1.3. Формулы наращенной суммы
Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по Я рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке і. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины Я(1+і)п-1, так как на сумму Я проценты начислялись в течение п-1 года.
Второй взнос увеличится до Я(1+і)п-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессииБ=Я+Я(1+і)+Я(1+і)2+. . . + Я(1+і)п-1,
в которой первый член равен Я, знаменатель (1+і), число членов п. Эта сумма равна
62
5 = Я (1 + У -1 = Л (1 + У -1 = Л,.., (1.1)
(1 + і) -1 і
где
(1.2) |
„ _ (1 + і)я -1
и называется коэффициентом наращения ренты.
Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки і. Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя входами.Пример
В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
5 _ 10(1 + °Д)3 -1 _33,1.
0,1
Годовая рента, начисление процентов т раз в году
Посмотрим как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка ]/т, где ] - номинальная ставка процентов.
Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют видЩ1+І/т)т(п-1), К(1+і/т)т(п-2)/ . . . , Я.
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является Я, знаменателем (1+І/т)т, а число членов п. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна
5 _ я (1 + і / т) - -1. (1.3)
(1 + і / т)т -1
63
Рента р-срочная, m=1
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
1 2 3
R n— R n— R n— R
— (1 + i) p, —(1 + i) p, —(1 + i) p , p p p p
у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
S = R •(1 + 'С -1 = R (1 +^-1 = Rs(p), (1.4)
p (1 + i)1'p -1 p[(1 + i)1'p -1] n'"
где
s(P) = (1 +i)n -1 (1.5)
"" p[(1 + i)1'p -1] коэффициент наращения р-срочной ренты при m=1.
Рента р-срочная, p=m
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
S = R (1 + ЭП -1.
iРазличие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.
Таким образом получаем
S = R _ (1 + j' m)m -1 = R (1 + j' m)mn -1. (16)
m j' m j
Рента р-срочная, p>L, m>1
Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p>m.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
і,
, . чт(и-- ) / . \mn-m/p
Rfl + 1 і p = Rfl + j
p V m) p V m,
Второй член ренты к концу срока возрастет до
2
S = R (1 + j /m) m p,np = R (1 + j /mr -1 . (1.7) |
m(n-------- ) n / . \ mn-2(m/p)
Rfi+1Г ' = Rfi+1
p у m) p у m y
и т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов nm.
В результате получаем наращенную сумму
)(m / p)np
п/p
р (1 + ] / т)т'р -1 р[(1 + ] / т)т'р -1]
Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.
Еще по теме 1.3. Формулы наращенной суммы:
- § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
- § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
- Наращение с учетом простых процентных ставок
- § 5.10. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- 2.2. НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
- §1. Дисконтирование и наращение в оценке финансовых активов
- Раздел 4 "Расчет суммы налога, исчисленной по операциям по реализации товаров (работ, услуг), передаче имущественных прав, и суммы налога, подлежащей вычету,иностранной организацией, осуществляющей предпринимательскую деятельность на территории РФ через свои подразделения (представительства, отделения)"
- Формула Фишера
- Волшебная формула ЗМ
- Кейнсианский вариант формулы обмена.
- 45. Формула предложения денег
- 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
- 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
- § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
- 16.2. Суммы, не подлежащие налогообложению, и налоговые льготы 16.2.1. Суммы, не подлежащие налогообложению
- Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с., 2014
- Расчетные формулы ДЛЯ ОЦЄНКИ чистого оборотного капитала
- 10.1. Основные понятия и формулы. Метод альтернативной доходности