8.5. Учетные ставки в схеме сложных процентов
Хотя построение модели накопления выглядит более естественным при использовании процентной ставки, тем не менее ее также легко выразить в терминах учетной ставки. Схема описания учетной модели накопления полностью идентична процентной схеме.
Выберем период временной шкалы, которую назовем учетным периодом. Его длину в выбранной временной шкале обозначим через h. Учетную ставку за этот период обозначим через dh. Разобьем временною шкалу на периоды длины И кратными точками: tn = tQ + nh, п = 0,1, 2, ... . Тогда состояния счета в концах к-го учетного периода будут связаны соотношением
* = 1,2,...,л. (8.57)
Отсюда немедленно следует соотношение
А: = 0,1,..., п-\. (8.58)
Коэффициент
"а = 1 - dn
называют учетным коэффициентом дисконтирования.
Формулы (8.57) и (8.58) выражены в учетных периодах. Непосредственно во временной шкале они запишутся в виде
S(k =S!kvh = Stk(l~dh), k = \,2,...,n, (8.57')
и
Как и для случая процентной модели, приведенную учетную модель можно распространить или продолжить с дискретного множества кратных точек на всю шкалу. По аналогии с процентной моделью можно рассмотреть три варианта продолжения:
кусочно-постоянная модель:
(8.59) |
S^-df^, t>x\
— непрерывная модель:
(8.60) |
Sx = St(\~dhrV\ t>r,
— смешанная, кусочно-линейная модель:
к (8.62)
или, вводя учетный коэффициент роста за период И 1 (8.63) получим (8.64) в частности, ^ = (8-65) Так, для предыдущих примеров имеем И = 1, с1И — 0,2 и, следовательно, за период И учетный коэффициент дисконтирования: 1-4 = 0,8, ( а учетный коэффициент роста за тот же период сг,. =-— = 1,25. * 0,8Учетную ставку за период И можно задавать с помощью нормированной номинальной учетной ставки с/, которая связана со ставкой за период соотношением Число 1 т = — А называют кратностью учета. При задании (нормированной) номинальной учетной ставки указывают либо учетный период А, либо кратность учета т. В первом случае номинальная учетная ставка обозначается а во втором — Фт\ Для краткости мы ограничились лишь определением нормированной номинальной учетной ставки с номинальным (учетным) периодом, совпадающим с базовым периодом временной шкалы. Ниже для упрощения записи прилагательное «нормированный» будем опускать. Кроме того, также как и для номинальной процентной ставки, основные результаты будем представлять в терминах номинальной учетной ставки с1(т) с /и-кратным учетом; при этом переход к явному указанию учетного периода А в соответствующих формулах производится заменой 6(т) на й и 1 /т на А. В терминах номинальной учетной ставки для непрерывной учетной модели уравнение связи состояний накопительного счета имеет вид
|