1.1. Основные понятия и формулы
Общим правилам наращения и дисконтирования для произвольного срока предпошлем частный случай приведения на единичном периоде. В зависимости оттого, величина какого из концевых платежей считается базовой, т. е. принимается за 100%, различают два варианта: 1) приведение по ставке начисления; 2) приведение соответственно ставке удержания процентов.
Вариант 1.
Пусть в качестве базовой рассматривается величина Р0 в начале периода. Тогда ставкой приведения г% считается ставка начисления процента, т. е.
тот процент, на который увеличится начальная сумма Р0 за один период. В результате наращенная за один период сумма Р{ составит величину:Р1=Ро(1+Т^о)=/>о(1+0'
где / — дробное измерение ставки.
Дисконтирование по этой ставке, называемой в этой связи еще и ставкой дисконтирования, заключается в приведении поздней выплаты Р{ к предшествующему эквиваленту Р0:
Рп=-
(1 + 0*
Вариант 2.
Пусть за базовую принята величина Р{ в конце периода. Тогда ставкой приведения является ставка удержания процентов, ее еще называют учетной ставкой, т. е. тот процент, на который уменьшится финальная сумма Р\ на один период «назад». В этом случае процедура дисконтирования определяется формулой
Я* = Я(1 ——) = Л(1 -У),
о п шо/ IV л?
где ------ - дробное измерение ставки.
100
Наращение по этой ставке, называемой еще ставкой наращения по учетному проценту, заключается в приведении ранней выплаты к последующему эквиваленту Рх\
Рх =
(1 -л
По отношению к другим периодам («вперед» или «назад») формулы приведения определяются принятым правилом начисления (удержания) процентов: простых или сложных.
Ро = Р, |
(1 + пі) Ро \\-nj) |
Согласно простым процентам приросты (удержания) денежных сумм на любом периоде составляют одну и ту же долю базовой величины. Отсюда получаются следующие формулы простых процентов:
Рп = Р0(1 и- пі) - наращение по простому проценту; Рп
- дисконтирование по простому проценту;
(1.1)
- наращение по учетной ставке простого процента;
Р0 = Рп{ \ — п]) — дисконтирование по учетной ставке простого процента.
Для сложных процентов одна и та же ставка берется не от базовой величины, а от результата предыдущего во времени приведения. В результате придем к формулам сложных процентов:
Pn = P0(l + i)n - наращение по сложному проценту;
дисконтирование по сложному проценту;
(1.2)
наращение по учетной ставке сложного процента;
Р0 = Рп(\ - j)n - дисконтирование по учетной ставке сложного процента.
Коэффициенты приведения денежных сумм в (1.1) и (1.2) называют множителем наращения Х(п\ /) и дисконтным множителем у (я; /), а промежуток приведения п измеряют в долях единичного периода, например года.
Приведение в «дробном» времени. Начисление процентов за дробное число лет может выполняться двумя методами:
1) по формуле сложных процентов:
S=P0(l + i)a + b;
2) смешанным методом:
S=P0(l + 0V + bi).
В этих формулах (а + Ь) — период приведения, а — целое число лет, b — дробная часть года.
Правила приведения в непрерывном времени. В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированный промежуток времени (год, полугодие, квартал и т.д.). В некоторых случаях - для экономического анализа и в расчетах, связанных с непрерывными процессами, в математическом моделировании, а иногда и на практике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов.
Правилу начисления по непрерывной ставке сложного процента отвечает такое изменение наращиваемой суммы S(t), при котором ее «привес» — процентные деньги за малый промежуток Аt — будет пропорционален длине этого промежутка и денежной сумме на его начало с коэффициентом пропорциональности 8:
S(t + АО - S(t) = 8S(t)At.
Этому соотношению в непрерывном времени соответствует дифференциальное уравнение
Л
с начальным условием £(0) = Откуда получим следующие формулы наращения и дисконтирования:
5(0 = =
Процентная ставка 5 при непрерывном наращении имеет особое название — силы роста.
Согласно правилу простого процента непрерывно начисляемые проценты пропорциональны длительности времени начисления At и начальной сумме £(0) = 50, т.е.
Предельным переходом при А/ ~> 0, получим
(1-4)
где Т— время (в годах), за которое получен доход.
Согласно схеме /я-кратной капитализации на первоначальную сумму в течение года начисляются проценты по годовой ставке /, причем число периодов начисления равно т. Будучи продолжено на Глет, такое реинвестирование даст результат
БТ= 50(1 + 1/т)тТ.
Отсюда, пользуясь определением эффективной ставки, найдем ее зависимость от номинальной ставки /:
г =( 1+1)«-1. (1.5)
171
Таким образом, эффективная ставка измеряет тот относительный ДОХОД ! — который может быть получен в целом за год, т.е.
сторонам безразлично, применять ли ставку / при начислении процентов т раз в год или годовую ставку и та и другая эквивалентны в финансовом отношении. Заметим, что при увеличении частоты капитализации т период начисления становится все меньше и мы приближаемся к непрерывному наращению процентов. В пределе при т, стремящемся к бесконечности, получим формулы непрерывного приведения (1.3) с силой роста 5, равной номинальной ставке / (5 = /). Пользуясь определением (1.4), найдем эффективную ставку, эквивалентную непрерывному наращению с силой роста 5: /у= еъ — 1. Отсюда следует,.
что 6 = 1п1), т. е. операция приведения (дисконтирования, нарашения) на п периодов по сложному проценту со ставкой равносильна приведению в непрерывном времени с силой роста 6.
Наращение процентов и инфляция. Инфляция проявляется в росте цен Рг и может измеряться темпом их прироста г, а также периодом Г, за который они удвоятся. Первый показатель называют темпом инфляции. Он характеризует относительное изменение цены за один период:
Р<
Отсюда следует возможность описания роста цен правилом сложных процентов. Так, при сохраняющемся темпе инфляции
/>,= Р0(1+/•)'.
Определим число лет Г, необходимых для двукратного подорожания. В этом случае
Г = |
(1.6) |
2 = (1 + г)т
и
1п2 1001п2 г г%
Для грубых прикидок числа лет удвоения можно воспользоваться правилом числа 70:
___________ 70__________ = 70
темп инфляции в процентах г%
Это правило получается из формулы удвоения заменой 1п2 его приближенным значением: 1п2 « 0,7. Очевидно, что данные формулы можно использовать и для отрицательного темпа (г < 0), т. е. когда имеет место не прирост, а снижение.
В финансовой практике инфляцию учитывают, корректируя ставку начисления процентов таким образом, чтобы компенси
ровать обесценивание наращенной суммы из-за роста цен. Чтобы номинальная ставка ] при годовой инфляции г соответствовала реальной ставке она должна удовлетворять условию
У = / + г+/г. (1.7)
При невысокой инфляции произведением в формуле (1.7) можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле
У-/ + Г. (1.8)
Еще по теме 1.1. Основные понятия и формулы:
- 10.1. Основные понятия и формулы. Метод альтернативной доходности
- 23.1. Основные понятия и условия применения системы налогообложения при выполнении соглашений о разделе продукции 23.1.1. Основные понятия
- 13. ПОНЯТИЕ, ЭКОНОМИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ, ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СТРАТЕГИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СТРАТЕГИЙ
- Понятие основного капитала. Виды основных средств и способы оценки их стоимости
- 6.3. Основные средства (основной капитал) предприятий: понятие, классификация, особенности воспроизводства, пути улучшения использования
- Формула Фишера
- Волшебная формула ЗМ
- Кейнсианский вариант формулы обмена.
- 45. Формула предложения денег
- 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
- 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
- § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
- Понятие, классификация и оценка основных средств. Задачи учета основных средств
- Понятие, классификация и оценка основных средств. Задачи учета основных средств
- Расчетные формулы ДЛЯ ОЦЄНКИ чистого оборотного капитала
- Наша формула предназначения
- 4. Рынок как объект привязанности II: формула Мида
- 19. ЯЗЫКОВЫЕ ФОРМУЛЫ ОФИЦИАЛЬНЫХ ДОКУМЕНТОВ
- ГЛАВА 17ГЕРМАНСКАЯ ФОРМУЛА ВОЙНЫ
- Учет арендованных основных средств Понятие аренды основных средств