<<
>>

1.8. Задачи и примеры

Ссуда в размере 125 тыс. $ выдана 16.01 по 10.11 включительно, под 5,75% простых годовых, год високосный. Насколько больше будет наращенная сумма ссуды при ис­пользовании обыкновенных процентов по сравнению с наращенной суммой при использовании точных процентов, если продолжительность пользования ссудой вычисляется точно?

1.1.

Ссуда в 225 тыс. $, с удержанием процентов вперед, зыдана 18.01 по 19.08 включительно, под 8,25 обыкновен­ных, простых годовых процентов, год не високосный. Какую сумму на руки получит должник 18.01?

1.2. Владелец векселя на 175,5 тыс. $ с датой погашения 30.10 решил учесть его в банке 17.05. Банк Л согласен учесть вексель по ставке 8,5%, а банк В - по ставке 8,4% годовых. Какой банк предпочтет держатель векселя и почему? Какую сумму условно потеряет векселедержатель, если он выберет неправильную тактику? Временная база К = 360 дней.

1.3. Цена товара увеличилась на 25%. Насколько про­центов её необходимо уменьшить, чтобы получить первона­чальную цену?

1.4.

На сумму в 2255$ в течение 8 месяцев начисляют­ся простые проценты. Базовая ставка 5% годовых повыша­ется каждый месяц, начиная со второго, на 0,5%, временная база К - 360. Чему будут равны наращенная сумма и сред­няя процентная ставка?

1.5. Какую сумму следует положить на депозит 18.03 под 8,75 простых годовых процентов, чтобы 14.11 накопить 1800$, если используются: а) точные проценты, б) использу­ются обыкновенные проценты? (К — 365).

1.6. Какая должна быть ставка простых годовых процен­тов для того, чтобы сумма долга, взятого 11.04, увеличилась бы на 25% к 17.12, если используются: а) точные проценты; б) обыкновенные проценты? (К = 365).

1.7. По годовому депозиту назначена ставка 12% годо­вых. Какую ставку годовых процентов нужно назначить на полугодовой депозит, чтобы последовательное переоформ­ление полугодового депозита привело бы к такому же резуль­тату, что и при использовании годового депозита? (К = 360).

Указание: пренебречь одним днем, который теряется при переоформлении полугодового депозита.

1.8. Кредит в сумме 100 тыс. $ предоставлен 15.01 под 9,5 простых годовых процентов. С какого момента долг пре­высит 105 тыс. $, если начисляются: а) точные проценты, К = 365; б) обыкновенные проценты?

1.9. Кредит в сумме 120 тыс. $ выдан 10.01 по 16.09 включительно, под 10,5% годовых (обыкновенные процен­ты). В счет погашения долга 21.05 уплачено 80 тыс. $. Ка­кую сумму нужно вернуть 16.09?

Указание: использовать правило торговца, т.е. сумму в 80 тыс. $ "вывести" на дату 16.09.

1.10. На первоначальную сумму в 580$ в течение 2,5 лет начисляются проценты по годовой ставке 8,75%. Насколь­ко больше будет наращенная сумма, вычисленная по сме­шанному методу, чем по общему методу, если К = 360 дней?

1.11. Через сколько лет первоначальная сумма увеличит­ся в 1000 раз, если на нее начисляются сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце года; б) ежемесячном начислении процентов?

1.12. Запас древесины лесного массива в данный мо­мент, оценивается в 1 млн. м3. Каков будет запас древеси­ны через 50 лет при годовой силе роста 10%?

1.13. На первоначальную сумму в течение 5 лет начис­ляются сложные годовые проценты по ставке 12% раз в конце года. Во сколько раз вырастет наращенная сумма, если проценты будут начисляться ежемесячно?

1.14. На пять лет под 8,5 сложных годовых процентов выдана ссуда в 1000$. В счет погашения долга в конце второго года внесено 1100$, которые пошли на уплату про­центов, накопленных к этому сроку, а остальная сумма - на погашение основного долга, т.е. использовался актуарный метод погашения задолженности. Какую сумму следует уплатить в конце пятого года, чтобы полностью погасить задолженность?

1.15. Кредит выдан на 5 лет под 8% годовых, начисление процентов в конце года. Какую номинальную годовую став­ку процентов необходимо назначить, чтобы получить к кон­цу пятого года ту же наращенную сумму при покварталь­ном начислении процентов? Будет ли зависеть эта номи­нальная ставка от срока ссуды?

1.16.

На сумму долга в течение 2 лет начисляются слож­ные проценты по ставке 8,7% годовых. Сколько раз в году нужно начислять проценты по той же ставке, чтобы за 2 года наращенная сумма выросла бы не менее чем на 0,45%?

1.17. Кредит в сумме 2500 $ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в следующие 3 года - 8%, в последнем периоде - 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в конце восьмого года? Чему равна средняя ставка сложных процентов?

1.18. Чему будет равна годовая ставка сложных процен­тов, эквивалентная ставке непрерывных процентов из зада­чи 1.13?

1.19. Министр финансов Российской Федерации Б. Фе­доров, выступая в Думе в январе 1995 г., отметил, что ме­сячный темп инфляции в России составляет 5%, и преду­предил, что если такой темп инфляции сохранится, то в год он составит около 80%. Оппоненты обвинили Б. Федорова в том, что он "плохо" считает: говорит о 80%, а не о 60%. Кто же прав? Чему же точно равен темп инфляции за год при постоянном месячном темпе в 5%?

1.20. Остров Манхэттен был "куплен" в 1624 г. у ин­дейского вождя за 24 $ ([23], с. 37). Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд. $. При ка­кой ставке годовых процентов возможен такой рост?

1.21. На годовом рублевом депозите ставка процентов составляет 45% годовых. Месячный темп инфляции в пер­вом полугодии был постоянен и составил 4,7% в месяц, во втором полугодии - 5% в месяц. Во сколько раз возрастет реальная наращенная сумма депозита за год?

1.22. Месячные темпы роста инфляции за предшествую­щие полгода характеризуются следующим рядом: 3,05, 3,07, 3,24, 3,29, 3,42, 3,53%, т.е. отмечался устойчивый рост ин­фляции. Исходя из линейного прогноза месячных темпов инфляции, укажите годовую ставку простых процентов, обес­печивающую реальный рост долга по трехмесячному креди­ту в 3,5% годовых.

1.23. Свободные денежные средства в сумме 300 тыс. рублей планируется поместить на трёхмесячный депозит.

В данный момент обменный пункт покупает доллары по 2150 руб., а продает по 2165 руб. Ставка процентов по трёхмесячным депозитам составляет: 14% годовых по рублёвым вкладам и 3% годовых по долларовым. Что выгоднее, использовать рублёвый депозит или долларовый с двойной конверсией валюты, если предполагается, что курс покупки долларов за 3 месяца вырастает на 4%? Чему будет равна потеря при неправильной тактике вложения денежных средств?

1.24. На депозит на 3 месяца положили 1 млн. руб. под 36% годовых, К = 360. Проценты простые. Есть основания считать, что с равной вероятностью темп инфляции за это время составит от 2 до 4%. Чему будет равно среднее ожи­даемое значение реальной наращенной суммы депозита?

1.25. Исходя из условий предыдущей задачи подсчитай­те вероятность попадания реальной наращенной суммы в интервал от 1049000 руб. до 1065000 руб.

1.26. Планируется положить на трехмесячный депозит 10 млн. руб. В данный момент курс покупки доллара состав­ляет 30 110 рублей. За предыдущие 10 месяцев курс долла­ра рос и составил следующий временной ряд (в рублях)- 15500, 21000, 22800, 24850, 26730, 26980, 27180, 27430, 27880, 28800. Ставка процентов на рублевом депозите - 50%, а на долларовом - 5% годовых. Основываясь на степенном про­гнозе [21] курса доллара, решить вопрос, что выгоднее: по­местить денежные средства на рублевый или долларовый депозит с двойной конверсией? Чему будет равна наращен­ная сумма депозита при наилучшем варианте помещения денежных средств?

1.27. На первоначальную сумму денег в течение п лет начисляются сложные проценты по годовой ставке 10%.

Насколько процентов возрастет сумма при переходе к ежед­невной капитализации процентов (К = 365) для: а) п = 4;

б) п = а?

1.28. На начальную сумму в 1000 $ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные проценты по номи­нальной ставке 5%. Насколько увеличится или уменьшится наращенная сумма, если номинальная ставка и число перио­дов капитализации процентов возрастут вдвое?

1.29. Начальное значение силы роста равно 8%. Еже­годный абсолютный прирост составлял 2% в течение 5 лет, затем в течение последующих 5 лет происходило линейное падение силы роста на 1 % в год. Чему будет равен множи­тель наращения за 10 лет?

1.30. Четыре платежа: 10,5 тыс., 12 тыс;., 8,4.тыс. и 7,25 тыс, $ со сроками оплаты соответственно 3.03; 8.04; 17.06; 13.09 (год не високосной) решено заменить одним платежом, вы­плачиваемым 15!б§. При такой замене стороны согласи­лись использовать годовую ставку простых процентов - 6,5%. В качестве базовой даты можно выбрать любую из дат оплаты платежей. Какую базовую дату следует выбрать, чтобы консолидированный платеж: а) был минимальным; б) был максимальным? Определите величину консолидиро­ванного платежа для каждого из вариантов.

1.31. Четыре платежа из условий предыдущей задачи решено консолидировать в один платеж 5, выплачиваемый 1.03. При консолидации используется ставка 9,25 простых годовых процентов. Базовая дата - 1.03; временная база К = 365 дней. Какова величина 5?

1.32. По условиям предыдущей задачи консолидация платежей производится на основе банковской учетной став­ки 9,25%о годовых, К = 365 дней. Какова величина 5?

1.33. Ссуда в размере 100 тыс. $ выдана на 90 дней под 8,5% точных, простых годовых процентов, К - 366 дней. Однако она не была возвращена в намеченный срок, а была погашена спустя 13 дней, не считая даты погашения. Какую сумму следует вернуть, если за просроченное время на сум­му возврата долга начислялись точные, простые проценты по ставке 10 % годовых?

1.34. при сохранении условий задачи 1.31 четыре плате­жа решено погасить одним платежом в сумме 38,5 тыс. $. Консолидация производится на основе годовой ставки в 6,5 простых процентов. Определите дату уплаты консоли­дированного платежа.

1.35. Имеются три векселя с датами погашения, указан­ными в скобках, на сумму 12,5 тыс. (8.04); 7,25 тыс. (15.07) и 10,3 тыс. $ (23.11). Решено учесть их в банке 3.03 Банк учитывает векселя по ставке 8,2% годовых со сроками до погашения от 250 до 360 дней, по ставке 7,8% со сроками до погашения от 130 до 249 дней и по ставке 6% годовых для векселей со сроками погашения от 30 до 129 дней. Какую сумму получит владелец векселей, если учтет их одновре­менно в банке, К = 360?

1.36. Три векселя (условия их погашения приведены в задаче 1.36) решено заменить одним векселем в сумме 31 тыс. $ на основе банковской учетной ставки 8,2% годовых, К - 360. Укажите дату погашения этого векселя

1.37. Три векселя (условия их погашения приведены в задаче 1.36) решено заменить одним векселем, в котором необходимо указать целое число тысяч долларов. Замена производится на основе банковской учетной ставки 8,2% годовых, К - 360. Каково минимальное допустимое значе­ние этой суммы, при которой возможна подобная замена? Укажите дату погашения векселя с найденным значением минимально допустимой суммы.

1.38. Платежи в сумме 8,25 тыс., 10,05 тыс. и 25,45 тыс. $ со сроками оплаты соответственно через 2; 3,5 и 4 года решили заменить одним платежом в сумме 5, выплачивае­мым через 4,5 года. Подобная замена производится по слож­ной ставке 8,75% годовых.. Чему равна сумма 5? Зависит ли сумма 5 от выбора базовой даты?

1.39. Платежи из предыдущей задачи решили заменить одним платежом в размере 44 тыс. $ на основе сложной ставки 8,75% годовых. Через сколько лет должен быть оп­лачен этот консолидированный платеж?

1.40. Имеется обязательство оплатить 16.03 5, = 8 4 тыс $ 5.06 = 16,3 тыс. $ и 20.11 53 = 7,2 тыс. $. Решено на основе простой ставки процентов 6,5 годовых (К = 365)

34

изменить порядок оплаты: 30% от + S2 + S3 выплачива­ется 15.07, а остальная задолженность R гасится 30.11. Опре­делить величину R для случая, когда: а) в качестве базовой даты берется 15.07; б) базовая дата - 30.11.

1.41. По финансовому обязательству необходимо опла­тить 120 тыс. $ через 4,5 года. На основе сложной ставки процентов 9,5 годовых решено изменить порядок оплат: задолженность погашается тремя равными частями S0 через год, два и три года. Чему равно S0?

1.42. Фирма планирует через месяц положить в банк на депозит часть своих доходов на 6 месяцев под 10 простых годовых процентов. Предполагается, что удастся положить в банк некоторую сумму от 100 до 200 тыс. $. Требуется определить вероятность попадания наращенной суммы .S в

интервал [150 тыс. $, 210 тыс. $], Smin, Smax, E{S} о = для следующих двух ситуаций: а) первоначальная сумма Р имеет равномерное распределение в интервале [100 тыс., 200 тыс.]; б) сумма Р распределена по "треугольному" рас­пределению в интервале [100 тыс., 200 тыс.], т.е. макси­мальное значение плотности распределения вероятностей соответствует середине интервала, на концах интервала ее значение равно нулю.

1.43. Фирма планирует положить через месяц на депо­зит 100 тыс. $ на полгода. Ориентируясь на то, что в дан­ный момент на такую сумму денег начисляют 10 простых годовых процентов, можно предположить, что ставка процен­тов будет находиться в интервале [9,9%, 10,1%]. Вычис­лить вероятность попадания наращенной суммы S в интер­вал [104,95 тыс. $, 105тыс. $], Smin, Smax, E{S}, с для сле­дующих двух ситуаций: а) ставка процентов равномерно распределена в интервале [9,9%, 10,1%]; б) ставка процен­тов распределена по "треугольному" распределению в ин­тервале [9,9%, 10,1%].

1.44. Некто имеет 900 $. Что для него выгоднее, поло­жить эту сумму в банк на год под 8% годовых или купить за 900 $ вексель с номиналом 950 $ и погашением через год? Чему равна доходность покупки векселя, измеренная в виде годовой ставки процентов?

1.45. Вексель был куплен за 850 $. Через 3 месяца он был продан за 920 $. Какова доходность этой операции ку­пли-продажи, измеренная в виде годовой ставки простых процентов, К = 360 ?

1.46. Финансовый директор фирмы планирует через ме­сяц положить на депозит в банк 50 тыс. либо 100 тыс. $ на полгода. Годовая ставка простых процентов і зависит от размера суммы. Совместное распределение начальной сум­мы Р и ставки процентов і приведено в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Р, тыс. $ і, % Вероятность
2 0,1
50 3 0,1
4 0,4
4 0,05
100 6 0,3
8 0,05

Определите вероятность попадания наращенной суммы 5 в интервал [60 тыс. $, 103 тыс.$], 5т1п, 5тах, ОД а = у/ЕЩ.

1.47. Вексель в сумме 1200$ должен быть оплачен че­рез 160 дней. Какую сумму Р1 в среднем получит владелец векселя, если учтет его в банке через 15 дней? Есть основания считать, что с равной вероятностью учетная ставка будет ле­жать в пределах 6-7% годовых. Какова вероятность, что полученная сумма Р будет лежать в пределах 1168-1170 $? Чему будет равен риск о данной финансовой операции? Временная база - 360 дней.

1.48. Запланировано в начале второго квартала поло­жить в банк 100 тыс. $ до конца года. Обычно в данном банке ставки процентов по краткосрочным кредитам коррек­тируют в начале каждого квартала. Есть основания считать, что годовые ставки простых процентов г2, 'з. соответст­венно, во втором, третьем и четвертом кварталах являются

независимыми случайными величинами с дискретными рас­пределениями:
!г% 6 6,1 6,2 'V % 6 6,1 ir% 6 6,2
р 0,8 0,1 0,1 Р 0,7 0,3 ' Р 0,6 0,4

Вычислите вероятность попадания наращеннс й суммы S в интервал [104550$, 104600$], Smin, Smax, E{S} о = у[Щ}.

1.49. Планируется положить через некоторое время в банк на депозит 1 млн. $ сроком на 1 год. Ожидается, что с равной вероятностью в первом полугодии простая процентная ставка будет находиться в пределах 5-6% , а во втором полугодии - в пределах 5,5-7%). К концу срока депозита определите харак­теристики наращенной суммы S: Smin, Smax, £{S} а = s[D{S}, вероятность попадания 5 в интервал [1,055 млн. $, 1,06 млн. $].

1.50. Планируется через месяц положить на год в банк 1 млн. $. Предполагается, что в первые полгода простая го­довая ставка процентов будет постоянной и будет описы­ваться равномерно распределенной случайной величиной в интервале [6%>, 7%], во втором полугодии с равной вероят­ностью может принять значения 7,5% и 8%. Вычислить вероятность попадания наращенной суммы S в интервал

11,06 млн. $; 1,07 млн. $], Smin> Smax, E{S}, с =y[D\S}-

1.51. В начале следующего года планируется положить на депозит 500 тыс. $ на год. Простая годовая ставка про­центов может меняться в начале каждого квартала. Экс­перты считают, что годовые ставки процентов г'! - i4, исполь­зуемые, соответственно, в первом - четвертом кварталах, ивляются независимыми равномерно распределенными вели­чинами в интервалах [6%; 6,5%], [6,25%; 7%], [6,75%; 8%], [7,5%; 8,5%]. Смоделируйте выборку объема 100 из рас­пределения величин г, - г4 и на ее основе оцените среднее значение наращенной суммы, вероятность попадания наращен­ной суммы в следующий интервал [534 тыс. $, 537 тыс. $].

1.52. Предполагается положить на депозит 100 тыс. $ либо на год, с вероятностью 0,7 под 6% годовых, либо на два года, с вероятностью 0,2 под 6,5% годовых или на три года с вероятностью 0,1 под 7% годовых. Определите среднее значение наращенной суммы S, вероятность попадания S в интервал [107 тыс. $, 120 тыс. $], Smin, Smax, с =у/1Щ.

1.53. Планируется в начале следующего года положить в банк 200 тыс. $ на 3 года под сложные проценты. Ставка процентов в банке корректируется в начале года и затем, на протяжении всего года, остается постоянной. Есть осно­вания считать, что годовая ставка процентов i(t) = fit) + где f(t) = 0,05 + 0,001/ - тренд, характеризующий общую тенденцию изменения ставок процентов, ^ - маржа, изме­няющаяся по цепной зависимости Маркова, с двумя состоя­ниями. Значение t = 0 соответствует началу начисления процентов. В первом состоянии принимает значение 0,005, во втором - значение 0,01. Вектор начальных состояний к = (1; 0), матрица одношаговых переходов имеет следую­щие компоненты: рп = 0,8; р12 = 0,2; р = 0,1; р22 = 0,9. Определите Smin, Smax наращенной суммы S, вероятность попадания S в интервал [235,6 тыс. $, 236,7 тыс. $], среднее значение S, а = JD{S}.

1.54. В условиях предыдущей задачи вектор начальных состояний к = (0,8; 0,2) и неизвестно, с какого состояния начинает свое движение цепь Маркова. Остальные условия остаются неизменными. Определите те же характеристики 5, что и в предыдущей задаче.

1.55. В условиях задачи 1.54 годовая ставка сложных процентов корректируется в начале каждого полугодия. Остальные условия те же, что и в 1.54. Вычислите парамет­ры наращенной суммы S из задачи 1.54.

Указание: воспользоваться ППП ФЭР.

1.56. Планируется в начале следующего года положить в банк на депозит 200 тыс. $ на три квартала. Ставка про­стых процентов корректируется в начале каждого квартала и в течение квартала остается постоянной. Есть основания счи­тать, что годовая ставка i(t) = f{t) + ^ , где f(t) = 0,05 + 0,001 ■ t - тренд; ^ - маржа, изменяющаяся по цепной зависимости Маркова. Параметры цепи те же, что и в задаче 1.54. Вы­числите параметры наращенной суммы S: Smin, Smax, вероят­ность попадания S в интервале [208200$, 208500$], среднее значение S и риск финансовой операции а = y/D{S}.

1.58. В условиях предыдущей задачи ставка простых про­центов корректируется в начале каждого месяца и в тече­ние месяца остается постоянной, К = 360. Вычислите пара­метры наращенной суммы 5 из задачи 1.57.

1

<< | >>
Источник: Кирлица В. П.. Финансовая математика : рук. к решению задач : учеб. пособие /В. П. Кирлица. - Мн. : ТетраСистемс, - 192 с.. 2005

Еще по теме 1.8. Задачи и примеры:

  1. 10.5. Примеры решения некоторых задач
  2. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИТУАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
  3. Примеры решения задач
  4. Примеры решения задач
  5. Примеры решения задач
  6. Пример решения задач
  7. Пример решения задач
  8. Пример решения задач
  9. Пример решения задач
  10. Примеры решения задач
  11. Примеры решения задач
  12. Пример решения задач
  13. Примеры решения задач
  14. Примеры решения задач
  15. Приложение 1. Примеры и задачи