість днів користування грошима протягом ро­ку; К — кількість днів у році (база року), тоді строк користування грошима в роках п можна подати таким чином:

Ч

п = —.

К

Величини д та К можуть набувати різних числових значень. Кількість днів позички (д) обчислюють точно за календарем або наближено, коли вважають, що місяць, незалежно від того, скіль­ки днів було за календарем, дорівнює ЗО дням.

Це стосується також і бази для нарахування відсотків, тобто кількості днів у році. Її можна розрахувати точно, тобто за кален­дарем (365 або 366 днів), або наближено, коли вважають, що рік — це 360 днів. Якщо рік складається з 360 днів, то у такому разі розраховують звичайні або комерційні відсотки. Якщо рік дорів­нює кількості днів за календарем, то обчислюють точні відсотки.

Різні значення д та К приводять до різних результатів у нара­хуванні простих відсотків. Для короткострокових фінансово- кредитних операцій в такому разі можна використовувати фор­мулу простих відсотків у вигляді:

Тут можливі три варіанти розрахунку відсотків:

а) звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позички, коли с/ наближене, а К= 360 днів. Такий метод нарахування від­сотків дістав назву німецької методики нарахування відсотків. Він використовується, коли не потрібна велика точність при на­рахуванні відсотків;

б) комерційні відсотки, коли с/ точне, а К дорівнює 360 днів. Цей метод нарахування відсотків найчастіше використовують при обліку векселів та інших операціях у комерційних банках. Цей метод нарахування відсотків іноді називають банківським, або французьким;

в) точні відсотки з точною кількістю днів позички, коли с/ то­чне, а К = 365 днів. Цей метод дає найточніші результати. У практиці він дістав назву англійський метод нарахування від­сотків.

Іноді прості відсотки можуть використовуватися не лише у короткострокових операціях, а й довгострокових, коли відсотки нараховуються у споживчому кредиті, що, як правило, надається на кілька років.

При споживчому кредиті виникає завдання визначення вели­чини разового платежу погашення. Цей платіж визначається, ви­ходячи з суми кредиту і величини нарахованих відсотків. Пога­шення суми кредиту разом з нарахованими відсотками відбу­вається рівними частинами протягом усього строку кредиту. Величина платежу погашення (д) обчислюється за формулою:

_ Р{\ + і п) Ч ~ 5

т-п

де Р — ціна товару або сума кредиту;

т — кількість платежів на рік;

п — строк кредиту у роках;

і — проста річна ставка відсотків, під яку надано кредит;

с/ — сума одного платежу при погашенні.

Використовуючи таку методику погашення кредиту, фактична сума боргу постійно зменшується, а відсотки залишаються по­стійними протягом усього строку. У такому разі дійсна відсотко­ва ставка за споживчим кредитом виявиться більшою, ніж ставка за умовами кредиту.

У деяких випадках залежно від умов фінансової угоди виникає потреба визначення початкової суми боргу за заданою нароще­ною сумою боргу Б, відсотковою ставкою і і строком позички 11. Завдання полягає в тому, що за відомою сумою яку необхідно сплатити через деякий час п, необхідно з'ясувати суму отриманої позички Р. Операцію такого характеру в фінансових розрахунках називають дисконтуванням, а різницю між нарощеною сумою £ і початковою величиною Р — дисконтом.

Якщо відсотки утримуються безпосередньо при видачі позич­ки, тоді застосовується облікова ставка. При використанні облі­кової ставки при видачі позички головним завданням є визначен­ня початкової суми боргу (Р) або суми на будь-яку дату до моменту сплати нарощеної суми (Л'). У такому разі вважають, що сума дисконтується, а різницю £ - Р = І) називають дисконтом.

Необхідність визначення Р за £ виникає під час купівлі бан­ком векселів.

Існує два види дисконтування:

1) математичне дисконтування;

2) банківський облік.

До математичного дисконтування вдаються в тих випадках, коли за заданими Л', п та і необхідно знайти Р.

1 + пі '

1

де------------- дисконтнии множник.

1 + п ■ і

Величину Р, якщо вона знайдена за Б, називають дисконтова­ною величиною Її також називають сучасною величиною пла­тежу Л" або теперішньою вартістю.

Банківський, або комерційний, облік полягає в тому, що банк до кінцевої дати платежу за векселем або іншим короткостроко­вим зобов'язанням купує його у власника і бере на себе весь ри­зик по отриманню грошей. При цьому ціна, за якою банк купує вексель, повинна бути менша за ціну, що вказана на векселі. Та­ким чином, банк, продавши його векселедавцю, отримує дохід, реалізуючи тим самим дисконт.

Необхідність визначення дисконту виникає за різних фінансо­вих операцій, зокрема при обліку векселів та інших короткостро­кових зобов'язань. При цьому звичайно застосовують не матема­тичний, а банківський облік. Згідно з цим методом відсотки за користування позичкою розраховуються із суми, що належить виплаті в кінці строку позички. Ставка, за якою нараховані відсо­тки, називається обліковою, або дисконтною (йГ). Річні облікові ставки розраховуються за такою формулою:

, тоді як і =------

Рп

S-P

Звідси Р = S{ 1 - nd).

JS^CKomP = S-D = S-Sdn = S{\-nd).

Величину (1 -nd) — називають дисконтним множником, який показує, у скільки разів початкова величина Р менша за нароще­ну величину S.

Дисконтування за обліковою ставкою здійснюється, як прави­ло, за умови, що рік — це 360 днів, а кількість днів у періоді бе­руть точним, тобто місяць дорівнює 30 дням незалежно від кіль­кості днів у місяці за календарем.

Необхідно враховувати таку властивість простих облікових ставок: при п > 1 !d величина Р буде від'ємною. З цієї суми банк може утримувати й комісійні за проведення операції.

Якщо необхідно на основі облікової ставки визначити суму, яку необхідно позначити на бланку векселя, тоді на основі по­чаткової величини та облікової ставки визначають нарощену суму.

Формула нарощення за обліковою ставкою має такий ви­гляд:

S =------ ,

1 -nd

де коефіцієнт 1/(1 - псі) є множником наростання, в основу якого покладена облікова ставка.

Операції Ставка відсотків Облікова ставка
Нарощення Б = Р( 1 + пі) 1 - псі
Визначення початкової суми Р= "

1 - пі

Р = 8( 1 -псі)
Відсоток, дисконт Іі = 8-Р = Рпі = Б - Р = Бпсі

Часто при укладанні угод про кредитування виникає необхід­ність визначення строку, на який може бути надано кредит за ві­домої початкової величини, тобто суми, яку необхідно погасити в кінці строку, та рівнем відсоткової ставки.

Для визначення строку позички і рівня відсоткових ставок ви­користовуються такі формули:

5-Р 5-Р

п =------ , /' =------ .

Рі Рп

5-Р , 5-Р

п =------ , а =------ .

У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсот­ки не виплачуються відразу після їх нарахування, а приєднуються до суми боргу, для визначення нарощеної суми позички застосову­ються складні відсотки. База для нарахування складних відсотків не залишається постійною. Вона збільшується з кожним кроком у часі на величину приєднаних відсотків, нарахованих у попередньому періоді, а процес росту початкової суми позички прискорюється.

Студенти мають знати, що приєднання нарахованих відсотків до суми, яка була базою для їх визначення, часто називають капі­талізацією відсотків.

Якщо відсотки нараховуються один раз у кінці року, то в кінці першого року нарощена сума дорівнює Р + Р ■ і, в кінці другого року РП + /) + Р(1 + /)і = Р(1 + і)2, до кінця третього року — Р(1 + і) . Цей ряд являє собою геометричну прогресію Р, Р(1 + і), Р(1 + і)2, Р(1 + /)3,..., перший член якої дорівнює початковій ве­личині позички Р, а знаменник — (1 + і).

Нарощена сума являє собою член геометричної прогресії у відповідному році нарощення. Для п-го року нарощення член геометричної прогресії матиме вигляд Р(1 + /')", який відповідає нарощеній сумі наприкінці строку позички.

Отже, нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

5 = Р(1 + 0\

де Я — нарощена сума платежу (боргу), Р — початкова сума бор­гу, і — складна відсоткова ставка, п — число періодів нарахуван­ня відсотків.

Величину (1 + і)" — називають множником нарощення. Зна­чення множника нарощення для цілих чисел п і і наведено в до­датку.

Студенти повинні звернути увагу: якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула наростання за складними відсотками матиме такий ви­гляд:

8 = Р(\+І1)"\\+І2)"2...(\+Ікук,

де і\, 7*2,..., ік — це послідовні значення ставок відсотків; щ, П2,..., щ — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відпо­відними ставками.

Використання в фінансових розрахунках простих і складних від­сотків дає неоднакові результати, відмінність між якими зумовлю­ється строками позичок. Співвідношення значень множників наро­щення дає можливість порівняти процеси нарощення за різними ставками відсотків, але при абсолютно однакових величинах.

Процес нарощення боргу за складною ставкою відсотків від­бувається швидше, ніж за простою ставкою відсотків, коли строк нарахування більший від року (п >1). Якщо строк користування грошима п < 1, то прості відсотки дають більший результат. Це випливає також з математичного доведення нерівностей: якщо п >1, то 1 + і„п < (1 + і0)п; якщо 'и = 1, то 1 + і„п = (1 + /0)и; якщо п < 1, то 1 + і„п > (1 + іс)п. При цьому слід враховувати однакову базу року у розрахунках.

Треба пам'ятати, що, порівнюючи процеси нарощення за складними та простими ставками відсотків, можна дійти виснов­ку, що прості відсотки кредитору вигідно застосовувати при на­данні короткострокових позичок, а складні — при наданні довго­строкових позичок.

Іноді виникає завдання, коли ми маємо деяку суму грошей, але в майбутньому потрібна сума грошей, у N разів більша. Не­обхідно визначити, за скільки років (періодів) початкова сума збільшиться в N разів, якщо відома величина банківського відсо­тка та умови інвестування грошей. Для того, щоб розв'язати цю задачу, використовують так звані формули подвоєння. Вони за­стосовуються для визначення кількості років, за які початкова сума позички збільшиться в 2 (або ІУ) разів.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в N разів:

а) для простих відсотків: (і + и/я)=# п = ——-;

К

б) для складних відсотків: (і + / )= N п =---------- ;

к

N=2:

а) подвоєння за простими відсотками:

1

п = —; г

б) подвоєння за складними відсотками:

1п2

П= -------- г

1п(і + 0

Необхідно звернути увагу на особливості нарахування відсот­ків при дрібному числі років.

У випадках, коли п не є цілим числом, тобто складається з ці­лої і дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішано­го методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються скла­дні відсотки, а за дробове — прості:

8 = Р{\ +/)а(1 +Ьі),

де п = а + Ь, а — ціле число років, Ь — дробова частка року.

Як правило, відсотки прийнято капіталізувати не раз на рік, а кілька разів. Число разів нарахування відсотків на рік позначи­мо літерою т. Річна ставка відсотків, яка називається номіналь­ною, позначається /. Тоді в кожному окремому періоді нарахову­ється _///и — ставка відсотків. Нарощену суму визначають за формулою:

Б = Р{ 1 +7/ЧГ.

Збільшення т призводить до більш швидкого процесу наро­щення. Це трапляється тому, що відсотки нараховуються частіше і реальний відносний дохід, який отримує кредитор, виявляється більшим, ніж номінальна ставка відсотків. Для того, щоб виміря­ти ефективність цієї операції використовують ефективну, або дійсну, ставку відсотків.

Ефективна (дійсна) ставка відсотків відображає той реальний дохід, який одержують від однієї грошової одиниці на рік. Вона показує, яка річна ставка дає той самий фінансовий результат, що і /»-разові нарахування на рік за ставкою ///». Цю ставку можна знайти, виходячи з її визначення. Через те, що вона призводить до одного і того ж фінансового результату, що і ставка при т- разовому нарахуванні відсотків на рік, то множники нарощення по цих ставках повинні бути рівні.

Отже, можна записати таке рівняння:

(1 +і)" = (1 +7/ш)"'т

Звідси — ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

і = (1 + }Іт)т - 1.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної ставки номі­нальну, то можна використати таку формулу:

7 = ш((1+/)1/т-1).

Ця ситуація може виникнути тоді, коли кредитор хоче отримати дохідність за рік у розмірі і і нараховуються відсотки т разів на рік і йому необхідно проставити в угоді річну ставку відсотків /.

При використанні складної ставки відсотків сучасну величину

знаходять за такою формулою:

р= Б

(1 + 0"

де V" = 1 ^ = (1 + — множник дисконтування.

Величину Р, якщо вона визначена за називають дисконто­ваною величиною У. Її також називають сучасною величиною платежу У або теперішньою вартістю.

Величину V" називають обліковим, або дисконтованим, множ­ником.

Якщо відсотки нараховуються т разів на рік, формула матиме такий вигляд:

р_ ^ _________

"(1 + ЛтГ~

Дисконтний множник дорівнює:

(1 + ЛтГ '

Величина Р характеризує ту початкову суму, нарахування від­сотків на яку дає величину S. Суми Р і S пов'язані між собою строком і відсотковою ставкою та еквівалентні: платіж S через п років рівноцінний сумі Р, яка виплачується в теперішній час. Різ­ницю S—Р називають дисконтом:

Di = S-P = s(\-V"),Dj = S-P = s(\-Vmn).

Співвідношення дисконтних множників (проста й складна від­соткові ставки):

для строку менше року — (1 + пі„у1 < (1 + /с)

для строку понад рік — (1 + пі„у1 > (1 + /0)"и.

Коли в практиці облікових операцій використовують склад­ну облікову ставку, то процес дисконтування здійснюється з уповільненням, адже на кожному кроці в часі облікова ставка застосовується не до початкової суми, а до суми, зменшеної на величину дисконту, визначеного на попередньому кроці. Дис­контування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:

Р = S{l-dc)\

де da — складна облікова ставка;

S — сума майбутніх платежів, на яку нараховується відсотко­ва ставка;

(1 - dc)n — множник дисконтування.

Дисконт у такому разі такий:

Dd = S-S{\-dc)n = S(l-(l-dcy).

Приклад. Якою буде сума дисконту при продажу фінансового ін­струменту на суму 5000 грн, якщо строк його погашення — 5 років, а покупець використав складну річну облікову ставку, яка дорівнює 8%.

Розв'язання: P = S(\-d)n = 5000(1 - 0,08)5 = 4059 грн.

Дисконтування за складною обліковою ставкою зумовлює ви­гідніший для боржника результат, ніж при дисконтуванні за про­стою обліковою ставкою, тому що боржник отримає більш вели­ку суму Р.

Дисконтування m разів на рік.

У такому разі використовують номінальну облікову ставку / У кожному періоді дисконтування здійснюється за ставкою f!m\

P = S( 1 - fШ)тп,

де тп — загальна кількість періодів дисконтування.

Дисконтування не один, a m разів на рік уповільнює цей процес і зменшує суму дисконту за всіх інших рівних умов. Дисконтування за складною обліковою ставкою призводить до результату, вигіднішого для боржника, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою.

Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну номінальній при заданому значенні числа дисконтування на рік:

{\-flm)mn =(l-dc)n dc = \-{\-flm)m.

Ефективна облікова ставка менша за номінальну.

Наростання за складною обліковою ставкою:

Р Р

$ _ 5 = __________

(1 -dcY' (1 -flm)mn'

Для розрахунку нарощеної суми і дисконтування застосовува­лись різні види відсоткових ставок: і„, i,j, d, dc,f.

За однакових умов угоди їх використання призведе до різних ре­зультатів. Треба порівняти результати наростання і дисконтування за різними видами відсоткових ставок. Для розв'язання цієї задачі до­статньо порівняти множники наростання і дисконтні множники.

Результати порівняння залежать від числа періодів нарахуван­ня відсотків.

Для множників наростання:

п< 1(1 + /■)" 1 (1 - nd) < (1 - d)n < (1 + і)'" < (1 + in)'1; n = 1 (1 -nd) = { 1 - nd)n < (1 + і)'" = (1 + in)'1.

У ряді випадків, головним чином при розробці умов фінансо­вих операцій, зустрічаються з необхідністю розв'язання зворот­них задач — визначення довготривалості позичок, числа періодів наростання, ставки відсотків або облікової ставки.

Знаходження відсоткових ставок.

1. Для простої відсоткової ставки:

' Р і'

тпі________ І

V /

5-Р

/ = -

Рп

2. При наростанні за складною річною ставкою:

>4-1.

3. При наростанні за номінальною ставкою відсотків т разів на рік:

/

І = т

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

5-Р

сІ = -

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

с1 = 1-г—.

/ = т

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою т разів на рік:

І _ тп\____

V

Визначення строку позички:

1. За простою ставкою відсотків:

Б-Р

п = -

Рг

2. За складною ставкою відсотків:

5

1п

1п(1 + і) 116

3. При наростанні за номінальною ставкою відсотків / /» разів нарік:

Р ~ Р

1п(1 + і І т)т т 1п(1 + у/т)

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

Б-Р

п =------ .

М

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

„=- 5

1п(1 - сі)

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою т разів на рік:

5

п = —

т 1п(1 - / / т)

При визначенні нарощеної суми грошей, а також реальної ста­вки відсотків необхідно враховувати розмір інфляції.

Основним показником, що характеризує динаміку інфляцій­них процесів, є індекс купівельної спроможності грошей:

ІКС =у-> ТОДІ Ї =

V

де 5" — реальна нарощена сума, 8 — нарощена сума за п років;

4с =( 1 + ТЇ",

де т — темп інфляції;

'1 + 7 V5

Я = Р(1 + і)"(1 + тУ" =Р

у1 + х

Термінологічний словник ключових понять

Відсотки — це плата за користування позиченими грошима або аб­солютна величина доходу від наданих у борг грошей у будь-якій формі.

Відсоткова ставка — це відношення відсотків або суми відсотко­вих грошей, виплачених за певний періоду часу (рік, місяць), до вели­чини позички (суми боргу).

Ефективна ставка відсотків — річна ставка складних відсотків, еквівалентна номінальній ставці при нарахуванні відсотків т разів на рік. Вона показує реальний відносний дохід, який отримують у цілому за рік.

Капіталізація відсотків — це процес нарахування складних відсот­ків і додавання їх до суми, яка служила базою для їх нарахування.

Номінальна ставка відсотків — це річна сумарна ставка відсотків 7 при т нарахуваннях відсотків на рік.

Облікова ставка відсотків (позначається ії) — це ставка, яка вико­ристовується при нарахуванні і збиранні відсотків наперед (перед поча­тком терміну користування грошима). Сума, яка видається позичальни­ку, менша від кінцевої суми боргу на величину відсоткових грошей, нарахованих за обліковою ставкою.

Складні відсотки — це відсоткові гроші, при нарахуванні яких за базу приймається нарощена сума попереднього періоду.

Ставка відсотків (позначається і) — це ставка, яка використовуєть­ся при нарахуванні відсоткових грошей від початкової суми боргу з на­рахованими за попередні періоди відсотками.

План практичних занять

1. Сутність відсотків і відсоткових ставок.

2. Нарощення за простими відсотками.

3. Дисконтування та облік за простими відсотками.

4. Визначення тривалості позички і рівня відсоткових ставок.

5. Нарахування складних річних відсотків.

6. Номінальна та ефективна ставки відсотків.

7. Облік (дисконтування) за складною ставкою відсотків.

8. Операції зі складною обліковою ставкою.

9. Порівняння процесів нарощення за різними відсотковими ставками.

10. Визначення строку платежу і рівня відсоткових ставок.

Навчальні задачі

1. Визначити відсотки і суму накопиченого боргу, якщо сума виданих грошей — 5000 грн, строк позички — 2 роки, ставка від­сотків — 5 %.

2. Обсяг позички — 100 000 грн, строк позички — з 1 березня по 6 жовтня поточного року. Відсоткова ставка — 6 %. Визначи­ти трьома можливими способами суму накопиченого боргу і від­соток.

3. Існують два варіанти кредитування. Первісний розмір по­зички в обох випадках — 14 000 грн. При першому варіанті тривалість позички — 65 днів, відсоткова ставка — 6,5 % річ­них. При другому варіанті тривалість позички — 72 дні, а об­лікова ставка — 5,8 %. Визначити, який варіант найвигідніший для боржника.

4. Якою буде відсоткова сума позички, якщо в контракті пе­редбачено за перші два роки нараховувати по 10 % річних, у на­ступні два роки — по 12 %, а в останні три роки ставка відсотків підвищуватиметься в кожному півріччі на 0,5 пункта? Сума по­зички дорівнює 1000 грн.

5. Визначити відсотки, якщо позичка була надана в розмірі 200 грн. Строк позички — 6 місяців. Ставка відсотків — 2 %.

6. Позичка видана в розмірі 100 грн під 6 % річних. Сторони домовились, що через деякий час боржник поверне кредитору суму в розмірі 150 грн. Визначити, через який строк він повинен повернути свій борг.

7. Зобов'язання сплатити через 160 днів 30 грн з відсотками (5 % річних) було враховане за 100 днів до настання строку, об­лікова ставка — 6 %. Визначити отриману суму.

8. Сторони домовились про те, що із суми кредиту, виданого на 210 днів, відраховується дисконт у розмірі 12 %. Необхідно визначити ціну кредиту у вигляді простої облікової ставки.

9. Первісна сума боргу — 100 грн. Строк позички — 3 роки. Ставка відсотків — 8 %. Відсотки капіталізуються 4 рази на рік. Визначити величину відсотка.

10.Визначити очікувану величину компенсації, якщо передба­чається видати позичку в розмірі 100 грн на строк 3 роки при ставці 2 % річних, а передбачуваний темп інфляції — 3 %.

11. Зобов'язання у сумі 500 грн. повинно бути погашено через 4 роки, облікова ставка 12 %. Нарахування дисконту щокварта­льне. Знайти розмір дисконту.

12.Позичка видана в розмірі 100 грн під 6 % річних. Сторони домовились, що через деякий час боржник поверне кредиторові суму в розмірі 150 грн. Визначити, через який строк боржник по­винен повернути гроші.

13.Визначити, яку величину має становити номінальна ставка відсотків, якщо сума позички повинна подвоїтися за 4 роки, а відсотки нараховуються за кожні півроку.

14.Визначити реальну суму відсотків, якщо первісна сума бор­гу дорівнює 100 грн, строк — 3 роки, відсоткова ставка — 3 %, а темп інфляції — 2 % на рік.

15. Зобов'язання, що дорівнює 1000 грн, повинно бути пога­шено через 5 років, облікова ставка — 5 %, нарахування поквар­тальне. Знайти сучасну величину зобов'язання, розмір дисконту, ефективну облікову ставку.

16. Первісна сума боргу становить 4500 грн. Строк позички — 2 роки. Відсотки капіталізуються щомісячно. Номінальна ставка відсотків — 0,08. Визначити відсоток та еквівалентну номіналь­ній ефективну ставку відсотків.

17. Позичка в 1500 грн надана на строк 4 роки за номінальною ставкою 6 % річних. Відсотки капіталізуються поквартально. Якщо протягом перших 4 років позичка не виплачується, то но­мінальна ставка підвищується на 3 п. п. Строк погашення — 6 років. Визначити суму накопиченого боргу і відсоток.

Розв'язок типових задач

1. Видано кредит у сумі 1000 грн на строк 2 роки під 5 % річ­них. Необхідно визначити відсоток, який отримує кредитор, та суму, яку боржник виплатить наприкінці строку.

Розв 'язання:

Спочатку визначимо величину відсотка:

І = р. і-п = 1000 • 0,05-2 = 100 грн,

а потім нарощену суму:

5 = Р + 1 = 1000 + 100 = 1100 грн.

Цю задачу можна розв'язати й іншим способом: 5 = Р{\ + п і) = 1000(1 + 2 0,05) = 1100;

І = Б -Р = 1100-1000 = 100 грн.

2. Якою буде нарощена сума позички, якщо в угоді передбача­ється за перші два роки нарахування 10 % річних, а в наступні два роки ставка простих відсотків збільшується кожні півроку на 1 п. п. Початкова сума позички дорівнювала 1000 грн.

Розв 'язання :

т і

= 1000(1 + 2 • 0,1 + 0,5 0,11 + 0,5 • 0,12 + 0,5 • 0,13 + 0,5 • 0,14) = 1450 грн.

3. Необхідно визначити, яку суму видасть кредитор, і суму ди­сконту, якщо через три місяці з моменту видачі кредиту боржник сплатить кредитору 1025 грн. Кредит надано під 10 % річних.

Розв 'язання:

Р = — = 1025 =1000 гри.

1+пі 1+0,1-А 12

Величина дисконту Э = Б - Р = \ 025- 1000 = 25 грн.

4. Необхідно знайти при обліку векселів суму, яку банк випла­тить власнику, якщо останній врахував вексель у банку 15 жовт­ня. Вексель був наданий на суму 1000 грн. з оплатою 15 листопа­да. Облікова ставка — 10 %.

Розв \язання:

/ 8 \ 1

360

' зо Л 1- — 0,1 360

V

Р = Б
= 1000
= 991,7 грн.
V

5. Визначити, яку облікову ставку застосував банк, запла­тивши 1240 грн. під час обліку векселя, викупна ціна якого становить 1300 грн. Термін платежу за векселем через 4 мі­сяці.

Розв \язання:

^ = ^=130°-1240 = 0,1385, або 13,85 о/о.

1300 -уі2

6. Кредит надано в сумі 1000 грн. Відсоткова ставка — 10 % річних. Нараховуються прості відсотки. У кінці строку боржник поверне суму в розмірі 1040 грн. Необхідно визначити, на який строк буде надано цей кредит.

Розв:язання:

Я-Р 1040-1000 п„ п = = = 0,4 роки.

Рі 1000 0,1

7. Необхідно визначити суму, яку потрібно поставити в блан­ку векселя за умови, що строк векселя — 3 місяці, облікова став­ка — 10%, під вексель надається 1000 грн.

Розе 'язання:

р юоо ..Л

S =------- =-------------- = 1025,6 грн.

1 -nd 1 - у . од

8. Кредит надано в сумі 1000 грн на 5 років за складною став­кою відсотків 10 % річних. Визначити, яку суму повинен повер­нути боржник наприкінці строку позички.

Розе \язання:

S = P(\+if = 1000(1 + ОД)5 = 1610,5 грн.

9. Відсоткова ставка за позичкою визначена на рівні 8,5 % плюс надбавка 0,5 п. п. в перші два роки та 0,75 — у наступні три роки.

Розе \язання:

Множник наростання у даному випадку становитиме 1,0921,09 253 = 1,549.

10. Кредит у розмірі 30 тис. грн надано на строк 3 роки і 160 днів. Якщо обумовлена в контракті ставка дорівнює 6,5 % і пе­редбачено змішаний метод нарахування відсотків, то сума боргу на кінець строку становитиме:

Розе \язання:

S = 30 000 • 1,0653 • (1 +160/365 0,065) = 37 271 грн.

За формулою наростання складних відсотків:

S = ЗО 000• 1,0653 • 1,0651бО/365 =37252 грн.

11. Кредит надано в розмірі 1000 грн на 5 років під 12 % річ­них. Відсотки на суму боргу нараховуються щомісячно. Необхід­но визначити величину боргу наприкінці строку позички.

Розе \язання:

S = Р( 1 + j/m)mn = 1000(1 + 0,12/12)125 =18 1 6,7 грн.

12. Номінальна ставка — 6 % річних, відсотки нараховуються кожні півроку. Визначити ефективність цього процесу нарощення.

Розе \язання:

/ = (1 + j/rn)m -1 = 1,032 -1 = 6,09 %.

Це означає, що позичка, яка надана під 6 % річних за умови, що відсотки нараховуються двічі на рік, принесе кредитору від­носний дохід у розмірі 6,09 % на рік. Заміна в договорі номіналь­ної ставки j при нарахуванні відсотків m разів на рік на ефектив­ну ставку і не змінює фінансових зобов'язань сторін, які беруть участь у договорі, тобто учасникам фінансової угоди байдуже, яку використовувати ставку: 6,09 % при нарахуванні відсотків один раз на рік або 6 % при нарахуванні відсотків два рази на рік.

13. Необхідно визначити, яку суму треба покласти на рахунок у банк, який нараховує 10 % річних за складною ставкою відсот­ків, щоб через 5 років отримати суму в 1000 грн.

Розв 'язання:

----- ^-------- 1000^=10^ = 6

(1 + /)" (1 + ОД)5 ІД5

14. В умовах випуску сертифікатів (номіналом 1000 грн) були передбачені викупні суми, які залежать від строку зберігання: при п'ятирічному виплачувалось 1415 грн, десятирічному 2595 грн. Які значення мають річні складні ставки відсотків, кот­рі дають таке наростання?

Розв 'язання:

і = (,S!P)Vn- 1 = (1415/1000)15 - 1 = 0,07189; і = (2595/1000)шо- 1 =0,1.

15. Вексель виписано на строк 2 роки. Якою повинна бути складна облікова ставка, щоб при обміні векселя власник отри­мав 90 % його суми?

Розв 'язання :

P/S = 0,9; п = 2; dc = 1 - PIS11" = 1 - VÔ^9 = 0,0513.

16. Кредит надано у сумі 1000 грн за ставкою складних відсо­тків 10 % річних. Боржник повинен у кінці строку позички повер­нути 1200 грн. Необхідно визначити, на який строк було надано кредит.

Розв 'язання :

j 1200

=_jôôL=№9 = ls91pOK3,

ln(l + 0,1) 0,041

17. Чому дорівнюватиме сума в 1000 грн через 10 років за умови, що на цю суму нараховуються 6 % річних? Якою буде її реальна купівельна спроможність, якщо приріст цін в середньому дорівнюватиме 3 % (перший варіант) і 8 % (другий варіант)?

Розв 'язання :

1000 • 1,06і0 = 1790,8.

чЮ

1,06 '1,06
= 1332,5 грн. = 829,5 грн.
1,08

Перший варіант 5" = 1000 Другий варіант 5" = 1000

Завдання для перевірки знань

1. Що таке нарощення боргу та як його обчислити?

2. Які існують види відсоткових ставок?

3. У чому полягає різниця між ставкою відсотків та обліковою ставкою?

4. Яка ставка називається простою відсотковою ставкою?

5. Від чого залежить розмір відсоткових грошей?

6. Що ви розумієте під принципом нерівноцінності грошей:

а) гроші втрачають свою вартість з часом внаслідок інфляційних процесів;

б) будь-яка сума грошей теоретично може бути інвестована;

в) теоретично будь-яка сума грошей може бути інвестована і прине­сти дохід;

г) усе викладене.

7. Які бувають відсоткові ставки за методом нарахування відсотків:

а) фіксовані і плаваючі (змінювані);

б) складні і прості;

в) постійні і змінювані;

г) ставка відсотків та облікова ставка.

8. Якщо ставка відсотків застосовується до однієї початкової суми і протягом усього строку, то це:

а) складні відсоткові ставки;

б) фіксовані ставки;

в) прості відсоткові ставки;

г) змінні прості відсоткові ставки.

9. Що ви розумієте під нарощеною сумою позички:

а) нараховані відсотки за користування позичкою;

б) приєднання відсотків до суми, яка повинна бути виплачена в кінці строку позички;

в) первісна сума позички разом з нарахованими відсотками до кінця строку;

г) вірної відповіді немає.

10. Які з нижченаведених висловлювань є визначенням відсотків:

а) абсолютна величина доходу від надання грошей у борг у будь- якій формі;

б) відношення відсоткових грошей, виплачуваних за фіксований відрізок часу, до величини позички;

в) відносна величина доходу від наданих грошей в борг у будь-якій формі;

г) абсолютний дохід від надання грошової позички.

11. Які з наведених нижче формул є множниками нарощення: а) (1 + пі); б) (1 - псі); в) (1 + пі)' ; г) всі формули.

12. Що вимірюють ефективні ставки відсотків?

а) реальний відносний дохід, який отримають в цілому за рік;

б) реальний абсолютний дохід, який отримають в цілому за рік;

в) дохід від вкладених коштів, який визначається за річною ставкою відсотків;

г) нічого з вшцевикладеного.

13. Які з наведених співвідношень неправильні:

а) (і + и/„Г < (1 + /с)"я при « < 1:

б) (1 + піп)-1 1;

в) (і + Піп) > (і + іс)п при п < 1;

г) (і + и/и)1.

14. Яка з наведених формул є формулою подвоєння за простими від­сотками:

а)« = —; б)(і + 0"=#;

іп

. 1 1п2

в) п = —; г) п =--- .

іп 1п(1 + /)

15. Яка з наведених формул є дисконтним множником:

в)(і-паУ; г^-ку.

16. Яка з наведених формул лежить в основі змішаного методу на­рахування відсотків:

а) 5" = Р(1 + /')" (1 + пі);

б) 5" = Р(1 + аі) (1 + Ьі);

в)5' = Р(1 +/)а(1 +Ьі);

г) 5 = Р(\ + і)" (1 + Ьі).

17. В якій з наведених формул є помилка:

a) dc = (і - f/J -1; б) J = mill + /)У* -1);

в)/ = (і + %Т-1; T)f = m-mil^d.

18. Що таке складні відсотки?

19. У чому полягає суть капіталізації відсотків?

20. Чому нарахування складних відсотків при довготермінових фі­нансово-кредитних операціях вигідніше кредитору, ніж нарахування простих відсотків?

21. Яка ставка називається номінальною?

22. Для чого використовується ефективна ставка відсотків?

<< | >>
Источник: Шустіков А. А.. Фінансова статистика: Навч.-метод, посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ,. — 205 с.. 2003

Еще по теме Тема 9. Оцінювання зміни вартості:

  1. Тема 6.Объекты франчайзинга
  2. Тема 8. Разработка системы франчайзинга
  3. Тема 10. Разработка концепции франчайзинга
  4. Тема 9. Определение области прав
  5. Тема 11. Франчайзинговый договор
  6. Тема 7. Виды франчайзинга
  7. Тема 7 Социальная стратификация
  8. Тема 13. Организация деятельности центральных банков
  9. ТЕМА 1.
  10. ТЕМА 2
  11. ТЕМА 3
  12. ТЕМА 4
  13. ТЕМА 5