<<
>>

6.2. Типовые примеры

1. Меры риска ценных бумаг.

В данный момент акции Ак В имеют курсовые стоимости 50 и 20 руб., а их ожидаемые доходности тА = 12%, тв = 8%. Инвес­тор имеет 100 тыс.

руб. и хочет приобрести эти акции, вложив в каждый вид половину своего капитала. В конце года он собирает­ся их продать и получить прибыль. Определить:

а) риск каждой акции и портфеля в целом, если ковариа­ционная матрица доходностей (в виде десятичной дроби) будет равна:

_ ГО,06250 0,00375 \ ** ""[о,00375 0,02250/

б) характеристику УА11, основанную на нормальном распре­делении и оценивающую максимально возможные потери капи­тала по уровню значимости 95%.

Решение

а) риск акции определяется величиной СКО ее доходности: аА =>/0,0625 =0,25; св = ф,0225 =0,15.

Чтобы найти риск портфеля ар9 воспользуемся формулой дис­персии суммы:

= ха^А + * А, где Я — доходность, х — доля вкладываемого капитала:

ар2 = хл*л + 2х^всс^(ЛА9 Яв) + хвв2.

Согласно условию

ХА = хв = °>5> а СОУ (КА> яВ) = 0,00375, и, следовательно, Ср = 0,52 • 0,0625 + 2 • 0,5 • 0,5 • 0,00375 + 0,52 • 0,0225 = 0,023125.

Таким образом, риск доходности портфеля равен: Ор =>/0,023125 «0,1521;

б) исходя из симметричности нормального распределения ве­роятностей, найдем интервал уклонения доходности портфеля от ее ожидаемого значения, задавшись уровнем значимости 0,9. Для рассматриваемого портфеля математическое ожидание его до­ходности составит:

тР— 0,5 • 12 + 0,5-8= 10%.

Согласно (6.8)

Вер(|^ - 10%| < 5) = 2Ф(5/сд = 0,9.

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа Ф(х), най­дем:

8 = 1,64 • - АР?Р ,

Дг/(1 + г)

где Р — текущая стоимость потока платежей;

г — ставка дисконтирования.

По условию задачи:

/)= 10, Р= 1000, г= 8%, Аг = 1%.

Отсюда получим следующее уравнение относительно неизве­стной АР:

р= АР 1 + 0,08 ~~1000' 0,01 '

и, следовательно, АР= 92,59 руб.

В результате измененная цена облигации приблизится к зна­чению РИЗМ = 1000 - 92,59 « 907,4 руб.

3. Модель САРМ.

На идеальном финансовом рынке 10% по стоимости состав­ляют безрисковые бумаги и 90% — рисковые. Рисковых всего три: первые составляют 1/6 их общей стоимости и их р = 0,8; вторые — 1/3 и р = 1. Каковы эффективности и р всех рисковых бумаг, средняя доходность тъ и коэффициент Р2 по всему рынку, если средняя доходность по рисковым бумагам равна 8%, а безриско­вая ставка равна 4%?

Решение

Эффективности первых двух бумаг получим, используя урав­нение равновесного рынка (6.18):

т{ = 7,2%; т2 = 8%.

Очевидно, что доля третьих бумаг равна половине стоимости всех рисковых активов (1 — 1/6 — 1/3).

Доходность рисковой части рынка равна взвешенной доход­ности ее компонент:

8% = 1/6 • 7,2% + 1/3 • 8% + 1/2 • т3.

Отсюда получим эффективность третьей бумаги тъ = 124/15. Чтобы найти ее «бета», воспользуемся формулой (6.18):

т3= 124/15 = 4 +р3-(8-4),

и, следовательно, р3 = 16/15. Согласно условию задачи, 0,1 всего рынка составляют безрисковые бумаги, поэтому средняя доход­ность по всему рынку:

= 0,1 - 4 + 0,9-8 = 7,6%.

Структура рисковой части рынка определяется долями хх = 1/6, х2 = 1/3, хъ = 1/2. Поэтому ее «бета»:

РРиск= 1/6-0,8 + 1/3- 1 + 1/2- 16/15=1,

что согласуется с теоретическим положением: коэффициент «бе­та» рыночного портфеля равен единице. Показатель «бета» для рынка в целом определим с учетом доли безрисковых бумаг:

Р1 = 0,9-рриск=0,9.

4. Разложение риска на рыночный и индивидуальный. Среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности ры­ночного портфеля составляет 20%.

Определить:

а) риск сильно диверсифицированного портфеля, если его

Р = 1,3;

б) риск сильно диверсифицированного портфеля с нулевым значением Р;

в) р сильно диверсифицированного портфеля со стандартным отклонением (СКО) в 15%;

г) Р слабо диверсифицированного портфеля со стандартным отклонением (риском), равным 20%.

Решение

Для решения следует использовать соотношение (6.20), имея в виду, что у сильно диверсифицированного актива А индивиду­альный риск оА « 0. Отсюда следует, что для рассматриваемых в

первых трех вопросах портфелей их риск стх = р • ас = р • 20%. От­сюда получим следующие ответы:

а) = 26%;

б) = 0%;

в) р = (стх = 15%)/20% = 0,75;

г) у слабо диверсифицированного портфеля А индивидуальный риск аА > 0, поэтому в разложении (6.20) присутствуют обе компо­ненты, и, следовательно, а1> Р • стс. Подставив в это неравенство исходные данные из п. «г», получим, что 20 > р • 20, т.е. р < 1.

5. Касательный портфель.

Запишите модель (6.15) для п = 2 и найдите касательный портфель при исходных данных:

/0= 1%, тх = 2%, 5і = 1%; т2 = 3%, 62 = 2%; гп = 1/2.

Решение

Модель трехкомпонентного портфеля имеет вид

ср2 = 0\2х{2 + 2 0. Тогда доли вложения в касательном портфеле определятся в соответствии с правилом пропорционального деления в отношении

2

ґп1п

. опт . опт

х2

т.е.

^опт _ Х2

хс2 ----------

*1

Хс\ -

_опт , „опт х\ + х2
_опт , „опт +*2

Используя эти данные, найдем характеристики портфеля С:

тс - тххсх + т&а, о2 - а^х1 сХ + 1 0. Положительность этого коэффициента свидетельствует о том, что объект инвестиций не­дооценен и следует ожидать повышения его курсовой стоимости.

5. В этом случае коэффициент а = 0,1-0,118

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с.. 2007

Еще по теме 6.2. Типовые примеры:

  1. 6.3. Примеры практической реализации метода анализа утверждений Пример из зарубежной практики
  2. 14.2.Типовые контракты сделок
  3. § 4. Привязка типовых проектов к строительной площадке
  4. Портрет типового клиента
  5. Теория культурно-исторических типов
  6. Теории культурно-исторических типов
  7. Типовые проблемыбизнеса
  8. Решение типовых задач
  9. 1.2. Зарубежные маньяки-убийцы: типовой портрет
  10. Решение типовых задач
  11. 3.1. Типовой портрет
  12. Типовые модели поискового портрета
  13. Смена исторических типов семьи.
  14. 3.2.3. Структура типовой имитационной модели с календарем событий
  15. Типовые методы получения объективной информации