§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов.
Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Легко понять, что каждый член такой ренты "работает" на один период больше, чем в ренте по- стнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как больше в (1 + /) раз аналогичной ренты постнумерандо:
5 = 5(1 + /).
Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо
^=^/(1+0. (5.39)
Аналогичным путем получим для годовой ренты с начислением процентов т раз в году
5 = 5(1 + j/m)m.
Для ^-срочных рент, у которых т = 1 и т * р, получим:
S=S( 1 + О1^ S = S(\ + j/m)mfP.
Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями и коэффициентами приведения рент пост- нумерандо и пренумерандо:
Ä = А( 1 + /); än;i = an;i( 1 + /) и т.д.
Важной для практики является рента с платежами в середине периодов. Например, в случаях, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым смещениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине периодов. Наращенные суммы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:
AXß = А(\ + /)*/2 ПрИ р = т —
А1/2 = А(1 + іУ^р при р > 1, т = 1, а\/2 = Л 0 + j/m)m/2 при р = 1, т > 1, Л1/2 = А{\ + j/m)m^ при р > 1, /и > 1.
ПРИМЕР 5.17. Определим поправочный множитель, необходимый для расчета современной стоимости ренты с платежами в середине периодов. Условия ренты постнумерандо: р = 12, т = 1, / = 10%. Искомый множитель 1,11/2х12 = 1,00398.
Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (сироченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого 'Юмента времени. Например, погашение задолженности планиругся начать спустя обусловленный срок (льготный период). О^ВИДНО, что сдвиг во времени никак не отражается на величи- наращенной суммы. Иное дело современная стоимость рек м.
Пусть рента выплачивается спустя / лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость рнты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А Современная стоимость на начало периода отмочки в / лет очевидно равна дисконтированной на этот срок ^личине современной стоимости немедленной ренты . Для ГОДО^Й ренты находим
,А = Ауг = (5.40)
где (А — современная стоимость отложение й на / лет здты.
ПРИМЕР 5.18. Пусть в примере 5 9 рента вы" лачивается * сразу, а спустя 1,5 года после момента оценки Зовременнат стоимость отложенной ренты составит
12,368 х 1,185"1,5 = 9,588 млн оуб.
Современная стоимость отложенной рент ы использугся при решении целого ряда задач, чаще всего в расчетах, связдных с выплатами различного рода накоплений. Д-Т.Я иллюстрации обсудим одну из подобных задач. Пусть готовая ограниченная рента постнумерандо делится во времени ме жду двумя „частниками (например, речь идет о передаче собственности, Рента имеет параметры: /?, п. Условия деления: а) каждый Частник получает 50% капитализированной стоимости ренты; ц рента выплачивается последовательно — сначала первому участнику, затем второму.
Решение задачи сводится к расчету срок~а получение ренты первым участником, обозначим его как пг В оставшиеся срок Деньги получает второй участник. Таким обфазом, первлй участник получает немедленную ренту, второй — отложенную.
Из принятых условий деления ренты следует:Ах =пА21 ЯаП[.} = КаП1У -
Учитывая, что п2= п — находим:
■-М"' '-('"Г'"11,,,.
/ /
После ряда преобразований получим
-1п{[1 + (1 + /)""]/ 2}
Л| 1п(1 + /)
Результат зависит только от общего срока ренты и процентной ставки, которая учитывается в расчете.
ПРИМЕР 5.19. Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, / = 20%. Пусть рента делится между двумя участниками на тех условиях, которые были выше приняты при выводе формулы. Тогда
-1п[{1 + 1,210) / 2] Л
=------- 1п1,2 = 2,981 " Г0Аа"
Доля второго участника — следующие 7 лет.
Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой (perpetuity) понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некоторые виды облигаций (см. гл. 11).
Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости такой ренты. Однако это далеко не так. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая определяется весьма просто. Выше было показано (см. (5.15)), что при п -> а> пределом для коэффициента приведения является аос/ = 1//. Откуда для вечной ренты находим
Ах = у. (5.41)
Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из (5.41) следует
Я = АЛ (5.42)
т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализированной стоимости.
Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказывают весьма малое влияние на величину коэффициента приведения.
С ростом п прирост этого показателя уменьшается (см. рис. 5.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высоком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.41) без заметной потери точности. Например, для ограниченной ренты при і = 20%, н — 100 и Я = 1 получим точное значение: А = 4,999999, а по формуле (5.41) находим Ах= 5.Для других видов рент получим:
А К
Ах = — при р = т> 1.
ПРИМЕР 5.20. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн руб., выплачиваемых в конце каждого полугодия. Капитализированная стоимость такой ренты при условии, что для ее определения применена годовая ставка 25%, составит:
= 2(1,251*- 1) = 42,361 МЛН РУб'
Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встречаются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и современную стоимость таких рент.
Пусть г — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину второго — 7у2г, последнего члена — Туп, где Т — величина члена ренты, п — срок ренты, кратный г. Последовательность дисконтированных платежей представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 7V, знаменателем vr и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при условии, что Т= 1, равна:
уг(п/г) _ 1 1 — (1 -h /)-« ani
,------------- = j------- Li--- ч—^ -JhL (5 43)
v-l (1 + /Г-1 V K '
Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициентов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.
ПРИМЕР 5.21. Сравниваются два варианта строительства некоторого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каждые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб., на капитальный ремонт — 0,4 млн руб. каждые 10 лет. Временной горизонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.
Капитализированная сумма затрат при условии, что /=10 %, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:
/\1 = б + = 7 3 млн руб^
35,10
А2 = 7 + = 7,25 млн руб.
0,10
Таким образом, в финансовом отношении варианты оказываются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим Л1 = 6,39, А2 = 7,05.
Переменная процентная ставка. На практике иногда сталкиваются с потоками платежей, предполагающих применение переменных во времени процентных ставок, например, при реструктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).
Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Если же эти изменения "ступенчатые", то при определении наращенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоянной ренты постнумерандо со сроком 10 лет предусматриваются два уровня процентной ставк и, применяемые по пятилетиям. В этом случае
ДОПОЛНИТЕГ ЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
К Четыркыи Е.М. Методы финансы, вых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 4, 5.
2. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Финансы и статистика, 1990. Гл. 3,
3. Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.
Еще по теме §5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент:
- § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
- § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
- Тема 2. Венчурное финансирование, его отличие от других видов финансирования
- 39. К. МАРКС О ПОСТОЯННОМ И ПЕРЕМЕННОМ КАПИТАЛЕ И ПРИБАВОЧНОЙ СТОИМОСТИ
- 1.2.8.Суммы возмещения стоимости коммунальных услуг и услуг связи
- УЧЕТ ПОСТУПЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ВЛОЖЕНИЙ. Учет акций, облигаций и других видов финансовых вложений, приобретенных за плату
- § 5.11. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- 4.12. Отдельные виды расходов при "упрощенке" 4.12.1. Суммы налога на добавленную стоимость по приобретаемым товарам (работам и услугам)
- § 5.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
- Наращение с учетом простых процентных ставок