<<
>>

1.1. Формулы наращения и дисконтирования

В иоде м обозначения, которые будем использовать в даль­нейшем: Р - первоначальная сумма долга; 5 - наращенная сумма ссуды (депозита или других инвестиционных денеж­ных средств); п - срок ссуды или финансового соглашения н годах; / - процентные деньги за весь срок финансового соглашения.

Под наращенной суммой S ссуды, депозита и любого другого вида финансовой операции понимают первоначаль­ную величину Р вместе с начисленными на нее процентами / к концу срока финансового соглашения, т.е. S = Р + I. Рисчет процентных денег I зависит от вида применяемой стнвки и условий наращения. Для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S за п лет

S = Р (\ + п • i), (1)

) дг I + п ■ i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest) определяется как от­ношение процентных денег, полученных за год, к первона- чилышй сумме Р, т.е.

И:» формулы (2) следует, что процентный доход, получен­ный : 1), если проценты не выплачиваются сразу же после их начис­ления, а присоединяются к сумме долга (капитализируются), как правило, применяют сложные проценты (compound in­terest).

База для начисления сложных годовых процентов увеличивается в конце каждого года, и процесс увеличения суммы долга обычно происходит ускоренно.

Наращенная сумма долга по годовой ставке сложных про­центов за п лет определяется формулой

S = Р(1 + г)" , (Ю)

где (1 + if ~ множитель наращения по годовой став­ке сложных процентов.

І

Из (10) вытекает, что современная величина

Р = 5(1 + (11)

где (1 + г) " - дисконтный множитель по годовой став­ке сложных процентов.

Если ставка сложных процентов меняется от периода к периоду (на периоде длительностью пк действует ставка сложных процентов г'Д наращенная сумма

5-Я.П0 + 4Г. (12)

к=1

Разрешая формулу (12) относительно Р, можно найти современную величину 5 по плавающей ставке сложных процентов.

Если срок л для начисления сложных процентов не яв­ляется целым числом, т.е. п = а + Ь, где а - целое число лет, а Ь - дробная часть года, 0 < Ь < 1, то для вычисления нара­щенной суммы можно использовать два метода. Согласно общему методу расчет ведется непосредственно по форму­ле (10). По смешанному методу за целое число лет начисля­ют сложные проценты, а за дробную часть года - простые, т. е.

$ = Я0 + «)°(1 + &-і). (13)

Смешанный метод дает большее значение наращенной суммы, чем общий метод, > 5.

В современных условиях проценты могут капитализиро­ваться по сложной годовой ставке / не один, а т раз в году, через равные промежутки времени 1 /т. В таком случае , ля вычисления наращенной суммы можно использовать формулу (10), в которой под ставкой і следует понимать ставку процентов за период //т, а п будет обозначать чис­ло п ■ т таких периодов, т.е.

^ = //і + 1Г (14)

ГДе + т ] ~ множитель наращения по номинальной ста ке / с т-разовым начислением процентов в году.

Из ('4) получаем, что современная величина 5 равна

, ч Л1 л

Р = + Ц , (15)

где

Л т, -

иои ставке /.

I т I

, у-/Я-Я

1 + ± - дисконтный множитель по номиналь-

_ _____ ? г

Если устремить от к бесконечности, то промежуток 1/от между начислениями процентов будет стягиваться к нулю, и проценты будут начисляться непрерывно. Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, номинальную ставку / обозначим через 5. Ставку 5 называют непрерыв­ной ставкой процентов или силой роста. В результа­те предельного перехода в (14), (15) получаем

Б = Р е5п, Р = З е-5п.

где еЪп , е~6п соответственно множители наращения и дисконтирования по годовой постоянной ставке не­прерывных процентов 5.

Если сила роста изменяется во времени, т.е. 8 = Ш), то наращенная сумма и современная стоимость определяются хак

)т)сЧ -]бШ

5 = Ре о , Р = ° .

(16)

По аналогии с номинальной ставкой сложных процентов вводится номинальная учетная ставка / с т-разовым дис­контированием в году, т.е. каждый раз по ставке / /от. В таком случае

(

р\ТП-П / г \ —ШП

I , 5 , (17)

Р / Пшл 1

' где ц _ 1- -1 - соответственно, дисконтныи

\ от/ от/

множитель и множитель наращения

Пример 1.1.1. На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой - под 9,75% годовых. Что выгоднее, положить свободные де­нежные средства на годовой депозит, или два раза воспо зоваться полугодовым депозитом, не снимая проценты? Чему будет равна выгода, если имеется 100 тыс. $ и одним поте­рянным днём при переоформлении депозита можно пренеб­речь?

► Если денежные средства положить на годовой депозит то наращенная сумма 5 = 100 • 1,1 = 110 тыс. $. Если два рг а воспользоваться полугодовым депозитом, то наращенная сум­ма 5, = Ю0(1 + 5^) = 109,98766 тыс. $. Выгоднее вос­пользоваться годовым депозитом и выигрыш 5 - = = 12,34$. ■ 1

Пример 1.1.2. На сумму долга в течение 4 лет начисля­ются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращенная сумма, если проценты будут капитализировать­ся поквартально?

► При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен 1,094, а при ежеквартальной капитализа-

/ 009\16

ции - + , Т.е. он будет больше в 1,011363032 раза. Наращенная сумма увеличиться на 1,136%. ■

<< | >>
Источник: Кирлица В. П.. Финансовая математика : рук. к решению задач : учеб. пособие /В. П. Кирлица. - Мн. : ТетраСистемс, - 192 с.. 2005

Еще по теме 1.1. Формулы наращения и дисконтирования:

  1. §1. Дисконтирование и наращение в оценке финансовых активов
  2. Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с., 2014
  3. § 5.10. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
  4. Наращение с учетом простых процентных ставок
  5. 2.2. НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
  6. § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
  7. § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
  8. Формула Фишера
  9. § 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
  10. § 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
  11. Волшебная формула ЗМ
  12. Кейнсианский вариант формулы обмена.
  13. Дисконтирование
  14. 45. Формула предложения денег
  15. 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
  16. 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
  17. § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
  18. 2.3. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ