6.2. Типовые примеры

В данный момент акции Ак В имеют курсовые стоимости 50 и 20 руб., а их ожидаемые доходности т_А = 12%, т_в = 8%. Инвес­тор имеет 100 тыс.

а) риск каждой акции и портфеля в целом, если ковариа­ционная матрица доходностей (в виде десятичной дроби) будет равна:

_ ГО,06250 0,00375 \ ** ""[о,00375 0,02250/

б) характеристику УА11, основанную на нормальном распре­делении и оценивающую максимально возможные потери капи­тала по уровню значимости 95%.

Решение

а) риск акции определяется величиной СКО ее доходности: а_А =>/0,0625 =0,25; с_в = ф,0225 =0,15.

Чтобы найти риск портфеля а_р9 воспользуемся формулой дис­персии суммы:

^{= х}а^А + * А, где Я — доходность, х — доля вкладываемого капитала:

^ар^{2 = х}л*л + 2х^_всс^(Л_А9 Я_в) + х_в2а_в².

Согласно условию

^ХА = ^хв = °>⁵> ^{а СОУ} (^КА> ^яВ) ⁼ 0,00375, и, следовательно, Ср = 0,5² • 0,0625 + 2 • 0,5 • 0,5 • 0,00375 + 0,5² • 0,0225 = 0,023125.

Таким образом, риск доходности портфеля равен: Ор =>/0,023125 «0,1521;

б) исходя из симметричности нормального распределения ве­роятностей, найдем интервал уклонения доходности портфеля от ее ожидаемого значения, задавшись уровнем значимости 0,9. Для рассматриваемого портфеля математическое ожидание его до­ходности составит:

т_Р— 0,5 • 12 + 0,5-8= 10%.

Согласно (6.8)

Вер(|^ - 10%| < 5) = 2Ф(5/сд = 0,9.

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа Ф(х), най­дем:

8 = 1,64 • - ^АР?^Р ,

Дг/(1 + г)

где Р — текущая стоимость потока платежей;

г — ставка дисконтирования.

По условию задачи:

/)= 10, Р= 1000, г= 8%, Аг = 1%.

Отсюда получим следующее уравнение относительно неизве­стной АР:

_р= АР 1 + 0,08 ~~1000' 0,01 '

и, следовательно, АР= 92,59 руб.

В результате измененная цена облигации приблизится к зна­чению Р_ИЗМ = 1000 - 92,59 « 907,4 руб.

3. Модель САРМ.

На идеальном финансовом рынке 10% по стоимости состав­ляют безрисковые бумаги и 90% — рисковые. Рисковых всего три: первые составляют 1/6 их общей стоимости и их р = 0,8; вторые — 1/3 и р = 1. Каковы эффективности и р всех рисковых бумаг, средняя доходность т_ъ и коэффициент Р₂ по всему рынку, если средняя доходность по рисковым бумагам равна 8%, а безриско­вая ставка равна 4%?

Решение

Эффективности первых двух бумаг получим, используя урав­нение равновесного рынка (6.18):

т_{ = 7,2%; т₂ = 8%.

Очевидно, что доля третьих бумаг равна половине стоимости всех рисковых активов (1 — 1/6 — 1/3).

Доходность рисковой части рынка равна взвешенной доход­ности ее компонент:

8% = 1/6 • 7,2% + 1/3 • 8% + 1/2 • т₃.

Отсюда получим эффективность третьей бумаги т_ъ = 124/15. Чтобы найти ее «бета», воспользуемся формулой (6.18):

т₃= 124/15 = 4 +р₃-(8-4),

и, следовательно, р₃ = 16/15. Согласно условию задачи, 0,1 всего рынка составляют безрисковые бумаги, поэтому средняя доход­ность по всему рынку:

= 0,1 - 4 + 0,9-8 = 7,6%.

Структура рисковой части рынка определяется долями х_х = 1/6, х₂ = 1/3, х_ъ = 1/2. Поэтому ее «бета»:

Р_Риск= 1/6-0,8 + 1/3- 1 + 1/2- 16/15=1,

что согласуется с теоретическим положением: коэффициент «бе­та» рыночного портфеля равен единице. Показатель «бета» для рынка в целом определим с учетом доли безрисковых бумаг:

Р1 = 0,9-р_риск=0,9.

4. Разложение риска на рыночный и индивидуальный. Среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности ры­ночного портфеля составляет 20%.

а) риск сильно диверсифицированного портфеля, если его

Р = 1,3;

б) риск сильно диверсифицированного портфеля с нулевым значением Р;

в) р сильно диверсифицированного портфеля со стандартным отклонением (СКО) в 15%;

г) Р слабо диверсифицированного портфеля со стандартным отклонением (риском), равным 20%.

Решение

Для решения следует использовать соотношение (6.20), имея в виду, что у сильно диверсифицированного актива А индивиду­альный риск о_А « 0. Отсюда следует, что для рассматриваемых в

первых трех вопросах портфелей их риск ст_х = р • а_с = р • 20%. От­сюда получим следующие ответы:

а) = 26%;

б) = 0%;

в) р = (ст_х = 15%)/20% = 0,75;

г) у слабо диверсифицированного портфеля А индивидуальный риск а_А > 0, поэтому в разложении (6.20) присутствуют обе компо­ненты, и, следовательно, а₁> Р • ст_с. Подставив в это неравенство исходные данные из п. «г», получим, что 20 > р • 20, т.е. р < 1.

5. Касательный портфель.

Запишите модель (6.15) для п = 2 и найдите касательный портфель при исходных данных:

/0= 1%, т_х = 2%, 5і = 1%; т₂ = 3%, 6₂ = 2%; г_п = 1/2.

Решение

Модель трехкомпонентного портфеля имеет вид

с_р² = 0\²х_{² + 2 0. Тогда доли вложения в касательном портфеле определятся в соответствии с правилом пропорционального деления в отношении

2

ґп1п

. опт . опт

^х2

т.е.

Используя эти данные, найдем характеристики портфеля С:

т_с - т_хх_сх + т&а, о² - а^х¹ _сХ + 1 0. Положительность этого коэффициента свидетельствует о том, что объект инвестиций не­дооценен и следует ожидать повышения его курсовой стоимости.

5. В этом случае коэффициент а = 0,1-0,118