<<
>>

Лекция 2: СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Сложная процентная ставка наращения - это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:

S = P{\ + i)\ (2.1)

где s - наращенная сумма;

' - годовая ставка сложных процентов;

11 - срок ссуды;

С + ^ - множитель наращения.

Формулу наращения для сложных процентов используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом. Однако существует и специальная формула для этого случая: если срок вклада состоит из целого числа годов а = \п\ и части года Ь = \п), т.е. п = а + b, то наращенная сумма определяется по формуле:

Я = 7,(1 + /У(1 + /)\

Если разложить в ряд сомножитель (1 + /')* = 1 + —/+ ^ ^ г +..., по­лучим приближённую формулу:

S = l\\ + i)a{\+bi). {22)

Так как при h < I третий член разложения меньше нуля, то (l + W) > (1+ /')*- Поэтому расчет наращенной суммы по приближённой фор­муле дает больший результат, чем по исходной формуле.

При Ь е[0;1] величина (1 + /)& е[Ц1 + /], поэтому при малых значениях / коммерческие банки при наличии полных периодов начисления про­центов обычно принимают сомножитель (1 + /)'' равным единице, т.е. (l + /)s «I.

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT, т.е. точные проценты с точным числом дней ссуды.

Проценты за этот же срок в целом составляют I = S-P = /^(l + O" Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она со­ставляет: 1Р = / j(l +/')" -(1 +ni)\

Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член кото­рой равен Р, а знаменатель - (1 + ї). Последний член прогрессии равен на­ращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация нараще­ния по сложным процентам представлена на рис. 4.

Пример 2.1.

Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

.V = /»(]+/)" = 1000000-(1 + 0,155)5 =2055464,22 руб.

Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процент­ным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока.

В самом деле, при условии, что временная база ддя начисления процен­тов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс б проставлен у ставки простых процентов):

для срока меньше года простые проценты больше сложных:

{1 + /г/ )>(1 + /)"

1

для срока больше года сложные проценты больше простых:

(1 + л/,)1 с увеличением срока различие в последствиях

применения простых и сложных процентов усиливается. Графическая иллюстра­ция соотношения множителей наращения представлена на рис.5.

О 1 п

Рис.5, Соотношение множителей наращения

Формулы, приведённые выше, предполагают, что проценты на про­центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начисления процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке /, а проценты на проценты - по ставке г ф /. В этом случае:

= Р + Р/[1 + (1 + г) + (1 + г)2 +... + (1 + г)"-1] Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую про­грессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + / ). В итоге имеем:

4 у (2.3)

Если на каждом этапе I (1=1, 2, ..к) срока вклада процентная ставка 1! меняется, то величина наращенной суммы может быть определена по формуле:

■V - /41 + 0" (1 + 0"'- ...(I +/)"'■ - /'П(1 + /,)"'' (2.4)

1=1

где - последовательные значения ставок процентов, дейст­

вующих В соответствующие периоды //,,//,,...,/7д. И // = //, + //2 + ... + /7,..

Пример 2.2. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% - в третий год 5% - в четвертый год.

Вычислить величину мно­жителя наращения за 4 года.

Искомый множитель наращения равен (1 + 0,3)2(] + 0,28)(1 + 0,25) = 2,704.

В ранее полученных формулах при начислении процентов не прини­малось во внимание расположение срока начисления процентов относи­тельно календарных периодов. Очевидно, что часто даты начала и оконча­ния ссуды находят в разных периодах, но начисленные за весь срок про­центы не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтер­ском учете, при налогообложении, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулиро­вать на основе графика, построенного для двух смежных календарных пе­риодов (рис. 6).

Общий срок ссуды делится на два периода W| и . Соответственно:

/ = /' + /2 (2.5)

где =l{a + i)n] -l]; I2 =Р(1 + '>,[(1+ /)«, -l] = 7J[(l + /)"-(l + />, . Пример 2.3. Ссуда была выдана на два года - с 1 мая 1998 года по 1 мая 2000 года. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить на­численные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по календарным годам.

244

За период с 1 мая до конца года (244 дня): 10000-(1,14365 -1) = 915,4

244

тыс. рублей. За 1999 г.: 10000-1,14365 -0,14 = 1528,2 тыс. рублей. Наконец, с 1

244 121

января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10000-1,14'^ -(1,14365 -1) = 552,4тыс. руб­лей. Итого за весь срок - 2996 тыс. рублей. Такой же результат получается для всего срока в целом: 10000-(1,142 -1) = 2996 тыс. рублей.

Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов ис­пользуется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. В этом случае го­ворят, что процетпы начисляются т раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номиналь­ной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номиналь­ной при начислении процентов раз в году. Если номинальную ставку обозначить через], то проценты за один период начисляются по ставкеупг а количество начис­лений равно тп. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:

. \ пт

I. т]

Пример 2.4. Изменим одно условие в примере 2.1. Какой величины дос­тигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых, если проценты начисляются не раз в году, а поквартально?

= 2139049,01 руб.

У 4 ;

Заметим, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс).

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и т-разовое наращение в год по ставке ут.

Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со став­кой Ут, то, по определению, можно записать следующее равенство для со­ответствующих множителей наращения:

(! + '•*)"= 1+- , (2.7)

V т)

где I ,ф - эффективная ставка; / - номинальная ставка.

1 + ^- V т)

Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением:

1. (2.8)

Обратная зависимость имеет вид:

(2.6)

г 0,155 5

1+-

£ = 1000000

У = 4 + ''*)|:™-і] (2-9)

Пример 2.5. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисля­ет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение: По формуле, связывающей номинальную и эффективную

+

V 4 у

ставки, находим г,(/)

о.Г

Ґ п іУ

-1 = 0.1038, т.е. 10,38%.

В математическом учете решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения сложных процентов S = У>( 1 н-/)" и решим ее относительно Р:

P = S—^— = Sv'\ (2.10)

(1 + /У

где у" = ^ = (1 + 0 " - учетный или дисконтный множитель. Если проценты начисляются m раз в году, то получим:

P = S U— = .SV"", (2.11)

(I-7 )"•" v / nr

1

,,?«« " /1 і / / \-iim ^

где v — Iі + /т) - дисконтныи множитель.

(1 +.// У""

т

Величину Р, полученную дисконтированием 5, называют современ­ной или текущей стоимостью или приведенной величиной Б. Суммы Р и 8 эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме Б через п лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Пример 2.6. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 1 млн. руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов - 10% годовых.

Г = 1000000-(1 +ОД О)"5 =620921 руб. В случае банковского учета предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществля­ется по формуле

Р = ${\-с1 )", (2.12)

где с1 - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен:

Г) = ,Ч-Р = - Л"0 - (Л У = ЯП - 0 - = Б-Р = 20000-14429,52 = 5570,48 руб.

Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (2.12) и (2.14) легко получить формулы наращения:

Р о Р = и Л =

(1-е/)" (1_/у

(2.16)

т

Множитель наращения при использовании сложной ставки б/ равен

(I -/; = -1. Доходность ссудной операции с использованием

непрерывной процентной ставки: Л' = Ре*' => 8 = — •

Введём новые обозначения: С(/) - капитал, составляющий в момент г, р(я) ,У(й)ден. ед.; если /, >/1; то с(^) - инвестиция, а

С(/2) - результат финансовой операции; ( уг - коэффициент увеличения

/' 1

капитала; (С2 - С\) - номинальный доход финансовой операции.

Формулы для вычисления доходности финансовых операций примут вид:

(2-23)

- доходность ссудной операции с использованием простой процентной ставки.

'С,

=

(2.24)

- доходность ссудной операции с использованием сложной процентной ставки.

—М-

(2.25)

с/, =

і2-л и;,

- доходность ссудной операции с использованием непрерывной процентной ставки.

Доходности с/,,б/2,£/, можно рассчитывать не только для всего от­резка продолжительности финансовой операции [/,, /,], но и для любого другого отрезка, входящего в него. Если длина отрезка [/,, /, ] уменьша­ется до 0, можно получить мгновенную доходность финансовой опера­ции.

Рассмотрим интервал [/, / + Д?] и сделаем предельный переход А/ ->■ о:

(І= 1ІҐП сі, = Нт —

М >0Д/

логарифмическая производная С(/).

с(,)

ҐС(/ + А/)

с/, = Ііт б/-, - Пт

С(/ + А/)

Л/->0 - А/—» О

1 = Ит И')+ С-(/)А/ + О(А/)] 1 =

С(/ + А/) - ("'(/) Г'(/) л

= І1ІП ——ту — = —гт = (1п ( (О

->о С(/)А/ СО) (2 26)

л/—»о

(АО'

1 + ,м

(2.27)

1 , Г(/ + Д0 1 , си)+С(і)Аі + о(Аі)

-1 = ег0

сі, = Ііт

<< | >>
Источник: Шиловская H. A.. Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций / H.A. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, -104 с.. 2011

Еще по теме Лекция 2: СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ:

  1. Сложные проценты
  2. 4.1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
  3. Модели простых и сложных процентов
  4. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  5. 2.3. Сложные ставки ссудных процентов
  6. § 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  7. 4.2. ЧАСТОТА НАЧИСЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  8. § 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА
  9. Глава 3. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
  10. § 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  11. S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  12. S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  13. 24. СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ, ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЖНЫМИ СУЖДЕНИЯМИ
  14. ЗАБЛУЖДЕНИЕ Ко 2:ПРОЦЕНТЫ МЫ ПЛАТИМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА БЕРЕМ ДЕНЬГИ ПОД ПРОЦЕНТЫ
  15. 6.4.2. Проценты по облигациям и векселям, проценты по товарному кредиту
  16. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента.
  17. 15.1. Ссудный процент (процентный доход) и ставка процента
  18. 2.4. Сложные учетные ставки
  19. Расчет с применением сложных процентных ставок
  20. 55. Сложные эфиры