<<
>>

§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Кратко рассмотрим методики расчета наращенных сумм и современных стоимостей для некоторых разновидностей дис­кретных постоянных рент. Постоянные ренты с непрерывным поступлением платежей рассматриваются в гл.
6.

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов.

Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Легко понять, что каждый член такой ренты "работает" на один период больше, чем в ренте по- стнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как больше в (1 + /) раз аналогичной рен­ты постнумерандо:

5 = 5(1 + /).

Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

^=^/(1+0. (5.39)

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начисле­нием процентов т раз в году

5 = 5(1 + j/m)m.

Для ^-срочных рент, у которых т = 1 и т * р, получим:

S=S( 1 + О1^ S = S(\ + j/m)mfP.

Точно такая же зависимость наблюдается и между современ­ными стоимостями и коэффициентами приведения рент пост- нумерандо и пренумерандо:

Ä = А( 1 + /); än;i = an;i( 1 + /) и т.д.

Важной для практики является рента с платежами в середи­не периодов. Например, в случаях, когда поступления от произ­водственных инвестиций распределяются более или менее рав­номерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым сме­щениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступле­ний за период относить к середине периодов. Наращенные сум­мы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнуме­рандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:

AXß = А(\ + /)*/2 ПрИ р = т

А1/2 = А(1 + іУ^р при р > 1, т = 1, а\/2 = Л 0 + j/m)m/2 при р = 1, т > 1, Л1/2 = А{\ + j/m)m^ при р > 1, /и > 1.

ПРИМЕР 5.17. Определим поправочный множитель, необходи­мый для расчета современной стоимости ренты с платежами в середине периодов. Условия ренты постнумерандо: р = 12, т = 1, / = 10%. Искомый множитель 1,11/2х12 = 1,00398.

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (сирочен­ной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого 'Юмента времени. Например, погашение задолженности планиругся на­чать спустя обусловленный срок (льготный период). О^ВИДНО, что сдвиг во времени никак не отражается на величи- нара­щенной суммы. Иное дело современная стоимость рек м.

Пусть рента выплачивается спустя / лет после некоторого на­чального момента времени. Современная стоимость рнты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А Современная стоимость на начало периода отмочки в / лет очевидно равна дисконтированной на этот срок ^личине современной стоимости немедленной ренты . Для ГОДО^Й рен­ты находим

,А = Ауг = (5.40)

где (А — современная стоимость отложение й на / лет здты.

ПРИМЕР 5.18. Пусть в примере 5 9 рента вы" лачивается * сра­зу, а спустя 1,5 года после момента оценки Зовременнат стои­мость отложенной ренты составит

12,368 х 1,185"1,5 = 9,588 млн оуб.

Современная стоимость отложенной рент ы использугся при решении целого ряда задач, чаще всего в расчетах, связдных с выплатами различного рода накоплений. Д-Т.Я иллюстрации об­судим одну из подобных задач. Пусть готовая ограниченная рента постнумерандо делится во времени ме жду двумя „частни­ками (например, речь идет о передаче собственности, Рента имеет параметры: /?, п. Условия деления: а) каждый Частник получает 50% капитализированной стоимости ренты; ц рента выплачивается последовательно — сначала первому участнику, затем второму.

Решение задачи сводится к расчету срок~а получение ренты первым участником, обозначим его как пг В оставшиеся срок Деньги получает второй участник. Таким обфазом, первлй уча­стник получает немедленную ренту, второй — отложенную.

Из принятых условий деления ренты следует:

Ах =пА21 ЯаП[.} = КаП1У -

Учитывая, что п2= п — находим:

■-М"' '-('"Г'"11,,,.

/ /

После ряда преобразований получим

-1п{[1 + (1 + /)""]/ 2}

Л| 1п(1 + /)

Результат зависит только от общего срока ренты и процент­ной ставки, которая учитывается в расчете.

ПРИМЕР 5.19. Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, / = 20%. Пусть рента делится между двумя участниками на тех ус­ловиях, которые были выше приняты при выводе формулы. Тогда

-1п[{1 + 1,210) / 2] Л

=------- 1п1,2 = 2,981 " Г0Аа"

Доля второго участника — следующие 7 лет.

Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой (perpetuity) понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некото­рые виды облигаций (см. гл. 11).

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна беско­нечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости та­кой ренты. Однако это далеко не так. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая определяется весьма просто. Выше было показано (см. (5.15)), что при п -> а> пределом для коэффициента приведения является аос/ = 1//. От­куда для вечной ренты находим

Ах = у. (5.41)

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зави­сит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из (5.41) следует

Я = АЛ (5.42)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализирован­ной стоимости.

Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказыва­ют весьма малое влияние на величину коэффициента приведе­ния.

С ростом п прирост этого показателя уменьшается (см. рис. 5.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высо­ком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.41) без заметной потери точности. Например, для ограниченной ренты при і = 20%, н — 100 и Я = 1 получим точное значение: А = 4,999999, а по формуле (5.41) находим Ах= 5.

Для других видов рент получим:

А К

Ах = — при р = т> 1.

ПРИМЕР 5.20. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн руб., выплачиваемых в конце каждого полугодия. Ка­питализированная стоимость такой ренты при условии, что для ее определения применена годовая ставка 25%, составит:

= 2(1,251*- 1) = 42,361 МЛН РУб'

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встреча­ются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и совре­менную стоимость таких рент.

Пусть г — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину второго — 7у, последнего члена — Туп, где Т — величи­на члена ренты, п — срок ренты, кратный г. Последователь­ность дисконтированных платежей представляет собой геомет­рическую прогрессию с первым членом 7V, знаменателем vr и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при усло­вии, что Т= 1, равна:

уг(п/г) _ 1 1 — (1 -h /)-« ani

,------------- = j------- Li--- ч—^ -JhL (5 43)

v-l (1 + /Г-1 V K '

Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициен­тов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.

ПРИМЕР 5.21. Сравниваются два варианта строительства неко­торого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каж­дые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб., на капитальный ремонт — 0,4 млн руб. каждые 10 лет. Временной го­ризонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.

Капитализированная сумма затрат при условии, что /=10 %, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:

/\1 = б + = 7 3 млн руб^

35,10

А2 = 7 + = 7,25 млн руб.

0,10

Таким образом, в финансовом отношении варианты оказыва­ются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим Л1 = 6,39, А2 = 7,05.

Переменная процентная ставка. На практике иногда сталки­ваются с потоками платежей, предполагающих применение пе­ременных во времени процентных ставок, например, при рест­руктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).

Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Ес­ли же эти изменения "ступенчатые", то при определении нара­щенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоян­ной ренты постнумерандо со сроком 10 лет предусматриваются два уровня процентной ставк и, применяемые по пятилетиям. В этом случае

ДОПОЛНИТЕГ ЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

К Четыркыи Е.М. Методы финансы, вых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 4, 5.

2. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 3,

3. Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

<< | >>
Источник: Четыркин Е. М.. Финансовая математика: Учебник. — 4-е изд. — М.: Дело, - 400 с.. 2004

Еще по теме §5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент:

  1. § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
  2. § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
  3. Тема 2. Венчурное финансирование, его отличие от других видов финансирования
  4. 39. К. МАРКС О ПОСТОЯННОМ И ПЕРЕМЕННОМ КАПИТАЛЕ И ПРИБАВОЧНОЙ СТОИМОСТИ
  5. 1.2.8.Суммы возмещения стоимости коммунальных услуг и услуг связи
  6. УЧЕТ ПОСТУПЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ВЛОЖЕНИЙ. Учет акций, облигаций и других видов финансовых вложений, приобретенных за плату
  7. § 5.11. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
  8. 4.12. Отдельные виды расходов при "упрощенке" 4.12.1. Суммы налога на добавленную стоимость по приобретаемым товарам (работам и услугам)
  9. § 5.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  10. Наращение с учетом простых процентных ставок