5.3. Основні показники варіації
Д Хтах Хтіп.
Середнє лінійне відхилення (!) (розраховують без урахування знаків):
просте зважене
1 п ; Е/ '
де х — індивідуальне значення ознаки (варіанта); х — середнє значення ознаки; п — кількість варіант; / — частота.
Середній квадрат відхилення (а2) — дисперсія:
проста зважена
^(х-х)2 2 а = ;------------- ег - ------ — .
п
Середнє квадратичне відхилення (а):
просте зважене
п ; Е/ '
Л1Н1ИНИИ |
Коефіцієнт варіації (використовують при порівнюванні варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях):
квадратичнии
а
„ і. 100%; ^ = --100%.
х х
ТИПОВІ ЗАДАЧІ
Задача 1. На основі даних про три бригади визначити середню заробітну плату по заводу за різних комбінацій даних.
Середня заробітна плата, фонд оплати праці та чисельність працівників трьох бригад
|
Розв'язання.
Щоб визначити середню заробітну плату по заводу, потрібно фонд оплати праці поділити на чисельність працівників, тобто__ Е>
Розглянемо можливі варіанти комбінацій даних.
Варіант 1. Маємо дані граф 1 і 2 (див. таблицю), тобто в логічній формулі відомий чисельник, а невідомий знаменник. За правилами вибору середньої її визначають як середню гармонійну зважену, тому що кількість працівників можна визначити діленням фонду оплати праці на середню заробітну плату по заводу. Отже,
5700 + 3690 + 2120 _ 11510 ж ~ ^^ ~ 5700 3690 2Ї20 ~ "58" ~ ' ГрН' ^ "Ї90~ + 205 + 212
Варіант 2. Маємо дані граф 2 і 3 (див. таблицю), тобто в логічній формулі відомий знаменник, а невідомий чисельник. У такому разі середню визначають як середню арифметичну зважену, тому фонд оплати праці можна визначити як добуток середньої заробітної плати по заводу і чисельності працівників. Отже,
Vхі 190 • 30 + 205 • 18 + 212 • 10 х = -=— = « 198,4 грн.
30+18 + 10 ' Р
Варіант 3. Маємо дані граф 2 і 3 (див. таблицю), тобто відомі чисельник і знаменник логічної формули. Тоді середня заробітна плата по заводу
11510
198,4 грн.
Задача 2. На основі даних про витрати часу на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників (1/2, 1/3, 1/7) обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.
Розв 'язання. Для обчислення середніх витрат часу на виготовлення однієї деталі використаємо формулу середньої гармонійної простої:
п
Тоді
1 |
1 + 1 + 1
= 7 Г°Д-
1 1 1 4
172 + ТТз + Т/7
Отже, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі стано- 1
влять — год.
Задача 3. На основі наведених у таблиці даних групування промислових підприємств за обсягом виробленої продукції розрахувати:
1) середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне підприємство;
2) характеристики центру розподілу;
3) показники варіації.
Групування промислових підприємств за обсягом виробленої продукції
|
Розв'язання. 1. Середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне підприємство.
Дані наведені у вигляді ряду розподілу і згруповані. Тому для розрахунку середнього обсягу виробленої продукції на одне підприємство використовуємо формулу середньої зваженої:
_ 118,5 х = -=.— = -- = 3,95 млн грн,
Е/ зо
Л
2. Характеристики центру розподілу.
Знайдемо характеристику центру розподілу — моду Мо.
Мода у статистиці — це та варіанта, яка найчастіше повторюється в сукупності.
В інтервальних рядах розподілу мода визначається за формулою
і, ~\г ,7 Ліо — Ді 0-1
Мо = Амо + п-
(Ліо — К\0-1) + Л — Ніо+1)'
де ХМо — нижня межа модального інтервалу, там де найбільша чаН
Лмо — модальна частота; Лмо-1 — передмодальна частота; Лм0+1 — післямодальна частота.
За даними таблиці найбільшу частоту має інтервал 2,5-4,0.
Хмо — 2,5 Н — 1,5 |
3,06 млн грн. |
Л |
10 |
Лі 0-1 — 7 Ні 0+1 = 5 |
10 — 7
Мо —2,5 + 1,5
(10 — 7)+ (10 — 5)
Отже, найбільша кількість підприємств має обсяг виробленої продукції 3,063 млн грн.
Тепер визначимо характеристику центру розподілу — медіану Ме.
Медіана — це варіанта, що ділить упорядкований ряд на дві рівні за чисельністю частини. При цьому в одній частині значення варіюючої величини буде меншим, ніж у другій.
В інтервальних рядах розподілу медіана визначається за формулою
У /
' > ^ о
/ме |
--- ~Ме-1
Ме = Хме + к
де ХМе — нижня межа медіанного інтервалу; Н — величина медіанного інтервалу; У / — сума всіх частот; 5ме-1 — сума кумулятивних частот (до медіанної частоти); /ме — медіанна частота.
Підставляючи числові значення, визначаємо
І-7
Ме = 2,5 + 1,5—-------- = 3,7 млн грн.
10
Отже, половина підприємств має обсяг виробленої продукції понад 3,7 млн грн, а інша — менший від 3,7 млн грн.
3. Показники варіації.
Розмах варіації
К = хтах - Хтіп = 7,0 - 1,0 = 6,0 млн грн.
Цей показник характеризує діапазон варіації ознаки, тобто обсяги виробленої продукції за підприємствами варіюють у цих межах.
Середнє лінійне відхилення — це середня арифметична з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середнього значення. Модуль відхилень варіації від її середнього значення використовують тому, що алгебраїчна сума цих відхилень дорівнює нулю. Для рядів з нерівними частотами
т _ Ек-^І/ Е/ '
де \х-х\ — абсолютне значення відхилення варіації від її середнього /
Спочатку знаходимо середину в кожному інтервалі за допомогою середньої арифметичної. Таким чином, інтервальний ряд перетворюємо на дискретний. Загальний середній рівень визначають за допомогою арифметичної зваженої
_ Ех/ 118,5 х = = = 3,95 млн грн.
/ . .1 30
Середнє лінійне відхилення - 44,8
І = ^ = 1,493 млн грн.
Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляються від середнього значення в середньому на 1,493 млн грн.
Дисперсія — це середній квадрат відхилення варіантів від їх середньої арифметичної. Отже,
2 Е 84,3
а = Е/ =-аг = 2'81-
За формулою різниці квадратів а2 = х2 — (ж)2, де х2 — середнє значення квадрату; (ж)2 — квадрат середнього значення. Отже,
= ^ - (Щ)' = ^ -(3,«)' = 2.81.
Середнє квадратичне відхилення обсягу виробленої продукції (абсолютне коливання значень варіюючої ознаки)
а = уст2 = -у/2, 81 = 1,676 млн грн.
Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляються від середнього значення в сукупності на 1,676 млн грн.
Коефіцієнт варіації використовують для оцінки однорідності досліджуваної сукупності щодо ознаки, яка вивчається, тобто при порівнюванні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях.
Вважатимемо сукупність однорідною, а середнє значення — надійним і типовим, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.
Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої ознаки
V = = ■ 100 % = ■ 100 % = 42,5 %.
х 3,95
Отже, сукупність за обсягом виробленої продукції не однорідна щодо середньої річної вартості основних виробничих фондів.
Дані для розрахунку показників варіації обсягу виробленої продукції наведені в таблиці на с. 45.
Вихідні показники | Розраховані показники | ||||||||||
Номер групи | Обсяг виробленої продукції, млн. грн. | Кількість підприємств (частота) / | Середина інтервалу (варіанти) X | Варіанти, зважені на частоти xf | X — X | \х - х\f | (ж - ж)2 | (ж- -xff | ж2 | x2f | |
І | 1,0-2,5 | 7 | 1,75 | 12,25 | -2,20 | 15,40 | 4,84 | 33,88 | 3,063 | 21,438 | |
II | 2,5-4,0 | 10 | 3,25 | 32,50 | -0,70 | 7,00 | 0,49 | 4,90 | 10,563 | 105,625 | |
III | 4,0-5,5 | 5 | 4,75 | 28,75 | 0,80 | 4,00 | 0,64 | 3,20 | 22,563 | 112,813 | |
IV | 5,5-7,0 | 8 | 6,25 | 50,00 | 2,30 | 18,40 | 5,29 | 42,32 | 39,063 | 312,500 | |
Разом | ЗО | _ | 118,50 | _ | 44,80 | _ | 84,30 | _ | 552,375 |
Сл |
Питання для самоконтролю
1. Сутність середньої величини у статистиці.
2. Які види середніх використовують у статистичному аналізі?
3. Визначальна властивість середньої арифметичної.
4. Середня гармонійна проста і зважена. Техніка обчислення.
5. Середня квадратична проста і зважена. Техніка обчислення.
6. Середня геометрична. Техніка обчислення.
7. Мода і медіана. Техніка обчислення.
8. Варіація ознак. Розмах варіації і середнє лінійне відхилення. Техніка обчислення.
9. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Техніка обчислення.
10. Коефіцієнт варіації. Техніка обчислення.
Еще по теме 5.3. Основні показники варіації:
- 2. Показники, що використовуються в практиці оцінки комерційного банку.
- 1. Показники ліквідності
- 1. Види банків та їх основні функції.
- 2.3. Основні властивості автоматизованій банківській системі (АБС).
- З М І С Т
- Аналіз ліквідності філії ПРАК АПБ в м.Рибниця
- 1.1. Предмет, метод та значення аналізу діяльності комерційного банку ПМР
- 2. Аналіз платоспроможності
- Т. В. Назарчук, О. М. Косіюк. Менеджмент організацій [Текст]: Навчальний посібник. - К.: «Центр учбової літератури», - 560 с., 2015
- 2.4. Міжнародна діяльність АКБ "УКРСОЦБАНК"
- 3.3 Аналіз динаміки доходів та витрат АКБ “Укрсоцбанк
- Аналіз високоліквідних активів філії ПРАК АПБ в м. Рибниця
- Шустіков А. А.. Фінансова статистика: Навч.-метод, посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ,. — 205 с., 2003