<<
>>

Лекция 3: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.

Для операций наращения и дисконтирования могут применяться разные виды процентных ставок и можно подобрать такие их значения, при которых можно получить одинаковые финансовые результаты.
В соот­ветствии с принципом эквивалентности, замена одного вида ставки на другой не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной опера­ции. Такие ставки называются эквивалентными.

Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок ^ и с1-, с одной стороны, и сложных ставок 1 и 7, с другой. Попарно приравняв друг к другу, со­ответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.

Эквивалентность /5. и / : ^ —/ = >ф + т!, -1. (3.1)

п

Г -1

Эквивалентность и у: =—— , у = т(тф + ш, -1). (3.2)

п

I (1 • 1 ) ""• р—

Эквивалентность ds и /: ds = — , ] = т{,ш\ у , -1). (3.3)

Далее рассмотрим соотношения эквивалентности сложных ставок /, / и /р. (317)

Ставка * , при которой наращение равно потерям из-за инфляции, определяется из равенства С = Р

Сопоставив это с формулой (3.16), находим:

1 - п ■ (3.18)

Пример 3.2. Месячный темп инфляции составляет:

а) постоянную величину, равную 4%;

б) а± = 4%, а2 = 3%, а2 = 2%.

Найти индекс цен и темп инфляции за 12 месяцев. А также опреде­лить обесцененную наращенную сумму, если на сумму 10000 руб. в тече­ние указанных сроков начислялась простая процентная ставка 50% годо­вых (У=360), и определить ставку, при которой наращение равно потерям из-за инфляции.

/р = (1 + 0,04)^ = 1,601; а = (1,601 - 1)100% = 60,1%;

1 + 0,5

С = 10000 = 9369,14;

1,601

1,601 - 1 Г = = 0,601 или 60,1%.

1

/р = 1,04 * 1,03 * 1,02 = 1,0926; а = (1,0926 - 1)100% = 9,26%;

3

1 + т^г0,5

С = 10000 — = 10296,54;

1,0926

1,0926 - 1 Г = = 0,3704 или 37,04%.

3/12

В варианте а) произошла эрозия капитала, а для его увеличения про­центная ставка должна превышать 60,1%.

В варианте б) капитал вырос в 10294,54/10000 = 1,029454 раза или приблизительно на 2,94%.

Для сложных процентов обесцененная инфляцией сумма определя­ется как: Я, = Р ^+ ^ = . Зависимость обесцененной инфляцией

1р [1 + а)

суммы от времени представлена на рис.8.

І > а - реальный рост

І* = at - наращение поглощается инфляцией

І < a t - эрозия капитала

с

Р

О

Рис.8, Зависимость обесцененной инфляцией суммы от времени

Ставка Г, при которой наращение компенсируется инфляцией, опре­деляется из соотношения С = Р: =

Полученная ранее формула наращения по простым процентам Л' = /Ц + пі) не учитывает инфляцию. Если уровень инфляции а известен, то эта формула может быть записана в виде: = Р{\ -нф ~а). Если обозначить за /„простую ставку ссудных процентов с учётом инфляции, получим: = г( 1 + пі.,).

Уравнение эквивалентности имеет вид: + + /'(і+ »/„). Из уравнения легко выразить простую ставку ссудных процентов, под кото­рую нужно положить первоначальную сумму р на срок п, чтобы получить

і пі + а + піа , т сумму Sl(, учитывающую инфляцию: /„ = . (3.19)

п

Итоговая ставка называется брутто-стаекой.

(3.20)

Если /7 = 1, получим формулу Фишера: =і + а + і а .

Величина а + ia называется инфляционной премией (исходную став­ку увеличивают на величину инфляционной премии, чтобы компенсиро­вать обесценивание денег).

п

Из уравнения эквивалентности ni + а + nia = nia можно получить фор­мулу реальной доходности в виде годовой простой ставки ссудных процен­тов для случая, когда первоначальная сумма Р была инвестирована под простую ставку ссудных процентов ia на срок п при уровне инфляции а за рассматриваемый период:

пг, - а

і -

и + па

(3.21)

Если использовать обозначение Iр = \+а, то формулы примут вид:

■ р I + пг

= 1 + па. (3.22)

(3.23)

-1

(] + па)Р - I 1 (\ + пг л

г = , а = —

п п

V

Аналогичные формулы можно получить, поместив первоначальную сумму Р под сложные проценты и учтя инфляцию. Уравнение эквивалент­ности примет вид: Р{\ + /)"{\ + а) = Р{\ + \а)". Сложная ставка ссудных процен­тов, под которую нужно положить первоначальную сумму Р на срок п, чтобы при уровне инфляции а за рассматриваемый период получить сум­му рассчитывается по формуле: \а = (1 + /)л/1 + а-1. (3.24)

Для вычисления реальной доходности операции в виде сложной го­довой ставки ссудных процентов выразим /: г = -1. (3.25)

Если использовать обозначение 1р = 1 +

<< | >>
Источник: Шиловская H. A.. Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций / H.A. Шиловская. - Архангельск: Сев. (Аркт.) фед. ун-т, -104 с.. 2011

Еще по теме Лекция 3: ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК.:

  1. Эквивалентность процентных ставок и финансовая эквивалентность платежей
  2. 2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа
  3. § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  4. § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  5. S 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  6. S 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  7. 15.4. Виды номинальных процентных ставок
  8. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  9. УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  10. 45. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  11. Глава 6. КОЛЕБАНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  12. Глава 6. КОЛЕБАНИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  13. 45. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  14. S 2.2. Коридор процентных ставок в России
  15. ВЫРАВНИВАНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  16. 2.6.6. Выравнивание процентных ставок
  17. ДРУГИЕ ПОКАЗАТЕЛИ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК