1.1. Формулы наращения и дисконтирования
Под наращенной суммой S ссуды, депозита и любого другого вида финансовой операции понимают первоначальную величину Р вместе с начисленными на нее процентами / к концу срока финансового соглашения, т.е. S = Р + I. Рисчет процентных денег I зависит от вида применяемой стнвки и условий наращения. Для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S за п лет
S = Р (\ + п • i), (1)
) дг I + п ■ i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest) определяется как отношение процентных денег, полученных за год, к первона- чилышй сумме Р, т.е.
И:» формулы (2) следует, что процентный доход, полученный : 1), если проценты не выплачиваются сразу же после их начисления, а присоединяются к сумме долга (капитализируются), как правило, применяют сложные проценты (compound interest).
База для начисления сложных годовых процентов увеличивается в конце каждого года, и процесс увеличения суммы долга обычно происходит ускоренно.Наращенная сумма долга по годовой ставке сложных процентов за п лет определяется формулой
S = Р(1 + г)" , (Ю)
где (1 + if ~ множитель наращения по годовой ставке сложных процентов.
І
Из (10) вытекает, что современная величина
Р = 5(1 + (11)
где (1 + г) " - дисконтный множитель по годовой ставке сложных процентов.
Если ставка сложных процентов меняется от периода к периоду (на периоде длительностью пк действует ставка сложных процентов г'Д наращенная сумма
5-Я.П0 + 4Г. (12)
к=1
Разрешая формулу (12) относительно Р, можно найти современную величину 5 по плавающей ставке сложных процентов.
Если срок л для начисления сложных процентов не является целым числом, т.е. п = а + Ь, где а - целое число лет, а Ь - дробная часть года, 0 < Ь < 1, то для вычисления наращенной суммы можно использовать два метода. Согласно общему методу расчет ведется непосредственно по формуле (10). По смешанному методу за целое число лет начисляют сложные проценты, а за дробную часть года - простые, т. е.
$ = Я0 + «)°(1 + &-і). (13)
Смешанный метод дает большее значение наращенной суммы, чем общий метод, > 5.
В современных условиях проценты могут капитализироваться по сложной годовой ставке / не один, а т раз в году, через равные промежутки времени 1 /т. В таком случае , ля вычисления наращенной суммы можно использовать формулу (10), в которой под ставкой і следует понимать ставку процентов за период //т, а п будет обозначать число п ■ т таких периодов, т.е.
^ = //і + 1Г (14)
ГДе + т ] ~ множитель наращения по номинальной ста ке / с т-разовым начислением процентов в году.
Из ('4) получаем, что современная величина 5 равна
, ч Л1 л
Р = + Ц , (15)
где Л т, - иои ставке /. |
I т I
, у-/Я-Я
1 + ± - дисконтный множитель по номиналь-
_ _____ ? г
Если устремить от к бесконечности, то промежуток 1/от между начислениями процентов будет стягиваться к нулю, и проценты будут начисляться непрерывно. Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, номинальную ставку / обозначим через 5. Ставку 5 называют непрерывной ставкой процентов или силой роста. В результате предельного перехода в (14), (15) получаем
Б = Р е5п, Р = З е-5п.
где еЪп , е~6п соответственно множители наращения и дисконтирования по годовой постоянной ставке непрерывных процентов 5.
Если сила роста изменяется во времени, т.е. 8 = Ш), то наращенная сумма и современная стоимость определяются хак
)т)сЧ -]бШ
5 = Ре о , Р = ° .
(16)По аналогии с номинальной ставкой сложных процентов вводится номинальная учетная ставка / с т-разовым дисконтированием в году, т.е. каждый раз по ставке / /от. В таком случае
( |
р\ТП-П / г \ —ШП
I , 5 , (17)
Р / Пшл 1
' где ц _ 1- -1 - соответственно, дисконтныи
\ от/ от/
множитель и множитель наращения
Пример 1.1.1. На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой - под 9,75% годовых. Что выгоднее, положить свободные денежные средства на годовой депозит, или два раза воспо зоваться полугодовым депозитом, не снимая проценты? Чему будет равна выгода, если имеется 100 тыс. $ и одним потерянным днём при переоформлении депозита можно пренебречь?
► Если денежные средства положить на годовой депозит то наращенная сумма 5 = 100 • 1,1 = 110 тыс. $. Если два рг а воспользоваться полугодовым депозитом, то наращенная сумма 5, = Ю0(1 + 5^) = 109,98766 тыс. $. Выгоднее воспользоваться годовым депозитом и выигрыш 5 - = = 12,34$. ■ 1
Пример 1.1.2. На сумму долга в течение 4 лет начисляются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращенная сумма, если проценты будут капитализироваться поквартально?
► При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен 1,094, а при ежеквартальной капитализа-
/ 009\16
ции - + , Т.е. он будет больше в 1,011363032 раза. Наращенная сумма увеличиться на 1,136%. ■
Еще по теме 1.1. Формулы наращения и дисконтирования:
- §1. Дисконтирование и наращение в оценке финансовых активов
- Марченко Л. Н.. Финансовая математика: наращение и дисконтирование: практ. рук-во / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович ; М-во образования РБ, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, - 48 с., 2014
- § 5.10. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- Наращение с учетом простых процентных ставок
- 2.2. НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
- § 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
- § 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
- Формула Фишера
- § 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
- § 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
- Волшебная формула ЗМ
- Кейнсианский вариант формулы обмена.
- Дисконтирование
- 45. Формула предложения денег
- 55. ЭТИКЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ РУССКОГО ЯЗЫКА
- 3.3. Формула «Дюпон» (Du Pont) и ее модификация
- § 32.1. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛЗА
- 2.3. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ