<<
>>

Лекция 5: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПЕРЕМЕННЫЕ РЕНТЫ

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во времени. Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно закону арифметической прогрессии с первым членом Я и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность:

Я,Я + а,Я + 2а,...,Я + {н-\)а.

Современная сумма годовой ренты постнумерандо определяется сум­» I

мой: А = Я у + {Я + аУ2 + (Я + 2аУ +... + [Я + (п -1)а\'" = ^ (Л + 1а'У (5.1)

: п

После преобразований эта сумма принимает вид:

А = {Я + -)ап, —, (5.2)

I I

\ „ ,

где V = - дисконтныи множитель по ставке 1.

1 + 7

Чтобы получить наращённую сумму ренты умножим (5.2) на (1 + 0", и получим:

Л =(Д + -)л'„( Г. (5.3)

I I

Пример 5.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн. руб. Последующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат 10 лет.

Решение: По условиям задачи Я = 15, а = 2, /" = 20%, п 10. Табличные значения коэффициентов аю.,„= 4,192472, у[0 = 0,161505.

Применив формулу (5.2), получим:

, 2 Л, 10x2x0.161505 _

А = (15 + —)4.192472 = 88.661 млн. руб.

0.2 0.2 ^

Используя взаимозависимость А и л , находим:

Л'= 88.661 Х1.210 =548.965 МЛН. руб.

Влияние динамики платежей очевидно. Например, постоянная рента с Л = 15 дает накопление в сумме около 390 млн. руб., "вклад" прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн. руб., или примерно 20%.

Переменная р-срочная рента с постоянным абсолютным приростом. Пусть Я. - базовая величина разовой выплаты, а годовой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны:

Р Р Р

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов р раз в году получим:

Л = + (5.4)

И + -{1- 1) Р

71 Р

р"

(I -/)' •. (5.5)

Пример 5.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться в течение двух лет - каждый квартал на 25 тыс.

руб. Первоначальный объем сбыта за квартал 500 тыс. руб., Определить наращенную сумму к концу срока при условии, что деньги за продукцию поступают постнумерандо.

По условиям задачи К = 500, а/р =25, / = 20%, п- 2, рп - 8. Нара­щенная сумма к концу двух лет составит:

к

Я = £[500 + 25(/ - 1)]х 1,22 ' 4 = 4865 ТЫС. руб.

ы

Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно гео­метрической прогрессии с членами К, Рс^Рц2,..., Яд"'1 (д - знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей:

Получим геометрическую прогрессию с первым членом К у и знаме­нателем (/у. Сумма членов этой прогрессии равна:

Л-д.^^дЦ")'-'. (5.6)

I/ V — \ с/-(1 + /)

Пусть теперь д = 1 + /с, где к - темп прироста платежей.

После простых преобразований получим:

,-Г-Г

А = К . (5.7)

/ - к

Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и отрицательным (к< О).

Наращенная сумма ренты находится как:

= + ,Г=Д'?"-(1 + ')"=Д

<< | >>
Источник: Шиловская H. A.. Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций / H.A. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, -104 с.. 2011

Еще по теме Лекция 5: ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ: ПЕРЕМЕННЫЕ РЕНТЫ:

  1. § 5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  2. Макроэкономические модели. Экзогенные и эндогенные переменные. Запасы и потоки
  3. 6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей
  4. Тема 3. Расчеты потоков платежей
  5. Поток платежей
  6. Анализ вероятностных распределений потоков платежей.
  7. Корректировка потока платежей с целью уменьшения максимальной и средней потребности в остатках денежных активов
  8. 2.Упрощенная схема оценки при использовании прогноза чистых операционных денежных потоков и отдельном учете связанных с платежами постоянных издержек
  9. 19.2. Оценка ренты
  10. Финансовые ренты.
  11. § 5.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  12. § 5.11. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
  13. § 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
  14. 68. Понятие денежного потока. Виды и классификация денежных потоков, их роль в управлении финансами