1.3 Сложная процентная ставка
3 = Р(1 + г)" (1-14)
где 3 — наращ&шая сумма, Р — первоначальный размер долга, \ — сложная ставка наращения, п — число периодов (лет) наращения, — множитель наращения по сложным процентам.
Пример 1.8. Какой величины достигнет долг, равный 6ООО руб., через А года при росте по сложной ставке наращения 18,5% годовых? Решение.
8 = Р(1 + г)п = 6000 (1-НОД85)4 - 11831,00 руб. в При наращении по сложным процентам наращён над сумма быстро растёт при увеличении числа периодов (лет). В табл. 1.1 представлен множитель наращения в зависимости от числа лет для доух значений ставки.Таблица 1.1
|
Формулу (114) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом.
Пример 1.9. Какой величины достигнет долг, равный 8 000 руб. через 4,й года при росте по сложной ставке наращения 20% годовых?
Решелне.
+ = 8 000 ■ (1 + 0,2)4* _ 18506,48 руб. в
1.3,2. Номинальная процентная ставка наращения. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются т раз в году, В контрактах обычно фиксируется не станка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через Зі то проценты за один период начисляются по ставке а количество начислений равно тп. Наращённая сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:
/ і \тп
Б = Р (і + I) . (1.1®
Пример 1.10. Какой величины достигнет долг, равный 15 000 руб, через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5 % і-одойьіх при начислен ни процентов раз в году и помесячно?
Решение.
3 р(1 + г)* = 15 000 (1 + 0,165)*7 = 35 821,93 руб.
3 = Р + тУП = 16 000 і1 + ЛгГ = 38 Ш>55 *
L3.3, Дисконтирование. Определение дисконтирования по сложной процентной ставке то же, что и по простор дайной и разделе 1.2.2. Используя (1-34) И (1Л5), получим формулы дисконтировалня сложных процентов;
Множители; = v и т------------ J. ч = v называются дисконтными
»а
множителями. Разность
D^S - Р (1.17)
называется дисконтом с суммы Я.
Пример 1Л1. Построить таблицу для дисконтного множителя при сроке ссуды 5; 10; 20; 50 лет и при сложной ставке наращения 10 % и 20%.
(- \ mrt , |
Решение. Результаты приведены в табл.
1,2. шТа б л иг; а 1,2
|
Пример 1.12. Сумма 12000 руб, выплачивается через 2,4 года. Номинальная ставка процентов — 16% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов. Решение,
П $ 12 000 CnOJrtK *
Р = ---- ----- ^г^ - 7---------------- t-ttw = 8 234,95 руб, а
1+ ^
1,3.4. Сложная учётная ставка. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется ие к первппачалыюй сумме, как при простой учётной ставке, а к сумме,уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учёте векселя, рассчитывается по формулам:
г Л \ггггг
где (I — сложная учетная ставка.
ГІ ример 1.13. Вексель на сумму 20ООО руб., срок платеж^ по которому наступает через 1,8 юда, учтён ію сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, порученную владельцем ьекселн при Учете, и дисконт при: ежегодном и ежемесячном дисконтировании.
Решение.
Р = 5(1 -- ä)n -- 20OÜO{ 1 - 03)^ = руб.
D = 3 - Р ^ 20 ООО - 13992,40 = 0007,51 руб.
/ J v tiiTi f л ге ч 12 Otlti
(l- ^J = 20ООО (l - - 14-420,52 руб.
D = S - P = 20 OUÜ - 14 429,52 = 5 570;% руб. я
1.3,5. Сила роста. Если в формуле (1.15), определяющей пара- іцешіуіо сумму при использовании номинальной процентной Ставки нараїцєлнн, периоды начислення процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов ь году будет уиеличипаться.
В пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число стремится к бесконечности. Такое начисление процентом называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение не прерывное наращелке имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.Сила роста называется постоянной, если она пе изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.
Формула для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста S следует из формулы (1Д5) при стремлении m к бесконечности, то есть:
S^ Jim Р (і -і- —УГІГ* „
m-юо \ inj
ТЪк как äiiTL (1 4- j/m)m — eJ", где е — число Эйлера (основание цату-
TU —+ со
ралькых логарифмов), то, заменяя j ira силу роста (5, получим формулу для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов:
SizPj". (L1O)
Связь дискретных ставок і и j с силой роста її находится из равенства множителей наращения дискретных (1.14), (1.15) н непрерыв^ ной (1-19) ставок, то есть:
Реши» эти уравнения, получим:
J = ln(l-M), 1, (1.20)
£} , j = m— іj . (1.21)
По формулам (1.20) и (1-21) можно, в частности. зная дискретные ставки цепных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг.
] Пример ] .14 На сумму 15000 руб. начисляются проценты по сложной годовой стайке г — 22% а течение лет. Определит^ силу роста и наращённую сумму при дискретном и непрерывном начислении.
Решение.
5 = 1н(1 + *) = 1п 1,22 ^0,19885684 Или
Наращённая сумма при непрерывном начислении:
$ = Ре*" = ^ОООе0'11^0*^6 085,04 руб.
Наращённая сумма при дискретом начислении:
5 = Р(1 -И)" = 15 000(1 4- 0,22)^ =30085,04 руб.
Таким образом, как и следовало ожидать, наращённые суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали. ■
Пусть переменная сила роста изменяется но времени, то есть 5Е = = /(1). В этом случае наращённая сумма и современная стоимость о [ I ре д е л я ются соотношениями;
п ^ и
Б = Рехр(|Ч 0,
Пример 1.18. За какой срок сумма, равная 22000 руб., достигнет 50 ООО руб. при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по лилейному закону, начальное значение силы роста 5о = 0,12, а прирост силы роста а — 0,1.
= 3,026 года.
Пример 1.19- Определить начальное значение силы роста при ее линейном изменении но времени, если долг о а 2,5 года увеличится с У ООО руб до 10 ООО руб. при приросте силы роста а = —ОД, Решен и е,
^ _ Ь 15000 + 0'Д '2
п |
60 = " X = " ЗШЮ _---------------------------- = о 3764 или 37,64%.
2,5
Еще по теме 1.3 Сложная процентная ставка:
- S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- Расчет с применением сложных процентных ставок
- 2.4. Сложные учетные ставки
- § 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
- СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- 2.3. Сложные ставки ссудных процентов
- 2.6. СТАВКИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА 2.6.1. Процентные ставки
- § 6.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
- Глава 3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
- Глава 4. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
- Глава 4. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
- Процентная ставка по казначейским векселям