<<
>>

1.4. Модели финансовых потоков

Финансовые потоки являются составной и неотъемлемой частью практически любой сферы человеческой деятельности. Примерами таких потоков является: оплата по заключенным договорам, которая может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени; погашение банковской задолженности или коммерческого кредита частями и т.
п. При этом может возникать целый ряд последова­тельных, например, равновеликих платежей Я, которые и образуют поток платежей. Ряд последовательных финансовых платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой или ан­нуитетом. Финансовая рента имеет следующие основные характеристики: член ренты Я1 - величина каждого отдельного платежа; интервал ренты

Ъj - временной интервал между двумя платежами; срок ренты г - время

от начала реализации ренты до момента последнего платежа (бывают и вечные ренты); процентная ставка для расчета наращения или дисконтиро­вания платежей; наращенная будущая сумма ренты 5, включающая все члены потока платежей с процентами на дату последней выплаты; совре­менная (приведенная) величина ренты А - сумма всех членов потока пла­тежей, дисконтированная (уменьшенная) на величину учетной ставки на начальный момент времени.

Ренты подразделяются на постоянные, когда члены ренты равны: Я1 = Я2 = Я3 =... = Яп, и переменные.

По моменту выплат различают ренты: постнумерандо (обычные), в которых платежи осуществляются в конце соответствующих периодов, и пренумерандо, в которых платежи производят в начале указанных пери­одов.

Рассмотрим модели потоков ежегодных платежей с начислением процентов на платежи в конце каждого года (постнумерандо) по сложной процентной ставке.

Сумма первого платежа 51 с наращенными на него за весь срок про­центами определяем из уравнения:

5і = Я (1+і с)п-1

п - количество платежей величиной Я.

Для второго платежа, для которого проценты начисляются на один год меньше, соответственно получим:

5г = Я (1 + і с)п- *.

Для третьего платежа наращенная сумма составит:

5з = Я (1+' с)п - 3.

На последний платеж, произведенный в конце последнего п-го года, проценты не начисляются:

5п = Я (1 + і с) "-п = Я-

Тогда для всей наращенной суммы ренты получим:

п п . . п . .

5 = 15{ = X Я (1+і с)п -1= Я £ (1+і с)п-1.

І=1 І=1 І=1

Коэффициент наращения равен:

и
и-г

кна = X 1 + Іс ) '

г =1

Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, полученное выражение для наращенной суммы ренты запишем в следую­щем виде:

(1 + іс)и - 1

5 = Я

і

из которой следует, что коэффициент наращения можно определить таким выражением:

_(1+с)'-1

на

і

Для каждого платежа современное значение определяется формулой:

г = 1

1

А = Я

(1+іс)и'

откуда современная приведенная величина всей ренты будет опреде­ляться выражением:

А = X Аг = ЯX(1 + ісГ = ахЯ

г = 1

где а является коэффициентом приведения ренты и вычисляется как сумма геометрической прогрессии:

и
и г 1 \
а = X

Г = 1

Г 1-1+ іс)

V 1 + І с J

В результате получим выражение для приведенной величины ренты:

А = Я1 -(1)-и

іс

5 х і

Полученные модели позволяют определить, например, величину платежа:

л=5=

{1+іс)п -1

или

п А А х і с к = — = —

- п

а 1 -{1 + і с )

Для определения срока ренты можно получить следующие формулы:

і с+1

Г сЛ

5
1п
V К)
п ■■

1п {1+іс) '

Пример 4.1. Вкладчик в конце каждого месяца кладет в банк 1 000 грн.

Проценты начисляются ежемесячно по номинальной годовой ставке сложных процентов, составляющей 12 %. Опередить наращенную сумму на счете вкладчика через два года.

Решение

К = 1 000; п = 24; т = 12; і = — = = 1 % = 0,01.

т 12

1 = 105
(1,01)24 -1

24

_ {1 + іс)- 1 1ппп {1 + 0,01)

і

5 = к х^--- —— = 1000х— 7

0,01

= 100000[{1,01)24 - 1]= 100000[1,27-1] = 26 973грн. 46коп.

При простом накоплении наращенная сумма составила бы всего 24 000 грн.

Другая задача, обратная этой, заключается в вычислении регулярных платежей финансовой ренты К по заданной наращенной сумме.

Пример 4.2. Вкладчик желает накопить в течение двух лет в банке 30 000 грн., производя ежемесячные равные вклады по сложной номи­нальной годовой ставке 12 %. Определить сумму ежемесячного вклада при условии, что проценты начисляются ежемесячно.

? 5 х іс 30000х 0,01 300 R = -,------------------ г = —— = = 1112 aoi. 20 єн

(і + іс) n- 1 (1 + 0,01) 24- 1 0,2697346

Пример 4.3. Вкладчик оплатил обучение за первый год и намерен положить в банк сумму, чтобы его сын в течение еще пяти лет обучения мог снимать в конце каждого года по 5 000 грн. и израсходовать к концу учебы весь вклад. Определить сумму вклада, если годовая ставка сложных процентов составит 12 %.

Решение

Решение

5 = 30 000; n = 24; j = 12%; і с = 0,01. Сумма ежемесячного вклада составит:

Сумма вклада равна современной ценности ренты, состоящей из пя­ти платежей:

1 -(1 + і с )-
n
-5
5000 0,12
1
A = R
1
5
1,12
і

1 -(1 + 0,12)

= 5000

0,12

5000 [1 - 0,567427] 0,12

Пример 4.4. Заемщик получил кредит 3 млн. грн. на 5 месяцев с условием гашения долга в конце каждого месяца равными срочными пла­тежами. На величину долга начисляются сложные проценты по ставке 5 % за месяц. Определить сумму срочного платежа.

Решение

n = 5; A = 3 000 000грн; iс = 0,05. Сумма срочного платежа:

= 18 023грн. 86 коп.

Я = AХS = 3000000Х ftf = 692 924грн.39коп. 1-(1 + ic)-n 1-(1 + 0,05) F

<< | >>
Источник: Колесников С. А.. Финансовая математика : учебное пособие / С. А. Колесников, И. С. Дмитренко. - Краматорск : ДГМА, - 48 с.. 2008

Еще по теме 1.4. Модели финансовых потоков:

  1. Глава 5. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ
  2. Глава 3Метод дисконтированного денежного потока, модели капитализации постоянного дохода, модель Гордона
  3. 13.5. ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ И РЕГУЛИРОВАНИЕ СТАВОК ДОХОДНОСТИ 13.5.1. Модели оценки стоимости активов на основе дисконтирования денежных потоков
  4. 1.1. Модель кругооборота реальных и денежных потоков
  5. 27. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗРАБОТКИ ФИНАНСОВОЙ МОДЕЛИ {БЮДЖЕТОВ) БИЗНЕС‑ПЛАНА. ПОДГОТОВКА НЕОБХОДИМОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ ФИНАНСОВОЙ МОДЕЛИ
  6. 1.1. Модель кругооборота реальных и денежных потоков
  7. 6.2.Выбор модели денежного потока
  8. 19.3. Интегрированная модель дисконтированных денежных потоков и опционов
  9. Модель круговых потоков. “Утечки” и “инъекции”. Общие условия макроэкономического равновесия
  10. Макроэкономические модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Запасы и потоки
  11. 1. БАЗОВЫЕ КАТЕГОРИИ ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА: КАПИТАЛ, ПРИБЫЛЬ, ФИНАНСОВЫЕ РЕСУРСЫ, ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК
  12. 2.2. ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ
  13. 81. ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ В ЛОГИСТИКЕ