<<
>>

5.3. Основні показники варіації

Розмах варіації (Д) — це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

Д Хтах Хтіп.

Середнє лінійне відхилення (!) (розраховують без урахування знаків):

просте зважене

1 п ; Е/ '

де х — індивідуальне значення ознаки (варіанта); х — середнє зна­чення ознаки; п — кількість варіант; / — частота.

Середній квадрат відхилення (а2) — дисперсія:

проста зважена

^(х-х)2 2 а = ;------------- ег - ------ — .

п

Середнє квадратичне відхилення (а):

просте зважене

п ; Е/ '

Л1Н1ИНИИ

Коефіцієнт варіації (використовують при порівнюванні варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях):

квадратичнии

а

„ і. 100%; ^ = --100%.

х х

ТИПОВІ ЗАДАЧІ

Задача 1. На основі даних про три бригади визначити середню заробітну плату по заводу за різних комбінацій даних.

Середня заробітна плата, фонд оплати праці та чисельність працівників трьох бригад
Номер Середня заробітна Фонд оплати праці Чисельність
бригади плата ж, грн. IV, грн. працівників /
А 1 2 3
1 190 5700 ЗО
2 205 3690 18
3 212 2120 10
Разом 11510 58

Розв'язання.

Щоб визначити середню заробітну плату по заводу, потрібно фонд оплати праці поділити на чисельність працівників, тобто

__ Е>

Розглянемо можливі варіанти комбінацій даних.

Варіант 1. Маємо дані граф 1 і 2 (див. таблицю), тобто в логіч­ній формулі відомий чисельник, а невідомий знаменник. За правила­ми вибору середньої її визначають як середню гармонійну зважену, тому що кількість працівників можна визначити діленням фонду оплати праці на середню заробітну плату по заводу. Отже,

5700 + 3690 + 2120 _ 11510 ж ~ ^^ ~ 5700 3690 2Ї20 ~ "58" ~ ' ГрН' ^ "Ї90~ + 205 + 212

Варіант 2. Маємо дані граф 2 і 3 (див. таблицю), тобто в логіч­ній формулі відомий знаменник, а невідомий чисельник. У такому разі середню визначають як середню арифметичну зважену, тому фонд оплати праці можна визначити як добуток середньої заробіт­ної плати по заводу і чисельності працівників. Отже,

Vхі 190 • 30 + 205 • 18 + 212 • 10 х = -=— = « 198,4 грн.

30+18 + 10 ' Р

Варіант 3. Маємо дані граф 2 і 3 (див. таблицю), тобто відомі чисельник і знаменник логічної формули. Тоді середня заробітна плата по заводу

11510

198,4 грн.

Задача 2. На основі даних про витрати часу на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників (1/2, 1/3, 1/7) обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.

Розв 'язання. Для обчислення середніх витрат часу на виготовлен­ня однієї деталі використаємо формулу середньої гармонійної про­стої:

п

Тоді

1

1 + 1 + 1

= 7 Г°Д-

1 1 1 4

172 + ТТз + Т/7

Отже, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі стано- 1

влять — год.

Задача 3. На основі наведених у таблиці даних групування про­мислових підприємств за обсягом виробленої продукції розрахувати:

1) середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне під­приємство;

2) характеристики центру розподілу;

3) показники варіації.

Групування промислових підприємств за обсягом виробленої

продукції

Вихідні показники Розраховані показники
Номер групи Обсяг виробленої продукції, млн.
грн.
Кількість

під­приємств /

Середина інтервалу (варіанти) X Варіанти, зважені на частоти xf Кумуля­тивні частоти Sf
І 1,0-2,5 7 1,75 12,25 7
II 2,5-4,0 10 3,25 32,50 17
III 4,0-5,5 5 4,75 28,75 22
IV 5,5-7,0 8 6,25 50,00 ЗО
Разом ЗО _ 118,50 _

Розв'язання. 1. Середній обсяг виробленої продукції в розрахунку на одне підприємство.

Дані наведені у вигляді ряду розподілу і згруповані. Тому для ро­зрахунку середнього обсягу виробленої продукції на одне підприєм­ство використовуємо формулу середньої зваженої:

_ 118,5 х = -=.— = -- = 3,95 млн грн,

Е/ зо

Л

2. Характеристики центру розподілу.

Знайдемо характеристику центру розподілу — моду Мо.

Мода у статистиці — це та варіанта, яка найчастіше повторюється в сукупності.

В інтервальних рядах розподілу мода визначається за формулою

і, ~\г ,7 Ліо Ді 0-1

Мо = Амо + п-

(Ліо К\0-1) + Л — Ніо+1)'

де ХМо — нижня межа модального інтервалу, там де найбільша ча­Н

Лмо — модальна частота; Лмо-1 — передмодальна частота; Лм0+1 — післямодальна частота.

За даними таблиці найбільшу частоту має інтервал 2,5-4,0.

Хмо — 2,5 Н — 1,5
3,06 млн грн.
Л
10
Лі 0-1 — 7 Ні 0+1 = 5

10 — 7

Мо —2,5 + 1,5

(10 — 7)+ (10 — 5)

Отже, найбільша кількість підприємств має обсяг виробленої про­дукції 3,063 млн грн.

Тепер визначимо характеристику центру розподілу — медіану Ме.

Медіана — це варіанта, що ділить упорядкований ряд на дві рівні за чисельністю частини. При цьому в одній частині значення варію­ючої величини буде меншим, ніж у другій.

В інтервальних рядах розподілу медіана визначається за форму­лою

У /

' > ^ о

/ме

--- ~Ме-1

Ме = Хме + к

де ХМе — нижня межа медіанного інтервалу; Н — величина медіан­ного інтервалу; У / — сума всіх частот; 5ме-1 — сума кумулятивних частот (до медіанної частоти); /ме — медіанна частота.

Підставляючи числові значення, визначаємо

І-7

Ме = 2,5 + 1,5—-------- = 3,7 млн грн.

10

Отже, половина підприємств має обсяг виробленої продукції по­над 3,7 млн грн, а інша — менший від 3,7 млн грн.

3. Показники варіації.

Розмах варіації

К = хтах - Хтіп = 7,0 - 1,0 = 6,0 млн грн.

Цей показник характеризує діапазон варіації ознаки, тобто обсяги виробленої продукції за підприємствами варіюють у цих межах.

Середнє лінійне відхилення — це середня арифметична з відхи­лень індивідуальних значень ознаки від їх середнього значення. Мо­дуль відхилень варіації від її середнього значення використовують тому, що алгебраїчна сума цих відхилень дорівнює нулю. Для рядів з нерівними частотами

т _ Ек-^І/ Е/ '

де \х-х\ — абсолютне значення відхилення варіації від її середнього /

Спочатку знаходимо середину в кожному інтервалі за допомо­гою середньої арифметичної. Таким чином, інтервальний ряд пере­творюємо на дискретний. Загальний середній рівень визначають за допомогою арифметичної зваженої

_ Ех/ 118,5 х = = = 3,95 млн грн.

/ . .1 30

Середнє лінійне відхилення - 44,8

І = ^ = 1,493 млн грн.

Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляють­ся від середнього значення в середньому на 1,493 млн грн.

Дисперсія — це середній квадрат відхилення варіантів від їх се­редньої арифметичної. Отже,

2 Е 84,3

а = Е/ =-аг = 2'81-

За формулою різниці квадратів а2 = х2 — (ж)2, де х2 — середнє значення квадрату; (ж)2 — квадрат середнього значення. Отже,

= ^ - (Щ)' = ^ -(3,«)' = 2.81.

Середнє квадратичне відхилення обсягу виробленої продукції (аб­солютне коливання значень варіюючої ознаки)

а = уст2 = -у/2, 81 = 1,676 млн грн.

Отже, обсяги виробленої продукції в окремих групах відхиляють­ся від середнього значення в сукупності на 1,676 млн грн.

Коефіцієнт варіації використовують для оцінки однорідності до­сліджуваної сукупності щодо ознаки, яка вивчається, тобто при порівнюванні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних су­купностях.

Вважатимемо сукупність однорідною, а середнє значення — надійним і типовим, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.

Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої ознаки

V = = ■ 100 % = ■ 100 % = 42,5 %.

х 3,95

Отже, сукупність за обсягом виробленої продукції не однорідна щодо середньої річної вартості основних виробничих фондів.

Дані для розрахунку показників варіації обсягу виробленої про­дукції наведені в таблиці на с. 45.

Вихідні показники Розраховані показники
Но­мер гру­пи Обсяг виробле­ної продук­ції, млн. грн. Кіль­кість підпри­ємств (часто­та) / Сере­дина інтерва­лу (варіан­ти) X Варі­анти, зважені

на частоти

xf

X — X \х - х\f (ж - ж)2 (ж- -xff ж2 x2f
І 1,0-2,5 7 1,75 12,25 -2,20 15,40 4,84 33,88 3,063 21,438
II 2,5-4,0 10 3,25 32,50 -0,70 7,00 0,49 4,90 10,563 105,625
III 4,0-5,5 5 4,75 28,75 0,80 4,00 0,64 3,20 22,563 112,813
IV 5,5-7,0 8 6,25 50,00 2,30 18,40 5,29 42,32 39,063 312,500
Разом ЗО _ 118,50 _ 44,80 _ 84,30 _ 552,375
Сл

Питання для самоконтролю

1. Сутність середньої величини у статистиці.

2. Які види середніх використовують у статистичному аналізі?

3. Визначальна властивість середньої арифметичної.

4. Середня гармонійна проста і зважена. Техніка обчислення.

5. Середня квадратична проста і зважена. Техніка обчислення.

6. Середня геометрична. Техніка обчислення.

7. Мода і медіана. Техніка обчислення.

8. Варіація ознак. Розмах варіації і середнє лінійне відхилення. Техніка обчислення.

9. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Техніка обчис­лення.

10. Коефіцієнт варіації. Техніка обчислення.

<< | >>
Источник: А. В. Головач, В. Б. Захожай, Н. А. Головач, Г. Ф. Шепітко. Фінансова статистика (з основами теорії статистики): Навч. посіб. — К: МАУП, — 224 с.. 2002

Еще по теме 5.3. Основні показники варіації:

  1. 2. Показники, що використовуються в практиці оцінки комерційного банку.
  2. 1. Показники ліквідності
  3. 1. Види банків та їх основні функції.
  4. 2.3. Основні властивості автоматизованій банківській системі (АБС).
  5. З М І С Т
  6. Аналіз ліквідності філії ПРАК АПБ в м.Рибниця
  7. 1.1. Предмет, метод та значення аналізу діяльності комерційного банку ПМР
  8. 2. Аналіз платоспроможності
  9. Т. В. Назарчук, О. М. Косіюк. Менеджмент організацій [Текст]: Навчальний посібник. - К.: «Центр учбової літератури», - 560 с., 2015
  10. 2.4. Міжнародна діяльність АКБ "УКРСОЦБАНК"
  11. 3.3 Аналіз динаміки доходів та витрат АКБ “Укрсоцбанк
  12. Аналіз високоліквідних активів філії ПРАК АПБ в м. Рибниця
  13. Шустіков А. А.. Фінансова статистика: Навч.-метод, посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ,. — 205 с., 2003