<<
>>

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

Б=Р(1+і)п, (26)

1) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

Б=Р(1+і)'(1+Ьі), (27)

где п=а+Ь, а-целое число лет, Ь-дробная часть года.

2) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

Б=Р(1+і)а. (28)

29

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна ], а число периодов начисления в году т. То­гда каждый раз проценты начисляют по ставке ]/т. Ставка ] называется номинальной. Начисление процентов по номи­нальной ставке производится по формуле:

5=Р(1+]/т,N (29)

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при т разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими спосо­бами, приводящими к различным результатам:

1) По формуле сложных процентов

5=Р(1+]/тЖ (30)

где N/1 - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, т - период начисления процентов,

2) По смешанной формуле

Б = Р (1 + —)а (1 + Ъ—)

т т , (31)

где а - целое число периодов начисления (т.е. а=^/т] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления т), Ь - оставшаяся дробная часть периода начисления (Ъ=^т-а).

Пример 8.

Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процен­тов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех си­туациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное.

Всего имеется 28 ,

— = 93 кварталов.

1) 5 = 20(1 + 0,6 / 4) 3 = 73,713 млн. руб.

2) 5 = 20(1 + 06)9 (1 + 0,6 • 3) = 73,875 млн. руб.

3) Б=20(1+0,6/4)9= 70,358 млн. руб.

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наи­большего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и т -разовое наращение в год по ставке ]/т.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой ]/т, то, по определению, можно записать равен­ство для соответствующих множителей наращения:

(1+1э)п=(1+]/т)тп, (32)

где 1э - эффективная ставка, а ] - номинальная. Отсюда полу­чаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

Iэ = (1 + 1)т -1 (33)

т

Обратная зависимость имеет вид

]=т[(1+1э)1/т-1]. (34)

Пример 9.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

31

Решение

^=(1+0,1/4)4-1=0,1038, т.е. 10,38%. Пример 10.

Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых. Решение.

;=4[(1+0,12)1/4-1]=0Д1495, т.е. 11,495%.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем ис­ходную формулу для наращения

5=Р(1+)

и решим ее относительно Р

Р = Б—1— = БУ", (35)

(1 + оп

где

Уп =—1— = (1 + о -п (36)

(1 + оп

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то получим

Р = Б----- 1----- = Бутп, (37)

(1 + У / т)тп

где

утп =------- 1------- = (1 + у / т) -тп (38)

(1 + у / т)тп

дисконтный множитель.

Величину Р, полученную дисконтированием 5, называ­ют современной или текущей стоимостью или приведенной

32

величиной Э. Суммы P и Э эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме Э через п лет равноценен сумме Р, выплачи­ваемой в настоящий момент.

Разность В=Э-Р называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается исполь­зование сложной учетной ставки. Дисконтирование по слож­ной учетной ставке осуществляется по формуле

Р=Э(1-йсл)п, (39)

где йсл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

В=Э-Р=Э-Э(1-йсл)п=Э[1-(1-йсл)п]. (40)

При использовании сложной учетной ставки процесс дис­контирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшен­ной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дис­контирование применяют т раз в году, используют номи­нальную учетную ставку /. Тогда в каждом периоде, равном 1/т части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке //т. Процесс дисконтирования по этой слож­ной учетной т раз в году описывается формулой

Р=Э(1-//т.N (41)

где N - общее число периодов дисконтирования (Ы=тп).

Дисконтирование не один, а т раз в году быстрее сни­жает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка. Под эффективной учет­ной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эк­вивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году т.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконт­ных множителей

33

(1-//т)т"=(1-йсл)п, из которого следует, что

йсЛ=1-(1-//т)т. (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда мень­ше номинальной.

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение яв­ляется обратной задачей для учетных ставок. Формулы нараще­ния по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) отно­сительно Э. Получаем

из Р=Б(1-йсл)п

Б = Р--- 1---- , (43)

(1 - 4е. )и

а из Р=Б(1-//т^

Б = Р----- (44)

(1 - / / т)"

Пример 11.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

Решение.

Б = ——г = 24,691358 млн. руб.

(1 - о,1)2

Пример 12.

Решить предыдущую задачу при условии, что нараще­ние по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

Решение.

20

<< | >>
Источник: Лукашин Ю. П.. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА: Учебно- методический комплекс / М.: Изд. центр ЕАОИ, - 200 с.. 2008

Еще по теме Начисление годовых процентов при дробном числе лет:

  1. 4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  2. § 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  3. Тема 5. Методы начисления процентов
  4. Декурсивный способ начисления процентов.
  5. 8.2. Банковский процент и механизм его начисления
  6. Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов.
  7. 6.2. Что для этого необходимо6.2.1. Взаимосвязь между стратегическим планированием, планированием на несколько лет и годовым планированием
  8. § 2.2. АНГЛИЙСКАЯ, НЕМЕЦКАЯ И ФРАНЦУЗСКАЯ ПРАКТИКИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТО
  9. Тема 1. Теория временной стоимости денег. Начисление процентов
  10. § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  11. 14.6. Признание доходов и расходов при применении метода начисления и кассового метода 14.6.1. Порядок признания доходов при методе начисления
  12. 8.4. Виды процентных ставок и методы начисления процентов
  13. 11.2.1. Применяется ли ставка НДС 10 процентов при лизинге товаров, облагаемых НДС по ставке 10 процентов
  14. 6.4.2. Учет доходов при применении метода начисления
  15. 14.6.2. Порядок признания расходов при методе начисления
  16. Порядок признания доходов при методе начисления
  17. Порядок признания расходов при методе начисления
  18. 6.4.6. Учет расходов при применении метода начисления