<<
>>

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Проверьте доходность и риск портфелей из примеров 3, 4.

1. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффек- тивностями 2 и 6 и рисками 10 и 20 с помощью компьютера состав­лено шесть портфелей: в портфеле с номером к доля первых бумаг х = 1 — 0,2 к, доля вторых равна (1-х), т.е.

портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 0, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида, получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.
Эффективности 2,0 2,8 3,6 4,4 5,2 6,0
Риски 10,0 8,9 10,0 12,6 16,1 20
Портфели 0 1 2 3 4 5

Проверьте компьютерные расчеты.

Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск— эффективность и отметьте доми­нируемые и недоминируемые портфели, т.е. оптимальные по Парето.

2. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями 8 и 14 и рис­ками 10 и 30, с помощью компьютера составили портфель То- бина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: —0,51; 1,18; 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать от­рицательную долю безрисковых бумаг?

3. В портфеле бумаги с доходностью 5% годовых составляют 30% по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность 8% годовых. Какова доходность портфеля?

4. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с эффективностью 10 и риском 5.

Найти зависимость эффективно­сти портфеля от его риска.

Решение. Задача формирования оптимального портфеля в данной ситуации (см. формулу (16.2)):

х —> min, 2х0 -flOxj =тР, х0 + хх = 1.

Отсюда = (Ю-тР)/8 , х* = (тР - 2)/8 . Тогда тР = 2 + 8дг* = = 2 + 8т>/5.

6. Решить задачу формирования портфеля Тобина минималь­ного риска при наличии безрисковых бумаг и некоррелирован­ных остальных в общем виде.

Решение. Используем формулу (16.4). Матрица V ко- вариаций рисковых видов ценных бумаг является в данном слу­чае диагональной, обратная к ней также диагональная:

О
О
СТ1

1/а?

1/а1
«1

Vі =

О
О

Произведя необходимые вычисления, получаем вектор долей рисковых бумаг

тР

{т„-т0)/а2

^(щ-щ)22г V /=1

7. Сформировать портфель Тобина максимальной эффектив­ности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4.

Каковы соот­ношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?

Решение. Итак, т0 = 2, М = V = ^ Ограничим

риск портфеля величиной г р. Воспользуемся формулой (16.4): X* ={гР/с!)у-\М-т01). Матрицу, обратную к К, найдем методом миноров: '1/4 0

0/4 0 0 1/16

Вычислим й1 = (м - т01)ТУ~1(М - щ!)

,0 1/16

= {М- т01У [к-1 (М - т0/)]= (2; 8)

Окончательно вектор долей рисковых бумаг X* = [г,,

Таким образом, рисковые доли должны быть одинаковы и каж­дая из них равна />Д/20. Следовательно, = 1 - гР/41.

8. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: ми­нимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг, безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эф­фективностью 6 и 8 и рисками 4 и 9 и взаимной корреляцией 9.

Ответ:

16ххх + 18x1*2 + 81х| min, о + \ + 8*2 тах,

0 + 6хх 4-8х2= т, 16хх + \Sxxx2 + 81х2 = гР,

Xq 4- Х\ 4- Х2 — 1, XQ + Xj + = 1.

так:

9. Запишем вариацию доходности портфеля УР = Yjxixjvij

hj

Е*Л

и назовем величину порт­

У

фельной ковариацией доходности /-й ценной бумаги. Оказывает­ся, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональ­ны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются).

Действительно, вектор портфельных ковариаций Я = УХ, где X — вектор долей рисковых вложений. В оптимальном портфеле X определяется формулами (16.4), (16.5), т.е. имеет вид: X* = уУ~{(М - щ1), где у — скаляр, равный (тР — гщ)/сР или гР/й.

Подставляя X из этих выражений, получим Я =Уу У~Х(М~ = = у УУ~\М- т01) =у(М- то!), т.е. видно, что векторы Я и (М — тоТ) пропорциональны.

10. Докажите, что характеристики портфелей Тобина будут действительно равны заданным.

Указание. Используйте формулы (16.4) и (16.5).

<< | >>
Источник: Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с.. 2003

Еще по теме ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ:

  1. Основные комплексы задач. Вопросы для составления программы проверки
  2. ОТВЕТЫ К ОТДЕЛЬНЫМ ВОПРОСАМ И ЗАДАЧА
  3. ОТВЕТЫ К ОТДЕЛЬНЫМ ВОПРОСАМ И ЗАДАЧА
  4. Вопрос 1 Цели и задачи управления финансами
  5. Форма для самоконтроля: вопросы по выяснению ролей и распределению задач
  6. Практикум (сборник тестов, задач и вопросов)
  7. группы вопросов, подлежащих решению после выполнения ближайших политических задач
  8. Форма для самоконтроля: вопросы для выяснения делей и задач
  9. 3.2.1.4. Задачи исследования
  10. Задачи исследования
  11. 49. Процесс решения мыслительной задачи
  12. Задачи
  13. 14.2. Диспетчеризация и планирование вычислительных задач
  14. Задачи
  15. 2.2. Задачи АИС
  16. Задачи
  17. 1.2. Задачи системы контроллинга
  18. Задачи