3.2. Типовые примеры

1) при заданных параметрах кредита (D, п, /) определить спо­соб его погашения;

2) при заданных ограничениях на использование и погашение заемных средств определить требуемые параметры кредита.

1. Равные срочные уплаты.

Кредит в размере 900 тыс. руб. сроком на 4 года взят под став­ку 5% годовых. Составить план погашения равными срочными уплатами.

Решение

По условию задачи /) = 900000, п = 4, / — 0,05. Подставляя эти значения в формулу (3.6), находим У = 900000/3,54595 = = 253810,6854 руб.

Записываем план погашения долга в виде таблицы (табл. 3.1).

Примечание./)₄ совпадает с Ь₄ с точностью до первого знака после запятой; указанное расхождение обусловлено принятой точностью вычис­лений (до четвертого знака).

Решение

Расчеты и план погашения кредита представим в табл. 3.2.

3. Погашение кредита потоком платежей.

Долг в 100 тыс. долл. решено погасить по специальному гра­фику за 4 года. Ежегодные платежи по первым трем годам опре­делены в размере 40, 20 и 30 тыс. долл. Ставка процента по долгу установлена на уровне 10%. Определите:

а) остаток долга на конец третьего (начало четвертого) года;

б) величину четвертой срочной уплаты;

в) чему равны ежегодные суммы погашения долга и процентов.

Решение

а) согласно формуле (3.5) имеем:

Ь₃= 100(1 + ОД)³-40(1 + ОД)²-20(1 + 0,1) - 30 = 32,7;

б) У₄= Ь₃( 1 + 0,1) = 35,97.

Г₄= 100(1 + ОД)⁴-40(1 + ОД)³-20(1 + ОД)²-30(1 +0,1) = = 146,41 - 53,24 - 24,2 - 33 = 35,97;

в) табл. 3.3 иллюстрирует порядок расчетов выплат по долгу и процентам.

4. Определение срока, на который берется кредит.

Для выхода на полную мощность предприятие нуждается в кредите на пополнение оборотного капитала. Требуемая сумма - 7 млн руб., доступная кредитная ставка - 12% годовых, длитель­ность операционного цикла (время оборота оборотного капита­ла) — 1 месяц. Кредит планируется погасить одним платежом. Для получения необходимой для этого суммы предполагается использовать чистую прибыль в размере 1 420 ООО руб./мес., ко­торую будет получать предприятие в режиме полной загрузки. В качестве способа накопления этой суммы формируется погаси­тельный фонд с начислением процентов один раз в году по той же ставке 12%. Определить допустимый для предприятия срок заимствования средств.

Решение

Для получения ответа воспользуемся формулой наращенной суммы ренты (2.1) с характеристиками р = 12, т = 1, і = 0,12, R/p = 110000 и приравняем ее требуемой величине погашающего в конце срока х платежа. В результате получим следующее соот­ношение:

1420000- ^{(1 + 0,12}Г₁Г¹ =7000000 (1 +0,12)*, (1 + 0,12) / -1

что дает простейшее показательное уравнение

1,12^х = 1,0491

с решением:

In 1,0491 0,0479

«0,42 года «5 мес.

lnl,12 0,1133

Примечание. Разумеется, ставка погасительного фонда не обяза­тельно совпадает с кредитной ставкой. При различных ставках уравнение, содержащее неизвестную х в показателе степени, уже не будет сводиться к простейшему типу 0^х = Ь, однако эти трудности носят вычислительный ха­рактер и вполне преодолимы.

5. Потребительский кредит. Покупатель приобрел в кредит хо­лодильник по цене 4000 руб. При оформлении кредита он внес 1000 руб., обязавшись погасить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячно равные взносы. Определить:

а) сумму, которую покупатель должен выплачивать ежемесяч­но, если продавец требует за кредит 6% в год;

б) реальную доходность кредитной операции для продавца при условии, что имеется возможность помесячного реинвести­рования;

в) рассчитать график погашения процентов и основного долга.

Решение

а) Сумма кредита с начисленными процентами составляет ве­личину:

5 = 3000(1 + 0,06 • 0,5) = 3090 руб.

Следовательно, ежемесячно покупатель должен выплачивать продавцу 3090/6 = 515 руб.;

б) реальная доходность измеряется ставкой сложного процен­та. Обозначим номинальную годовую ставку через у. Тогда поме­сячная ставка сложного процента: х = у/12. Имеем уравне­ние: 515(1 — (1 + х)~⁶)/х = 3000 с областью допустимых значений х * -1, х * 0. Заменой переменной г = 1 + х придем к уравнению 5, 825^^?~6,825г⁶+ 1 = 0. Из ограничений на допустимые значения х вытекает, что г * 0, г * 1. Это уравнение имеет два положитель­ных корня: 1\ = 1 и » 1,00852,"из которых допустимым является только второй. Откудах = 0,00852 и, следовательно, годовая став- кау = 12х = 0,10224. Таким образом, реальная доходность для кре­дитора у = 10,2% превышает объявленную им простую ставку пот­ребительского кредита / = 6% на 4,2%;

в) по условиям примера общая сумма начисленных процентов / = 90, а запись,(3.11) примет вид: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

Согласно (3.12) для определения последовательных процент­ных погашений следует разделить величину / = 90 на части пропорционально числу оставшихся выплат, т.е. в соотношении 6:5:4:3:2:1. Воспользовавшись сформулированным прави­лом, найдем суммы в счет уплаты процентов:

1_Х = 90 • 6/(6 + 5 + 4 + 3 + 2+ 1) = 540/21 « 25,71;

/₂= 90 • 5/21 « 21,42; /₃« 90 • 4/21 = 17,14; /₄= 90 • 3/21 « 12,86;

/₅= 90 • 2/21 « 8,57; /₆= 90 • 1/21 « 4,28.

Помесячная разность между срочной уплатой и процентным платежом выделяется на погашение основного долга:

D, = 515 - 25,71 = 489,29; D₂ = 515 - 21,42 = 493,58;

Z>₃= 515 - 17,14 = 497,86; D₄= 515 - 12,86 = 502,14;

Z>₅= 515 - 8,57 = 506,43; D₆= 515 - 4,28 = 510,72.

Имея эти значения, найдем остаток основного долга на нача­ло каждого месяца:

1_Х = 3000; L₂= 3000 - 489,29 = 2510,71;

L₃ = 2510,71 - 493,58 = 2017,13; L₄ = 2017,13 - 497,86 = 1519,27;

I₅= 1519,27 - 502,14 = 1017,13; L₆= 1017,13 - 506,43 = 510,7.

Сумма Z)₆ погашения долга в конце срока полностью списы­вает оставшуюся задолженность L₆: D₆ = L₆ = 510,7. Нетрудно убедиться, что проценты уменьшаются, а суммы, погашающие долг, растут.

6. Стандартная ипотека. Ипотечная ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана сроком на 15 лет. Погашение - в конце каждого меся­ца, номинальная годовая ставка — 12%. Определить сумму ежеме­сячного платежа и остаток долга на конец пятого года погашения.

Решение

Равные ежемесячные выплаты размером Y образуют простую ренту длительности п = 15 • 12 = 180 единичных периодов (меся­цев) начисления процента под ставку / = 12% /12=1%. Следова­тельно, ее наращенная величина

(i₊o,oir-i 0,01

и для определения К имеем уравнение

S(Y) » 300(1 + 0,01)¹⁸°,

т. е.

Г- 100 • (5,9958 - 1) = 499,58 У= 300 • 5,9958.

Теперь можно определить ежемесячный взнос: У= 3,6 тыс. руб. = = 3600 руб.

Наращенная за 5 лет величина ссуды при условии помесячно­го начисления процентов составит сумму

5₅ = 300(1 + 0,01)⁶°= 300 • 1,8167 = 545,02,

наращенная величина произведенных выплат есть:

3,6- 100 -(1,01⁶⁰- 1) = 294,012.

Применяя формулу (3.14), найдем остаток:

1₅= 545,02 - 294,012 = 251,008 тыс. руб. = 251008 руб.

7. Замена одного займа другим.

Господин ТУ в течение 5 лет должен один раз в квартал выпла­чивать 500 д.е. в счет погашения ссуды, взятой под 8% годовых. В связи с отъездом за границу через 2 года он попросил пересчитать величину ежеквартальной выплаты, чтобы успеть рассчитаться. Как изменится величина квартального платежа? Решение Величина ссуды

В = 500 • сс(20; 8/4) = 500 • 16,351 = 8175,5.

Поэтому искомый ежеквартальный платеж Я должен удовлет­ворять уравнению

К • а(8;8/4) = 8175,5,

откуда

К = 81175,5 /7,325= 1116,1 д.е.

8. Реструктуризация кредиторской задолженности.

В настоящее время обязательство заемщика перед кредито­ром составляет 1000 д.е. Финансовое состояние предприятия- должника не позволяет ему погасить эту задолженность по пре­дусмотренной кредитным договором ставке в 8% даже с рассроч­кой в 4 года. Вместе с тем при снижении ставки до 5% отсрочка в

погашении кредита по схеме равных срочных уплат возможна и выплачиваемые предприятием средства не нарушают нормаль­ных условий его функционирования. Кредитор согласился на выплаты по льготной ставке. Определить общие потери кредито­ра, т. е. величину предоставленной заемщику льготы. Решение

Выплаты по льготной ставке вычислим из уравнения: У• а (4; 5) = 1000. По таблице коэффициентов приведения ренты нахо­дим: а (4; 5) =3,5459; отсюда У= 282,016. Применяя базовую ставку, определим финансово-эквивалентную величину долга, погашаемую заемщиком:

А -У-