<<
>>

1.3. Формулы наращенной суммы

Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по Я рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке і. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины Я(1+і)п-1, так как на сумму Я проценты начислялись в течение п-1 года.

Второй взнос увеличится до Я(1+і)п-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

Б=Я+Я(1+і)+Я(1+і)2+. . . + Я(1+і)п-1,

в которой первый член равен Я, знаменатель (1+і), число чле­нов п. Эта сумма равна

62

5 = Я (1 + У -1 = Л (1 + У -1 = Л,.., (1.1)

(1 + і) -1 і

где

(1.2)

„ _ (1 + і)я -1

и называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки і. По­этому его значения могут быть представлены в таблице с дву­мя входами.

Пример

В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение

5 _ 10(1 + °Д)3 -1 _33,1.

0,1

Годовая рента, начисление процентов т раз в году

Посмотрим как усложнится формула, если предполо­жить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что приме­няется каждый раз ставка ]/т, где ] - номинальная ставка про­центов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Щ1+І/т)т(п-1), К(1+і/т)т(п-2)/ .

. . , Я.

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая про­грессия, первым членом которой является Я, знаменателем (1+І/т)т, а число членов п. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна

5 _ я (1 + і / т) - -1. (1.3)

(1 + і / т)т -1

63

Рента р-срочная, m=1

Найдем наращенную сумму при условии, что рента вы­плачивается р раз в году равными платежами, а проценты на­числяются один раз в конце года. Если R - годовая сумма пла­тежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда после­довательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую про­грессию, записанную в обратном порядке,

1 2 3

R n— R n— R n— R

— (1 + i) p, —(1 + i) p, —(1 + i) p , p p p p

у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

S = R •(1 + 'С -1 = R (1 +^-1 = Rs(p), (1.4)

p (1 + i)1'p -1 p[(1 + i)1'p -1] n'"

где

s(P) = (1 +i)n -1 (1.5)

"" p[(1 + i)1'p -1] коэффициент наращения р-срочной ренты при m=1.

Рента р-срочная, p=m

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. То­гда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым на­числением процентов в конце года, для которой

S = R (1 + ЭП -1. i

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.

Таким образом получаем

S = R _ (1 + j' m)m -1 = R (1 + j' m)mn -1. (16)

m j' m j

Рента р-срочная, p>L, m>1

Это самый общий случай р-срочной ренты с начислени­ем процентов m раз в году, причем, возможно p>m.

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года по­сле начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

і,

, . чт(и-- ) / . \mn-m/p

Rfl + 1 і p = Rfl + j

p V m) p V m,

Второй член ренты к концу срока возрастет до

2

S = R (1 + j /m) m p,np = R (1 + j /mr -1 . (1.7)

m(n-------- ) n / . \ mn-2(m/p)

Rfi+1Г ' = Rfi+1

p у m) p у m y

и т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов nm.

В результате получаем наращенную сумму

)(m / p)np

п/p

р (1 + ] / т)т'р -1 р[(1 + ] / т)т'р -1]

Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

<< | >>
Источник: Лукашин Ю. П.. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА: Учебно- методический комплекс / М.: Изд. центр ЕАОИ, - 200 с.. 2008

Еще по теме 1.3. Формулы наращенной суммы:

  1. § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
  2. § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
  3. Наращение с учетом простых процентных ставок
  4. § 5.10. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
  5. 2.2. НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
  6. §1. Дисконтирование и наращение в оценке финансовых активов
  7. Раздел 4 "Расчет суммы налога, исчисленной по операциям по реализации товаров (работ, услуг), передаче имущественных прав, и суммы налога, подлежащей вычету,иностранной организацией, осуществляющей предпринимательскую деятельность на территории РФ через свои подразделения (представительства, отделения)"
  8. Формула Фишера
  9. Волшебная формула ЗМ
  10. Кейнсианский вариант формулы обмена.
  11. 45. Формула предложения денег
  12. 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
  13. 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
  14. § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
  15. 16.2. Суммы, не подлежащие налогообложению, и налоговые льготы 16.2.1. Суммы, не подлежащие налогообложению
  16. Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с., 2014
  17. Расчетные формулы ДЛЯ ОЦЄНКИ чистого оборотного капитала
  18. 10.1. Основные понятия и формулы. Метод альтернативной доходности