2.2. Типовые примеры

Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 меся­цев он вложил еще по 10 тыс.

Решить задачу, используя следующие правила.

1. Разделение счета на основной и процентный.

2. Мультисчет.

Решение

1. В течение первого квартала сумма на счете капитала состав­ляла величину Р = 100. Проценты за первый квартал (длитель­ность квартала в долях года равна 0,25):

/А/ • Р= 0,14 • 0,25 • 100 = 3,5.

В течение второго квартала сумма на основном счете Р= 100 + + 10 = 110, проценты с которой равны:

Ш • Р = 0,14 • 0,25 • 110 = 3,85;

сумма на счете в течение третьего квартала — 120, проценты за третий квартал — 4,2; сумма на основном счете в течение четвер­того квартала — 130, проценты равны 4,55. Итоговая сумма на процентном счете (проценты за год) определяется сложением поквартальных процентов и составляет величину /= 3,5 + 3,85 + + 4,2 + 4,55 = 16,1.

2. Величина вклада на накопительном счете на дату закрытия равна наращенной сумме потока всех вложений:

5= 100(1 + 0,14) + 10(1 + 0,75 • 0,14) + 10(1 + 0,5 • 0,14) + + 10(1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 тыс. руб.

2. Коммерческое и актуарное правила.

В условиях предыдущей задачи заменим вложение 10 тыс. руб. в конце 6-го месяца на изъятие в 20 тыс. руб. и найдем состояние счета на конец каждого квартала в зависимости от используемого банком правила (коммерческого или актуарного);

Решение

Согласно коммерческому правилу все платежи учитываются на счете капитала, и его последовательным состояниям соответ­ствует вектор (110, 90, 100, 100).

Найдем последовательность сумм на процентном счете:

(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 • 0,25 • 90 = = 10,5; 10,5 + 0,14 • 0,25 • 100 = 14).

Сопоставляя эти последовательности, получим полную сум­му счета на конец каждого квартала:

5!= 113,5; £₂= 97,35; £₃ = 110,5;5₄= 114.

На практике банки выплачивают проценты по вкладу, поэто­му в случае изъятия сумм сначала уменьшается процентный счет, а затем основной (актуарное правило). Согласно этой процедуре выплата в 20 тыс. руб. производится за счет накопленных за полу­годие процентов (7,35) и снятия недостающей суммы (20 - 7,35 = = 12,65) с основного счета. В результате придем к следующим временным характеристикам состояний основного, процентного и полного счетов (Р_/5 7,, (табл. 2.1).

3. Наращенная сумма (сложный процент).

Для создания резервного фонда ежегодно выделяется по 400 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 8%. Необходимо определить общую сумму фонда через 5 лет для следующих вариантов поступления средств и начисления процентов:

а) поступление в конце квартала, начисление процентов пок­вартальное;

б) поступление в конце квартала, начисление процентов по полугодиям;

в) поступления в конце года при непрерывном начислении процентов;

г) поступления на протяжении всего срока происходят непре­рывно, проценты начисляются непрерывно.

Решение

а) Воспользуемся формулой (2.2) для простой годовой ренты, заменив год кварталом, а годовую ставку - квартальной: / = 2%, п = 20. Значение коэффициента наращения 5(20,2) = 24,297, отку- 24 297

да 5 = 400 .-=^£11 = 2429,7 тыс. руб.;

б) в этом варианте р = 4, т = 2, п = 5, — = 0,04. По формуле

т

(2.1) находим:

6 = 1п(1 + 0,08) = 0,07696 (е°'⁰⁷⁶⁹⁶=1,08).

Наращение с силой роста 5 даст тот же результат, что и начис­ление под годовую ставку 8%. Воспользовавшись формулой (2.2), найдем итоговую величину фонда:

5 = 400 • *(5,8) = 400 • 5,8666 = 2346,64 тыс. руб.;

г) для случая (2.8) постоянной непрерывной ренты и непре­рывных процентов будет накопленная сумма

400 (1,08 -1) 0,07696

4. Современная стоимость ренты.

Какую сумму необходимо поместить в банк, чтобы иметь воз­можность в течение следующих 8 лет ежегодно снимать со счета 25 тыс. руб., исчерпав счет полностью к концу срока? Решить за­дачу для следующих вариантов начисления процентов:

а) в конце года по ставке / = 5%;

б) в конце квартала при той же годовой ставке;

в) непрерывно с силой роста 5 = 5%.

Решение

Во всех случаях требуется найти современную стоимость го­довой ренты:

а) применим формулу (2.2) :А = Я - а (8,5).

А = 25000 • 6,46321 = 161580,25 руб.;

б) по условию проценты начисляются 4 раза в год. Полагая в формуле общей ренты р = 1, т = 4, п = 8, / = 0,05, найдем интере­сующее нас значение современной величины:

Л = 25000 •¹-⁽¹⁺°'°^5/?"⁴-⁸ =25000 .⁰'³²⁸⁰¹⁶ =160965,75 руб.

(1 + 0,05/4) -1

в) в этом случае перейдем к эффективной ставке процента і = = е^& — 1 и применим обобщающую характеристику (2.2) простой годовой ренты. В результате получим формулу современной сто­имости

С1-е~⁸") (г⁸-1) '

для расчета требуемой суммы:

1-0,058

А = 25000 --------- = 160753,64.

е -1

5. Отыскание размера платежа.

Необходимо найти размер равных взносов в конце года для следующих двух ситуаций, в каждой из которых предусматрива­ется начисление на взносы годовых процентов по ставке 8%.

1. Создать к концу пятилетия фонд, равный 1 млн руб.

2. Погасить к концу пятилетия текущую задолженность, рав­ную 1 млн руб.

Решение

а) приравняем размер создаваемого фонда наращенной сумме (2.2) простой годовой ренты. Из полученного уравнения нахо­дим:

₀ 5 1000000 _Лп/ХЛ*сл * Я = = = 170456,4 руб.

^(5,8) 5,86660096

Таким образом, ежегодные взносы в размере 170456,4 руб. достаточны при начислении на них процентов по указанной ставке для накопления 1 млн руб.;

б) для определения ежегодной суммы погашения за 5 лет те­кущего долга в 1 млн руб. приравняем его к современной величи­не ренты (2.2), члены которой погашают долг. Из полученного уравнения находим:

₀ А 1000000 . * Я = = = 250456,46 руб.

1п1,08

10. Объединение рент.

Найти годовую ренту-сумму сроком в 10 лет для двух годовых рент: одна - длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, дру­гая - 8 и 800. Годовая ставка - 8%.

Решение

Для отыскания современной величины ренты-суммы опреде­лим числовые значения одноименной характеристики для рент- слагаемых:

4 = 1000 ■ а(5; 8) - 1000 • 3,993 = 3993;

Л₂ = 800 • в(8;8) = 800 • 5,747 = 4598.

Значит, у ренты-суммы современная величина 4; = 4+4=8591.

Согласно формуле (2)

4_е = Л.0(1О;8).

Следовательно, годовой платеж ренты-суммы: Л₂ = 4/я(10;8),

или, в числах:

Я_у= 8591/6,710= 1280,328.

11. Замена ренты (сложный процент).

Заменить годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом 1000 евро на ренту с полугодовым платежом по 600 евро. Годовая ставка - 10%, проценты начисляются в конце периодов ренты.

Решение

Согласно требованию эквивалентности современные величи­ны рассматриваемых финансовых потоков одинаковы, т. е.:

4 = 4= 1000.в(10; 10) = 1000. 6,1446 = 6144,6.

Для заменяющей ренты начисление процентов и платежи про­изводятся два раза в год, поэтому для нее можно использовать те же формулы (2.2), что и для простой годовой ренты, считая еди­ничным периодом времени полугодие со ставкой начисления 5%. Отсюда получим уравнение для длительности п этого потока:

Л₂= 600 -а(п; 5),

т. е.

•ЙЯ-^-ИИ«.

Это значение заключено между двумя табличными: д(14;5) = = 9,899 и д(15;5) = 10,380. Поэтому за приближенную оцен-

¹⁴⁺¹⁵ НС

ку можно принять величину п =------------ = 14,5 периода, или

7,25 года. ²