<<
>>

1.1. Основные понятия и формулы

Правила приведения во времени. Согласно принципу временной неравноценности денег равновеликие, но разновременные денеж­ные суммы оцениваются по-разному. Это свойство финансовых сопоставлений лежит в основе правил приведения денег во време­ни.
В будущем денежные эквиваленты увеличиваются и отвечаю­щие им суммы рассчитываются по формулам наращения. «Попят­ное» движение сопровождается снижением равноценных выплат, для определения которых используют формулы дисконтирования.

Общим правилам наращения и дисконтирования для произ­вольного срока предпошлем частный случай приведения на еди­ничном периоде. В зависимости оттого, величина какого из кон­цевых платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%, различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2) приведение соответственно ставке удержания процентов.

Вариант 1.

Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в нача­ле периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начис­ления процента, т. е.

тот процент, на который увеличится началь­ная сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один период сумма Р{ составит величину:

Р1=Ро(1+Т^о)=/>о(1+0'

где / — дробное измерение ставки.

Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:

Рп=-

(1 + 0*

Вариант 2.

Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда ставкой приведения является ставка удержания процентов, ее еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который уменьшится финальная сумма Р\ на один период «назад». В этом случае процедура дисконтирования определяется формулой

Я* = Я(1 ——) = Л(1 -У),

о п шо/ IV л?

где ------ - дробное измерение ставки.

100

Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой нараще­ния по учетному проценту, заключается в приведении ранней выплаты к последующему эквиваленту Рх\

Рх =

(1 -л

По отношению к другим периодам («вперед» или «назад») формулы приведения определяются принятым правилом начис­ления (удержания) процентов: простых или сложных.

Ро = Р,
(1 + пі)

Ро \\-nj)

Согласно простым процентам приросты (удержания) денеж­ных сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базо­вой величины. Отсюда получаются следующие формулы простых процентов:

Рп = Р0(1 и- пі) - наращение по простому проценту; Рп

- дисконтирование по простому проценту;

(1.1)

- наращение по учетной ставке простого процента;

Р0 = Рп{ \ — п]) — дисконтирование по учетной ставке простого про­цента.

Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от ба­зовой величины, а от результата предыдущего во времени приве­дения. В результате придем к формулам сложных процентов:

Pn = P0(l + i)n - наращение по сложному проценту;

дисконтирование по сложному проценту;

(1.2)

наращение по учетной ставке сложного процента;

Р0 = Рп(\ - j)n - дисконтирование по учетной ставке сложного про­цента.

Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) на­зывают множителем наращения Х(п\ /) и дисконтным множите­лем у (я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единич­ного периода, например года.

Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за дробное число лет может выполняться двумя методами:

1) по формуле сложных процентов:

S=P0(l + i)a + b;

2) смешанным методом:

S=P0(l + 0V + bi).

В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое чис­ло лет, b — дробная часть года.

Правила приведения в непрерывном времени. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. про­центы, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях - для эконо­мического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными про­цессами, в математическом моделировании, а иногда и на прак­тике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.

Правилу начисления по непрерывной ставке сложного про­цента отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток Аt — будет пропорционален длине этого промежутка и денежной сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:

S(t + АО - S(t) = 8S(t)At.

Этому соотношению в непрерывном времени соответствует дифференциальное уравнение

Л

с начальным условием £(0) = Откуда получим следующие формулы наращения и дисконтирования:

5(0 = =

Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет особое название — силы роста.

Согласно правилу простого процента непрерывно начисляе­мые проценты пропорциональны длительности времени начис­ления At и начальной сумме £(0) = 50, т.е.

Предельным переходом при А/ ~> 0, получим

(1-4)

где Т— время (в годах), за которое получен доход.

Согласно схеме /я-кратной капитализации на первоначаль­ную сумму в течение года начисляются проценты по годовой ставке /, причем число периодов начисления равно т. Будучи продолжено на Глет, такое реинвестирование даст результат

БТ= 50(1 + 1/т)тТ.

Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, най­дем ее зависимость от номинальной ставки /:

г =( 1+1)«-1. (1.5)

171

Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относи­тельный ДОХОД ! — который может быть получен в це­лом за год, т.е.

сторонам безразлично, применять ли ставку / при начислении процентов т раз в год или годовую ставку и та и другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что при увеличении частоты капитализации т период начисления становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному на­ращению процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконеч­ности, получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой роста 5, равной номинальной ставке / (5 = /). Пользуясь опреде­лением (1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непре­рывному наращению с силой роста 5: /у= еъ — 1. Отсюда следует,.

что 6 = 1п1), т. е. операция приведения (дисконтирова­ния, нарашения) на п периодов по сложному проценту со став­кой равносильна приведению в непрерывном времени с силой роста 6.

Наращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в росте цен Рг и может измеряться темпом их прироста г, а также периодом Г, за который они удвоятся. Первый показатель назы­вают темпом инфляции. Он характеризует относительное изме­нение цены за один период:

Р<

Отсюда следует возможность описания роста цен правилом сложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции

/>,= Р0(1+/•)'.

Определим число лет Г, необходимых для двукратного подо­рожания. В этом случае

Г =
(1.6)

2 = (1 + г)т

и

1п2 1001п2 г г%

Для грубых прикидок числа лет удвоения можно воспользо­ваться правилом числа 70:

___________ 70__________ = 70

темп инфляции в процентах г%

Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его приближенным значением: 1п2 « 0,7. Очевидно, что данные фор­мулы можно использовать и для отрицательного темпа (г < 0), т. е. когда имеет место не прирост, а снижение.

В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя ставку начисления процентов таким образом, чтобы компенси­

ровать обесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы номинальная ставка ] при годовой инфляции г соответствовала реальной ставке она должна удовлетворять условию

У = / + г+/г. (1.7)

При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7) можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограни­чивается величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

У-/ + Г. (1.8)

<< | >>
Источник: Капитоненко В. В.. Задачи и тесты по финансовой математике: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, — 256 с.. 2007

Еще по теме 1.1. Основные понятия и формулы:

  1. 10.1. Основные понятия и формулы. Метод альтернативной доходности
  2. 23.1. Основные понятия и условия применения системы налогообложения при выполнении соглашений о разделе продукции 23.1.1. Основные понятия
  3. 13. ПОНЯТИЕ, ЭКОНОМИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ, ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СТРАТЕГИЙ
  4. Понятие основного капитала. Виды основных средств и способы оценки их стоимости
  5. 6.3. Основные средства (основной капитал) предприятий: понятие, классификация, особенности воспроизводства, пути улучшения использования
  6. Формула Фишера
  7. Волшебная формула ЗМ
  8. Кейнсианский вариант формулы обмена.
  9. 45. Формула предложения денег
  10. 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
  11. 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
  12. § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
  13. Понятие, классификация и оценка основных средств. Задачи учета основных средств
  14. Понятие, классификация и оценка основных средств. Задачи учета основных средств
  15. Расчетные формулы ДЛЯ ОЦЄНКИ чистого оборотного капитала
  16. Наша формула предназначения
  17. 4. Рынок как объект привязанности II: формула Мида
  18. 19. ЯЗЫКОВЫЕ ФОРМУЛЫ ОФИЦИАЛЬНЫХ ДОКУМЕНТОВ
  19. ГЛАВА 17ГЕРМАНСКАЯ ФОРМУЛА ВОЙНЫ
  20. Учет арендованных основных средств Понятие аренды основных средств