<<
>>

9.2. Случайные потоки платежей

Такие потоки могут быть весьма разнообразны:

1) полностью детерминированный поток — моменты плате­жей и величины платежей полностью определены;

2) частично детерминированный поток — полностью опреде­лены моменты платежей либо величины платежей и т.д.

Ограничимся рассмотрением двух примеров.

Пример 1. По договору в течение 5 лет в конце каждого квартала из­дательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000 до 1400 руб. Как найти современную величину этой ренты?

Решение. Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их мате­матических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то ее математическое ожидание есть середина проме­жутка распределения, т.е. 1200 руб. Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов i = 3%, тогда искомая современная вели­чина равна

1200 • 0 (пуассоновский поток плате­жей).

Найдем современную величину такого случайного потока плате­жей (точнее, математическое ожидание этой величины).

Дисконтируем к современному моменту первый платеж. Для этого надо подсчитать интеграл:

ОО 00 А

J(1 + /)-' ■ Xe~xtdt = jXe-'^+'ht = lim JЛе-'( =

о о

= lim

А—> оо

А^

= A,/[(A, + ln(l+ /))].

Х + 1п(1 + 0

Вспомним, что параметр X в показательном законе есть обратная вели­чина к математическому ожиданию, и получаем, что X = 1/Т, где Т —

среднее время между платежами, и окончательно, что математиче­ское ожидание современной величины первого платежа равно 1/[1 + 7Мп(1 + /)].

Поскольку промежуток времени между платежами распределен оди­наково, то математическое ожидание современной величины второго платежа равно 1/[1 + Т • 1п(1 + /)]2, третьего — 1/[1 + Т • 1п(1 + /)]3, и т.д.

Сумма всех этих величин и даст искомую величину. Поскольку 1/[1 + Г'Іі^І + /)] < 1, то члены суммы есть члены бесконечно убы­вающей геометрической прогрессии и, значит, вся сумма равна 1/[Г-1п(1 + /)].

В частности, при Т= 1 получаем 1/1п(1 + /). Заметим, что если бы поток был неслучайным и платежи следовали бы друг за другом че­рез единичный промежуток времени (тогда частота платежей была бы той же самой), то современная величина такого потока была бы І/і. Так как 1п(1 + /) < /, то современная величина случайной ренты больше, чем регулярной.

Потоки платежей со случайным временем платежа часто встре­чаются на практике. Например, таков поток платежей оплаты за квартиру — ведь редко кто платит за квартиру в строго опреде­ленный день. Если бы в примере 1 издательство переводило авто­ру деньги за каждую проданную тысячу экземпляров книги, то по­лучился бы поток неслучайных платежей в случайные моменты времени.

Еще одним важным примером случайного потока (неслучайных) платежей является поток выплат страховых сумм на случай смерти родственникам умершего. Анализом подобных потоков платежей занимается так называемая актуарная математика.

<< | >>
Источник: Малыхин В. И.. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, — 237 с.. 2003

Еще по теме 9.2. Случайные потоки платежей:

  1. 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
  2. Тема 3. Расчеты потоков платежей
  3. Поток платежей
  4. Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
  5. Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
  6. 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
  7. III Естественная классификация преступников. — Преце-денты. — Преступники привычные и случайные. — Пять основных категорий: преступники помешанные, прирожденные, привычные, случайные, по страсти. — Их различия. — Относительные количества их. — Другие классификации. — Выводы.
  8. 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами
  9. 3.3.4. Моделирование случайных векторов
  10. 4.3. Случайный член
  11. 4.3. Случайный член
  12. 2.3. Случайные составляющие коэффициентов регрессии
  13. 3.3.2. Моделирование случайных событий
  14. 14.3. Регрессии со случайным эффектом