Начисление годовых процентов при дробном числе лет

1) По формуле сложных процентов

Б=Р(1+і)п, (26)

1) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

Б=Р(1+і)'(1+Ьі), (27)

где п=а+Ь, а-целое число лет, Ь-дробная часть года.

2) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

Б=Р(1+і)а. (28)

29

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна ], а число периодов начисления в году т. То­гда каждый раз проценты начисляют по ставке ]/т. Ставка ] называется номинальной. Начисление процентов по номи­нальной ставке производится по формуле:

5=Р(1+]/т,N (29)

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при т разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими спосо­бами, приводящими к различным результатам:

1) По формуле сложных процентов

5=Р(1+]/тЖ (30)

где N/1 - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, т - период начисления процентов,

2) По смешанной формуле

Б = Р (1 + —)^а (1 + Ъ—)

т т , (31)

где а - целое число периодов начисления (т.е. а=^/т] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления т), Ь - оставшаяся дробная часть периода начисления (Ъ=^т-а).

Пример 8.

Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процен­тов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех си­туациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное.

— = 93 кварталов.

1) 5 = 20(1 + 0,6 / 4) ³ = 73,713 млн. руб.

2) 5 = 20(1 + 0⁶)⁹ (1 + ^0,6 • 3) = 73,875 млн. руб.

3) Б=20(1+0,6/4)⁹= 70,358 млн. руб.

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наи­большего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и т -разовое наращение в год по ставке ]/т.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой ]/т, то, по определению, можно записать равен­ство для соответствующих множителей наращения:

(1+1э)^п=(1+]/т)тп, (32)

где 1э - эффективная ставка, а ] - номинальная. Отсюда полу­чаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

I_э = (1 + ¹)^т -1 (33)

т

Обратная зависимость имеет вид

]=т[(1+1э)¹/т-1]. (34)

Пример 9.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

31

Решение

^=(1+0,1/4)4-1=0,1038, т.е. 10,38%. Пример 10.

Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых. Решение.

;=4[(1+0,12)¹/⁴-1]=0Д1495, т.е. 11,495%.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

Математический учет. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем ис­ходную формулу для наращения

5=Р(1+)

и решим ее относительно Р

Р = Б—¹— = БУ", (35)

(1 + о^п

где

У^п =—¹— = (1 + о -^п (36)

(1 + о^п

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то получим

Р = Б----- ¹----- = Бу^{тп, (37)}

(1 + У / т)^тп

где

у^тп =------- ¹------- = (1 + у / т) -^тп (38)

(1 + у / т)^тп

дисконтный множитель.

Величину Р, полученную дисконтированием 5, называ­ют современной или текущей стоимостью или приведенной

32

величиной Э. Суммы P и Э эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме Э через п лет равноценен сумме Р, выплачи­ваемой в настоящий момент.

Разность В=Э-Р называют дисконтом.

Банковский учет. В этом случае предполагается исполь­зование сложной учетной ставки. Дисконтирование по слож­ной учетной ставке осуществляется по формуле

Р=Э(1-йсл)п, (39)

где йсл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

В=Э-Р=Э-Э(1-йсл)п=Э[1-(1-йсл)п]. (40)

При использовании сложной учетной ставки процесс дис­контирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшен­ной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка. В тех случаях, когда дис­контирование применяют т раз в году, используют номи­нальную учетную ставку /. Тогда в каждом периоде, равном 1/т части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке //т. Процесс дисконтирования по этой слож­ной учетной т раз в году описывается формулой

Р=Э(1-//т.N (41)

где N - общее число периодов дисконтирования (Ы=тп).

Дисконтирование не один, а т раз в году быстрее сни­жает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка. Под эффективной учет­ной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эк­вивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году т.

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконт­ных множителей

33

(1-//т)^т"=(1-йсл)^п, из которого следует, что

йс_Л=1-(1-//т)т. (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда мень­ше номинальной.

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение яв­ляется обратной задачей для учетных ставок. Формулы нараще­ния по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) отно­сительно Э. Получаем

из Р=Б(1-йсл)^п

Б = Р--- ¹---- , (43)

(1 - 4_е. )^и

а из Р=Б(1-//т^

Б = Р----- (44)

(1 - / / т)"

Пример 11.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

Решение.

Б = ——_г = 24,691358 млн. руб.

(1 - о,1)²

Пример 12.

Решить предыдущую задачу при условии, что нараще­ние по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

Решение.

20